Fiche résumé – Représentation de l'espace

Chapitre 21 | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

Un point se repère en cartésien \((x,y,z)\), en cylindrique \((r,\theta,z)\) ou en sphérique \((\rho,\theta,\varphi)\).
Une droite = un point + un vecteur directeur \(\vec u\) ; un plan = équation \(ax+by+cz+d=0\) de vecteur normal \(\vec n=(a,b,c)\).
Pour l'intersection droite-plan : on substitue la forme paramétrique de la droite dans l'équation du plan et on résout en \(t\).
Les transformations (translation, rotation, homothétie) se représentent par des matrices \(4\times4\) en coordonnées homogènes.

Définitions clés

Définition

Repère cartésien : triplet \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\) orthonormé direct ; tout point \(M\) vérifie \(\overrightarrow{OM}=x\,\vec i+y\,\vec j+z\,\vec k\).

Définition

Vecteur normal : le vecteur \(\vec n=(a,b,c)\) perpendiculaire à un plan d'équation \(ax+by+cz+d=0\).

Définition

Droites gauches : deux droites ni sécantes ni parallèles (non coplanaires).

Repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\)

Formules à connaître

Distance entre deux points \[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\]

Conversions de coordonnées \[\text{Cylindriques}:\quad x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z\] \[\text{Sphériques}:\quad x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi\]

avec \(r=\sqrt{x^2+y^2}\), \(\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\), \(\varphi=\arccos(z/\rho)\).

Droite et plan \[\text{Droite}:\ \begin{cases}x=x_0+ta\\y=y_0+tb\\z=z_0+tc\end{cases}\qquad(\vec u=(a,b,c))\] \[\text{Plan}:\ ax+by+cz+d=0\qquad(\vec n=(a,b,c))\]

Distances \[d(P,\pi)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\qquad d(P,D)=\frac{|\overrightarrow{AP}\times\vec u|}{|\vec u|}\]

Transformations (coordonnées homogènes \(4\times4\)) \[\mathbf T(t_x,t_y,t_z)=\begin{pmatrix}1&0&0&t_x\\0&1&0&t_y\\0&0&1&t_z\\0&0&0&1\end{pmatrix}\qquad \mathbf R_z(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\]

Homothétie de rapport \(k\) : \(s_x=s_y=s_z=k\). Les rotations ne commutent pas.

Positions relatives

Droites : sécantes, parallèles, confondues ou gauches (non coplanaires).
Plan/droite : droite incluse ou parallèle si \(\vec u\cdot\vec n=0\) ; sécante si \(\vec u\cdot\vec n\neq0\).
Deux plans : parallèles si \(\vec n_1\parallel\vec n_2\) ; sinon sécants selon une droite de direction \(\vec n_1\times\vec n_2\).

Méthodes

Méthode Équation d'un plan par 3 points \(A,B,C\)

Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
Vecteur normal : \(\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(a,b,c)\).
Écrire \(a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0\).
Développer et vérifier avec \(B\) et \(C\).

Méthode Intersection d'une droite et d'un plan

Écrire la droite sous forme paramétrique.
Substituer \(x,y,z\) dans l'équation du plan.
Résoudre l'équation du premier degré en \(t\).
Remplacer \(t\) pour obtenir le point, puis vérifier.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Oublier la valeur absolue dans la distance point-plan.

✅ Le numérateur est toujours \(|ax_0+by_0+cz_0+d|\) (une distance est positive).

❌ Composer les rotations dans n'importe quel ordre.

✅ Les matrices de rotation ne commutent pas : \(\mathbf R_x\mathbf R_y\neq\mathbf R_y\mathbf R_x\). On multiplie de droite à gauche.

❌ Confondre droites parallèles et droites gauches.

✅ Parallèles → \(\vec u_1\parallel\vec u_2\) ; gauches → directions non colinéaires et pas de point commun.