Maîtriser les systèmes de coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques dans l’espace.
Représenter et étudier les droites et plans dans l’espace à l’aide de leurs équations.
Calculer des distances (point-droite, point-plan) et des angles (dièdre, droite-plan).
Reconnaître et équationner les surfaces courantes (sphère, cylindre, cône, quadriques).
Effectuer des projections orthogonales et faire le lien avec le dessin technique.
Appliquer les matrices de transformation (rotation, symétrie, homothétie) en coordonnées homogènes.
Découvrir, en complément hors-programme (culture / poursuite d’études), les notions de courbure et torsion d’une courbe gauche.
Résoudre des problèmes d’intersection de surfaces et de sections planes.
Situation professionnelle
Mathieu est technicien supérieur en bureau d’études mécaniques dans une société qui fabrique
des équipements industriels. Son logiciel de CAO génère des pièces en 3D, mais les collègues
de l’atelier ont besoin de plans en 2D avec vues de face, de dessus et de côté, ainsi
que de sections transversales.
Pour valider les assemblages, Mathieu doit aussi vérifier que certaines surfaces ne se croisent
pas, calculer des distances minimales entre pièces mobiles et déterminer les angles entre plans
de coupe. Toutes ces opérations reposent sur la géométrie analytique de l’espace.
Axelle, architecte en bureau d’études bâtiment, utilise les mêmes outils pour modéliser
des charpentes métalliques complexes, calculer des volumes de terrassement et concevoir des
façades courbes.
1. Repères dans l’espace
1.1 Repère cartésien
Définition
Un repère cartésien de l’espace est un triplet \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\)
où \(O\) est l’origine et \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) sont trois vecteurs unitaires
orthogonaux deux à deux formant une base directe :
\[
\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{k} = \vec{k} \cdot \vec{i} = 0,
\quad |\vec{i}| = |\vec{j}| = |\vec{k}| = 1,
\quad \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}.
\]
Tout point \(M\) de l’espace est repéré par ses coordonnées \((x, y, z)\) telles que :
\[\overrightarrow{OM} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j} + z\,\vec{k}.\]
Repère cartésien orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\).
Exemple
\(A(1, 2, 3)\) et \(B(4, -1, 7)\).
\(AB = \sqrt{9 + 9 + 16} = \sqrt{34} \approx 5.83\).
1.3 Repère cylindrique
Définition
Un point \(M\) est repéré en coordonnées cylindriques par \((r, \theta, z)\) où :
\(r \geq 0\) : distance à l’axe \((Oz)\).
\(\theta \in [0, 2\pi[\) : angle dans le plan \(xOy\) par rapport à \(\vec{i}\).
\(z\) : côte (même qu’en cartésien).
Relations cylindriques ↔ cartésiennes :
\[
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z
\qquad \longleftrightarrow \qquad
r = \sqrt{x^2+y^2},\quad \theta = \operatorname{atan2}(y,x),\quad z = z
\]
Ce repère est naturel pour les pièces à symétrie de révolution (arbres, roulements, tuyaux).
1.4 Repère sphérique
Définition
Un point \(M\) est repéré par \((\rho, \theta, \varphi)\) où :
Définition
Une droite passant par \(A(x_0, y_0, z_0)\) et de vecteur directeur \(\vec{u} = (a, b, c)\)
est définie par la représentation paramétrique :
\[
\begin{cases}
x = x_0 + ta \\
y = y_0 + tb \qquad t \in \mathbb{R} \\
z = z_0 + tc
\end{cases}
\]
ou de manière compacte : \(\overrightarrow{OM}(t) = \overrightarrow{OA} + t\,\vec{u}\).
Exemple
Droite passant par \(A(1, -2, 3)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(2, 1, -1)\) :
\[
\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 + t \\ z = 3 - t \end{cases}
\]
2.2 Équations cartésiennes
Si \(a, b, c \neq 0\), on peut écrire les équations cartésiennes :
Si l’un des coefficients est nul (ex. \(c=0\)), la droite est dans un plan parallèle à \(xOy\)
et les équations s’adaptent en conséquence.
