Exercices par capacités · BTS
Dernière mise à jour : 21 juin 2026
Soit \(A(2, -1, 3)\) et \(B(5, 3, -1)\) dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\).
Convertir le point \(M(3, 3, 4)\) en coordonnées cylindriques \((r, \theta, z)\).
\(r = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\).
\(\theta = \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) = \arctan\!\left(\dfrac{3}{3}\right) = \arctan(1) = 45°\) (le point est dans le 1er quadrant).
\(z = 4\) (inchangé).
Coordonnées cylindriques : \(\left(3\sqrt{2},\; 45°,\; 4\right)\).
Un point est donné en coordonnées cylindriques \(N(r=5,\; \theta=60°,\; z=2)\). Déterminer ses coordonnées cartésiennes.
On applique \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), \(z = z\).
\(x = 5\cos 60° = 5 \times 0{,}5 = 2{,}5\).
\(y = 5\sin 60° = 5 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4{,}33\).
\(z = 2\).
Coordonnées cartésiennes : \((2{,}5\;;\; 4{,}33\;;\; 2)\).
Convertir le point \(M(3, 4, 5)\) en coordonnées sphériques \((\rho, \theta, \varphi)\), où \(\rho\) est la distance à l'origine, \(\theta\) l'angle azimutal et \(\varphi\) la colatitude mesurée depuis l'axe \((Oz)\).
\(\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{9+16+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07\).
\(\varphi = \arccos\!\left(\dfrac{z}{\rho}\right) = \arccos\!\left(\dfrac{5}{5\sqrt{2}}\right) = \arccos\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45°\).
\(\theta = \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) = \arctan\!\left(\dfrac{4}{3}\right) \approx 53{,}1°\).
Coordonnées sphériques : \(\left(5\sqrt{2},\; 53{,}1°,\; 45°\right)\).
Un point est donné en coordonnées sphériques \(P(\rho=6,\; \theta=30°,\; \varphi=60°)\). Déterminer ses coordonnées cartésiennes.
On applique \(x = \rho\sin\varphi\cos\theta\), \(y = \rho\sin\varphi\sin\theta\), \(z = \rho\cos\varphi\).
\(x = 6\sin 60°\cos 30° = 6 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6 \times \dfrac{3}{4} = 4{,}5\).
\(y = 6\sin 60°\sin 30° = 6 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}60\).
\(z = 6\cos 60° = 6 \times 0{,}5 = 3\).
Coordonnées cartésiennes : \((4{,}5\;;\; 2{,}60\;;\; 3)\).
Soit \(\vec{u}(2, -1, 3)\) et \(\vec{v}(1, 4, 2)\).
Montrer que les vecteurs \(\vec{u}(3, 0, 1)\) et \(\vec{v}(-2, 5, 6)\) sont orthogonaux.
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3\times(-2) + 0\times 5 + 1\times 6 = -6 + 0 + 6 = 0\).
Le produit scalaire est nul, donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont bien orthogonaux.
Calculer l'angle \(\alpha\) entre les vecteurs \(\vec{u}(1, 1, 0)\) et \(\vec{v}(1, 0, 1)\).
On utilise \(\cos\alpha = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}\).
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1\times 1 + 1\times 0 + 0\times 1 = 1\).
\(|\vec{u}| = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}\) et \(|\vec{v}| = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}\).
\(\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\), donc \(\alpha = 60°\).
Soit le triangle de sommets \(A(1, 0, 0)\), \(B(0, 2, 0)\) et \(C(0, 0, 2)\). Montrer que le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\).
On calcule les longueurs des côtés.
\(AB = \sqrt{(0-1)^2+(2-0)^2+(0-0)^2} = \sqrt{1+4+0} = \sqrt{5}\).
\(AC = \sqrt{(0-1)^2+(0-0)^2+(2-0)^2} = \sqrt{1+0+4} = \sqrt{5}\).
\(BC = \sqrt{(0-0)^2+(0-2)^2+(2-0)^2} = \sqrt{0+4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).
\(AB = AC = \sqrt{5}\), donc le triangle est isocèle en \(A\).
