Exercices – Chapitre 21

Représentation de l'espace | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 15 juin 2026

Rappels (repère orthonormé) : \(\vec{AB}=(x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)\) ; \(AB=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}\) ; plan \(ax+by+cz+d=0\) de vecteur normal \(\vec n(a,b,c)\).

Exercice 1 — Coordonnées et vecteurs

\(A(1,2,3)\), \(B(4,0,5)\).

1. Détermine \(\vec{AB}\). 2. Détermine les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).

1. \(\vec{AB}=(3,-2,2)\). 2. \(I=\left(\frac{1+4}{2},\frac{2+0}{2},\frac{3+5}{2}\right)=(2{,}5\,;\,1\,;\,4)\).

Exercice 2 — Distance

Calcule la distance \(AB\) pour \(A(0,1,2)\) et \(B(2,3,4)\).

\(\vec{AB}=(2,2,2)\), \(AB=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt3\approx3{,}46\).

Exercice 3 — Équation d'un plan

Détermine une équation cartésienne du plan passant par \(A(1,0,2)\) et de vecteur normal \(\vec n(2,-1,3)\).

\(2x-y+3z+d=0\) ; en \(A\) : \(2-0+6+d=0\Rightarrow d=-8\). Plan : \(2x-y+3z-8=0\).

Exercice 4 — Appartenance

Le point \(M(2,1,1)\) appartient-il au plan \(2x-y+3z-8=0\) ?

\(2\times2-1+3\times1-8=4-1+3-8=-2\neq0\) : \(M\) n'appartient pas au plan.

Exercice 5 — Représentation paramétrique (type BTS)

Donne une représentation paramétrique de la droite passant par \(A(1,1,0)\) et de vecteur directeur \(\vec u(2,0,-1)\), puis vérifie si \(B(5,1,-2)\) est dessus.

\(\begin{cases}x=1+2t\\ y=1\\ z=-t\end{cases}\). Pour \(B\) : \(1+2t=5\Rightarrow t=2\) ; \(y=1\) ✓ ; \(z=-2\) ✓. Donc \(B\) est sur la droite.