2.3 Positions relatives de deux droites
Sécantes : elles se croisent en un point commun ; leurs directions ne sont pas colinéaires.
Parallèles : \(\vec{u}_1 \parallel \vec{u}_2\) et elles n’ont pas de point commun.
Confondues : \(\vec{u}_1 \parallel \vec{u}_2\) et elles partagent tous leurs points.
Gauches (non coplanaires) : elles ne sont ni sécantes ni parallèles ; elles ne sont pas dans un même plan.
Pour tester si deux droites \(D_1, D_2\) sont coplanaires, on vérifie que le déterminant du
triplet \((\vec{u}_1, \vec{u}_2, \overrightarrow{A_1A_2})\) est nul (critère du produit mixte).
Critère droites gauches
Les droites \(D_1\) (passant par \(A_1\), directrice \(\vec{u}_1\)) et \(D_2\)
(passant par \(A_2\), directrice \(\vec{u}_2\)) sont gauches si et seulement si :
\[
(\vec{u}_1 \times \vec{u}_2) \cdot \overrightarrow{A_1 A_2} \neq 0
\]
La distance minimale entre droites gauches est :
\[
d(D_1, D_2) = \frac{|(\vec{u}_1 \times \vec{u}_2) \cdot \overrightarrow{A_1 A_2}|}{|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2|}
\]
2.4 Distance d’un point à une droite
Si \(H\) est le projeté orthogonal du point \(P\) sur la droite \(D\) :
\[
d(P, D) = \frac{|\overrightarrow{AP} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}
\qquad \text{(A point quelconque de D)}
\]
Exemple
Distance de \(P(2, 1, 4)\) à la droite passant par \(A(0,0,0)\) de direction \(\vec{u}(1,1,0)\) :
\(\overrightarrow{AP} = (2,1,4)\), \(\vec{u} = (1,1,0)\), \(|\vec{u}| = \sqrt{2}\).
\(\overrightarrow{AP} \times \vec{u} = \det\begin{pmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&1&4\\1&1&0\end{pmatrix}
= (0-4)\vec{i}-(0-4)\vec{j}+(2-1)\vec{k} = (-4, 4, 1)\).
\(d = \sqrt{16+16+1}/\sqrt{2} = \sqrt{33}/\sqrt{2} = \sqrt{33/2} \approx 4.06\).
3. Plans dans l’espace
3.1 Équation générale d’un plan
Définition
L’équation générale d’un plan est :
\[
ax + by + cz + d = 0 \qquad (a, b, c) \neq (0, 0, 0)
\]
Le vecteur \(\vec{n} = (a, b, c)\) est le vecteur normal au plan.
3.2 Déterminer l’équation d’un plan
Cas usuels
Plan passant par \(A(x_0,y_0,z_0)\) de normale \(\vec{n}=(a,b,c)\) :
\[a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0\]
Plan passant par \(A, B, C\) non alignés :
on calcule \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\) puis l’équation.
Plan contenant deux droites sécantes :
on prend les deux vecteurs directeurs et leur produit vectoriel donne \(\vec{n}\).
Définition
La sphère de centre \(\Omega(a,b,c)\) et de rayon \(r\) a pour équation :
\[
(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2
\]
Développée : \(x^2+y^2+z^2 - 2ax - 2by - 2cz + (a^2+b^2+c^2-r^2) = 0\).
L’intersection d’une sphère et d’un plan est un cercle (ou un point, ou vide).
Si le plan est à distance \(d\) du centre, le cercle a pour rayon \(\rho = \sqrt{r^2-d^2}\).
4.2 Cylindre
Définition
Le cylindre de révolution d’axe \((Oz)\) et de rayon \(R\) a pour équation :
\[x^2 + y^2 = R^2\]
Pour un cylindre d’axe \(\Delta\) de vecteur directeur \(\vec{u}\) passant par \(A\) :
\[|\overrightarrow{AM} \times \vec{u}|^2 = R^2 |\vec{u}|^2\]
En CAO, les cylindres apparaissent dans les alésages, arbres, tuyauteries.
