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Interrogation — Ch21 : Représentation de l'espace

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

Exercice 1 — Repérage et distance (3 pts)

Dans un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère les points \(A(1, 2, -1)\) et \(B(4, -2, 1)\).

  1. Donner les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\). (1 pt)
  2. Calculer la distance \(AB\). (2 pts)

Exercice 2 — Produit scalaire dans l'espace (4 pts)

On donne les vecteurs \(\vec{u}(2, -1, 3)\) et \(\vec{v}(1, 4, 2)\).

  1. Calculer le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\). (1,5 pt)
  2. Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{w}(3, -3, -3)\) sont-ils orthogonaux ? Justifier. (2,5 pts)

Exercice 3 — Équation d'un plan (5 pts)

On considère le plan \(\pi\) passant par le point \(A(2, 0, 1)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(1, 2, -2)\).

  1. Déterminer une équation cartésienne du plan \(\pi\) sous la forme \(ax + by + cz + d = 0\). (2,5 pts)
  2. Le point \(B(0, 1, 0)\) appartient-il au plan \(\pi\) ? Justifier. (1,5 pt)
  3. Donner un vecteur normal au plan d'équation \(3x - y + 2z - 5 = 0\). (1 pt)

Exercice 4 — Distance d'un point à un plan (4 pts)

Dans un bureau d'études, une platine de fixation est modélisée par le plan \(\pi : 2x - y + 2z - 6 = 0\) (coordonnées en cm). Un point d'ancrage est situé en \(P(3, 2, 4)\).

  1. Calculer la distance du point \(P\) au plan \(\pi\). (3 pts)
  2. Le jeu de montage minimal exigé est de 1 cm. Le point d'ancrage respecte-t-il cette contrainte ? (1 pt)

Exercice 5 — Transformations dans l'espace (4 pts)

On applique des transformations au point \(P(2, 0, 3)\).

  1. Donner les coordonnées de l'image \(P_1\) de \(P\) par la translation de vecteur \(\vec{t}(-1, 5, 2)\). (1,5 pt)
  2. Donner les coordonnées de l'image \(P_2\) de \(P\) par la rotation de \(90°\) autour de l'axe \((Oz)\). (1,5 pt)
  3. Donner les coordonnées de l'image \(P_3\) de \(P\) par l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k = 2\). (1 pt)

Correction

Exercice 1 (3 pts)

a) \(\overrightarrow{AB} = (4-1,\; -2-2,\; 1-(-1)) = (3,\; -4,\; 2)\). (1 pt)

b) \(AB = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29} \approx 5{,}39\). (2 pts)

Exercice 2 (4 pts)

a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2\times 1 + (-1)\times 4 + 3\times 2 = 2 - 4 + 6 = 4\). (1,5 pt)

b) \(\vec{u} \cdot \vec{w} = 2\times 3 + (-1)\times(-3) + 3\times(-3) = 6 + 3 - 9 = 0\). Le produit scalaire est nul, donc \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) sont orthogonaux. (2,5 pts)

Exercice 3 (5 pts)

a) Plan passant par \(A(x_0,y_0,z_0)\) de normale \(\vec{n}=(a,b,c)\) : \(a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\). \[1(x-2) + 2(y-0) - 2(z-1) = 0 \;\Rightarrow\; x - 2 + 2y - 2z + 2 = 0 \;\Rightarrow\; x + 2y - 2z = 0\] Équation : \(x + 2y - 2z = 0\). (2,5 pts)

b) On remplace les coordonnées de \(B(0,1,0)\) : \(0 + 2\times 1 - 2\times 0 = 2 \neq 0\). Donc \(B \notin \pi\). (1,5 pt)

c) Le vecteur normal se lit directement sur les coefficients de \(x, y, z\) : \(\vec{n}(3, -1, 2)\). (1 pt)

Exercice 4 (4 pts)

a) \(d(P, \pi) = \dfrac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) avec \((a,b,c,d)=(2,-1,2,-6)\) et \(P(3,2,4)\) : \[d = \frac{|2\times 3 - 1\times 2 + 2\times 4 - 6|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{|6 - 2 + 8 - 6|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{6}{3} = 2 \text{ cm}.\] (3 pts)

b) La distance vaut \(2\) cm, supérieure à \(1\) cm : la contrainte de jeu de montage est respectée. (1 pt)

Exercice 5 (4 pts)

a) Translation : on ajoute \(\vec{t}\) aux coordonnées de \(P\) : \(P_1 = (2 + (-1),\; 0 + 5,\; 3 + 2) = (1,\; 5,\; 5)\). (1,5 pt)

b) Rotation de \(90°\) autour de \((Oz)\) : \(\cos 90° = 0\), \(\sin 90° = 1\), d'où \((x,y,z) \mapsto (x\cos\theta - y\sin\theta,\; x\sin\theta + y\cos\theta,\; z) = (-y, x, z)\). Donc \(P_2 = (-0,\; 2,\; 3) = (0,\; 2,\; 3)\). (1,5 pt)

c) Homothétie de centre \(O\) et de rapport \(2\) : on multiplie chaque coordonnée par \(2\) : \(P_3 = (4,\; 0,\; 6)\). (1 pt)

Total : 3 + 4 + 5 + 4 + 4 = 20 points.