En coordonnées cylindriques, l’équation s’écrit simplement \(r = R\).
4.3 Cône
Définition
Le cône de révolution de sommet \(O\), d’axe \((Oz)\) et de demi-angle \(\alpha\) :
\[
x^2 + y^2 = z^2 \tan^2\!\alpha \qquad \text{(ou } r = |z|\tan\alpha \text{ en cylindrique)}
\]
4.4 Surfaces quadratiques (quadriques)
Les surfaces du second degré (quadriques) sont les surfaces les plus courantes en géométrie
analytique de l’espace :
Définition
Le projeté orthogonal de \(P(x_0, y_0, z_0)\) sur le plan \(\pi: ax+by+cz+d=0\) est :
\[
H = P - \frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}\,(a,b,c)
\]
La droite \(PH\) est perpendiculaire à \(\pi\) (direction \(\vec{n}\)) et \(H \in \pi\).
Exemple
Projeter \(P(3, 1, 2)\) sur le plan \(\pi: x + y + z = 6\).
Ici \(\vec{n}=(1,1,1)\), \(d=-6\), \(|\vec{n}|^2 = 3\).
\(ax_0+by_0+cz_0+d = 3+1+2-6 = 0 \Rightarrow P \in \pi\) !
Prenons \(P(3,2,2)\) : \(3+2+2-6=1\).
\(H = (3,2,2) - \tfrac{1}{3}(1,1,1) = (8/3,\, 5/3,\, 5/3)\).
5.2 Vues en coupe et dessin technique
Les trois vues standard du dessin technique correspondent aux projections orthogonales :
Vue de face : projection sur le plan \(xOz\) (\(y = 0\)), conserve \(x\) et \(z\).
Vue de dessus : projection sur le plan \(xOy\) (\(z = 0\)), conserve \(x\) et \(y\).
Vue de côté (gauche) : projection sur le plan \(yOz\) (\(x = 0\)), conserve \(y\) et \(z\).
5.3 Perspective isométrique
En perspective isométrique, les trois axes \(x, y, z\) sont représentés à \(120°\) l’un
de l’autre et conservent tous la même échelle. La matrice de projection isométrique est :
\[
\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}
= \frac{1}{\sqrt{6}}
\begin{pmatrix} \sqrt{3} & 0 & -\sqrt{3} \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
\]
6. Transformations dans l’espace
6.1 Représentation matricielle en coordonnées homogènes
En CAO 3D, les transformations géométriques sont représentées par des matrices \(4 \times 4\)
opérant sur les coordonnées homogènes \((x, y, z, 1)^\top\). Cette représentation
unifie les rotations, translations, changements d’échelle et projections en un seul formalisme.
Attention
L’ordre des rotations est important : en général, \(\mathbf{R}_x\mathbf{R}_y \neq \mathbf{R}_y\mathbf{R}_x\).
Les matrices de rotation ne commutent pas. Pour composer des transformations successives,
on multiplie les matrices de droite à gauche :
\(\mathbf{M}_{\text{total}} = \mathbf{M}_n \cdots \mathbf{M}_2 \mathbf{M}_1\).
6.4 Rotation autour d’un axe quelconque
Complément hors-programme
La formule de Rodrigues ci-dessous dépasse le programme du BTS (culture / poursuite
d'études). Le programme demande de connaître les rotations autour des axes \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\)
(paragraphe 6.3) ; la rotation autour d'un axe quelconque n'est pas exigible.
Pour une rotation d’angle \(\theta\) autour d’un axe unitaire \(\hat{u} = (u_x, u_y, u_z)\),
la formule de Rodrigues donne :
\[
\mathbf{R}(\hat{u}, \theta) = \cos\theta\,\mathbf{I} + (1-\cos\theta)\,\hat{u}\hat{u}^\top
+ \sin\theta\,[\hat{u}]_\times
\]
où \([\hat{u}]_\times =
\begin{pmatrix}0&-u_z&u_y\\u_z&0&-u_x\\-u_y&u_x&0\end{pmatrix}\) est la matrice antisymétrique de \(\hat{u}\).
6.5 Symétrie par rapport à un plan
La symétrie par rapport au plan \(\pi: \vec{n}\cdot\vec{x} = d\) (avec \(|\vec{n}|=1\)) est :
Homothétie uniforme de rapport \(k\) : \(s_x = s_y = s_z = k\).
Changement d’échelle non uniforme (déformation) si les rapports diffèrent.
7. Introduction à la géométrie différentielle
Complément hors-programme
Cette section relève de la culture mathématique / poursuite d'études (écoles d'ingénieurs,
licence). Le trièdre de Frenet, la courbure et la torsion ne figurent pas au programme de
mathématiques du BTS : ils ne sont pas exigibles à l'examen. Le module « Représentations de
l'espace » se limite à la perspective, au repérage, au produit scalaire et à l'équation d'un plan ;
les courbes paramétrées du programme se restreignent aux fonctions polynomiales (degré ≤ 2) avec le
seul vecteur tangent. Vous pouvez ignorer cette section sans incidence sur votre préparation.
7.1 Courbes gauches
Une courbe gauche (ou courbe dans l’espace) est une courbe qui ne peut
pas être tracée dans un plan. Elle est paramétrée par \(\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))\).
Trièdre de Frenet
Le repère mobile le long d’une courbe est constitué de trois vecteurs unitaires :
Courbure :
\[
\kappa = \frac{|\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''|}{|\mathbf{r}'|^3}
\]
Le rayon de courbure est \(\rho = 1/\kappa\).
Torsion : mesure le degré de vrillage de la courbe hors de son plan osculateur.
\[
\tau = \frac{(\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'') \cdot \mathbf{r}'''}{|\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''|^2}
\]
Une droite a \(\kappa = 0\). Un cercle a \(\kappa = 1/R = \text{const}\) et \(\tau = 0\).
Une hélice a \(\kappa\) et \(\tau\) constants.
La section d’un cylindre \(x^2+y^2=R^2\) par un plan oblique \(ax+by+cz+d=0\) est une ellipse
(si le plan n’est pas parallèle à l’axe). Les dimensions de l’ellipse dépendent
de l’angle d’inclinaison du plan par rapport à l’axe.
Exemple professionnel
Un tuyau circulaire de rayon \(R = 50\,\text{mm}\) est coupé en biais à \(45°\).
La coupe a la forme d’une ellipse de demi-axes \(R = 50\,\text{mm}\) et
\(R/\cos 45° = 50\sqrt{2} \approx 70.7\,\text{mm}\).
Le technicien doit préparer un gabarit de découpe en traçant cette ellipse.
8.2 Intersection de deux plans
L’intersection de deux plans non parallèles est une droite.
Pour \(\pi_1: a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0\) et \(\pi_2: a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\) :
Le vecteur directeur de la droite d’intersection est \(\vec{u} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2\).
On trouve un point en fixant une coordonnée et en résolvant le système \(2\times 2\).
Exemple
\(\pi_1: x + y + z = 6\) et \(\pi_2: 2x - y + z = 3\).
\(\vec{n}_1 = (1,1,1)\), \(\vec{n}_2 = (2,-1,1)\).
\(\vec{u} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = (1\cdot1-1\cdot(-1),\; 1\cdot2-1\cdot1,\; 1\cdot(-1)-1\cdot2)
= (2, 1, -3)\).
Point (fixer \(z=0\)) : \(\begin{cases}x+y=6\\2x-y=3\end{cases} \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x=3, y=3\).
Droite : \((x,y,z) = (3,3,0) + t(2,1,-3)\).
8.3 Intersection d’une droite et d’une sphère
Pour trouver les points d’intersection de la droite
\(\mathbf{r}(t) = \mathbf{A} + t\,\vec{u}\) et de la sphère \(|\mathbf{r}-\mathbf{C}|^2 = R^2\) :
Si \(\Delta > 0\) : 2 points. \(\Delta = 0\) : tangence. \(\Delta < 0\) : pas d’intersection.
Méthode — Trouver l’intersection d’une droite et d’un plan
Écrire la droite sous forme paramétrique :
\(\begin{cases}x=x_0+ta\\y=y_0+tb\\z=z_0+tc\end{cases}\)
Substituer dans l’équation du plan \(ax+by+cz+d=0\).
Résoudre en \(t\) (équation du premier degré en \(t\)).
Calculer les coordonnées du point d’intersection en remplaçant \(t\) dans
les équations paramétriques.
Vérifier en substituant le point obtenu dans l’équation du plan.
Cas particuliers : si \(a\alpha+b\beta+c\gamma=0\) (i.e. \(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\)),
la droite est parallèle au plan (ou incluse si le point appartient au plan).
Application de la méthode
Droite \(D: (x,y,z)=(1,2,-1)+t(1,-1,2)\) ; Plan \(\pi: 2x+y-z=7\).
Paramétrique : \(x=1+t\), \(y=2-t\), \(z=-1+2t\).
Substitution : \(2(1+t)+(2-t)-(-1+2t)=7\).
Développement : \(2+2t+2-t+1-2t=7 \Rightarrow 5-t=7 \Rightarrow t=-2\).
Point : \(x=1+(-2)=-1\), \(y=2-(-2)=4\), \(z=-1+2(-2)=-5\). Intersection en \((-1,4,-5)\).
Vérification : \(2(-1)+4-(-5)=-2+4+5=7\). ✓
À retenir
Coordonnées cylindriques : \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\), \(z=z\). Utiles pour les pièces à symétrie axiale.
Dans une charpente métallique, deux poutres définissent un plan d’appui \(\pi: 3x+4y-12z=24\).
Un boulon de fixation est situé au point \(P(2, 1, 3)\).
Calculer la distance du boulon au plan pour vérifier que le jeu de montage est supérieur à
\(5\,\text{mm}\) (les coordonnées sont en décimètres).
Le jeu est de \(385\,\text{mm}\), bien supérieur à \(5\,\text{mm}\).
(Exemple fictif pour illustrer le calcul — les dimensions seraient différentes en réalité.)
Exercice 4 — Intersection droite-plan
La trajectoire d’un rayon lumineux en simulation optique suit la droite
\(D: (x,y,z) = (0,0,1) + t(1,2,1)\).
Trouver le point d’intersection avec le plan miroir \(\pi: x + 2y - 2z + 4 = 0\).
Vérification géométrique : dans le plan \(xOy\), le point \((3,0)\) tourne de \(90°\)
pour aller en \((0,3)\). La coordonnée \(z\) ne change pas. ✓
Exercice 6 — Section d’un cylindre
Un tuyau de ventilation de rayon \(R = 80\,\text{mm}\) d’axe \((Oz)\) est coupé par le
plan incliné \(\pi: z = x\tan 30°\) (coupe à \(30°\) de l’horizontale).
Montrer que la section est une ellipse et calculer ses demi-axes.
Le cylindre a pour équation \(x^2+y^2=R^2\).
Sur le plan \(z = x\tan30°\), un point du cylindre vérifie :
\(x = R\cos\phi\), \(y = R\sin\phi\), \(z = R\cos\phi\cdot\tan30°\) pour \(\phi \in [0,2\pi]\).
Les coordonnées dans le plan de coupe (en choisissant un repère local) :
la direction \(y\) reste identique avec amplitude \(R\), et la direction perpendiculaire
dans le plan de coupe a une amplitude \(R/\cos30°\).
La section est une ellipse de demi-axes :
\(b = R = 80\,\text{mm}\) (petit axe, direction \(y\))
\(a = R/\cos30° = 80/(\sqrt{3}/2) = 160/\sqrt{3} \approx 92.4\,\text{mm}\) (grand axe, direction oblique).