Une pièce mécanique est repérée par les points \(A(0,0,0)\), \(B(4,0,0)\) et \(C(0,3,0)\). Le produit vectoriel \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\) donne un vecteur normal à la face \(ABC\). Calculer ce produit vectoriel puis l'aire du triangle \(ABC\).
\(\overrightarrow{AB} = (4,0,0)\) et \(\overrightarrow{AC} = (0,3,0)\).
\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \big(0\times 0 - 0\times 3,\; 0\times 0 - 4\times 0,\; 4\times 3 - 0\times 0\big) = (0,\; 0,\; 12)\).
La norme du produit vectoriel vaut \(|(0,0,12)| = 12\).
L'aire du triangle est la moitié de cette norme : \(\mathcal{A} = \dfrac{12}{2} = 6\) unités d'aire.
Vérification : c'est un triangle rectangle en \(A\) de côtés 4 et 3, d'aire \(\dfrac{4\times 3}{2} = 6\). ✓
On considère le plan d'équation \(\pi : 2x - 3y + z - 5 = 0\).
Déterminer l'équation cartésienne du plan passant par le point \(A(2, 1, -1)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(3, -2, 4)\).
L'équation s'écrit \(a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\) avec \(\vec{n}=(a,b,c)\) et \(A(x_0,y_0,z_0)\).
\(3(x-2) - 2(y-1) + 4(z+1) = 0\).
\(3x - 6 - 2y + 2 + 4z + 4 = 0\).
\(3x - 2y + 4z = 0\).
Vérification avec \(A(2,1,-1)\) : \(3\times 2 - 2\times 1 + 4\times(-1) = 6 - 2 - 4 = 0\). ✓
Déterminer l'équation du plan passant par les trois points \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,0)\) et \(C(0,0,3)\).
On calcule un vecteur normal par produit vectoriel.
\(\overrightarrow{AB} = (-1, 2, 0)\) et \(\overrightarrow{AC} = (-1, 0, 3)\).
\(\vec{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \big(2\times 3 - 0\times 0,\; 0\times(-1) - (-1)\times 3,\; (-1)\times 0 - 2\times(-1)\big) = (6,\; 3,\; 2)\).
Équation : \(6(x-1) + 3(y-0) + 2(z-0) = 0\), soit \(6x + 3y + 2z - 6 = 0\).
Vérifications : \(B(0,2,0)\) : \(0+6+0-6=0\) ✓ ; \(C(0,0,3)\) : \(0+0+6-6=0\) ✓.
Calculer la distance du point \(P_0(1, 1, 1)\) au plan \(\pi : 2x - y + 2z - 5 = 0\).
On applique \(d(P_0, \pi) = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).
Numérateur : \(|2\times 1 - 1\times 1 + 2\times 1 - 5| = |2 - 1 + 2 - 5| = |-2| = 2\).
Dénominateur : \(\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3\).
\(d = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67\).
Dans un bureau d'études, une face d'appui est modélisée par le plan \(\pi : 3x + 4y - 12z = 24\). Un point de fixation est situé en \(P(2, 1, 3)\) (coordonnées en décimètres). Calculer la distance du point au plan, en millimètres.
On écrit le plan sous la forme \(3x + 4y - 12z - 24 = 0\).
Numérateur : \(|3\times 2 + 4\times 1 - 12\times 3 - 24| = |6 + 4 - 36 - 24| = |-50| = 50\).
Dénominateur : \(\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\).
\(d = \dfrac{50}{13} \approx 3{,}85\) dm, soit environ \(385\) mm.
Soit la droite \(D : (x,y,z) = (1, 2, -1) + t(1, -1, 2)\) et le plan \(\pi : 2x + y - z = 7\). Déterminer les coordonnées du point d'intersection de \(D\) et \(\pi\).
Forme paramétrique : \(x = 1+t\), \(y = 2-t\), \(z = -1+2t\).
On substitue dans l'équation du plan : \(2(1+t) + (2-t) - (-1+2t) = 7\).
\(2 + 2t + 2 - t + 1 - 2t = 7\), soit \(5 - t = 7\), donc \(t = -2\).
Coordonnées : \(x = 1-2 = -1\), \(y = 2-(-2) = 4\), \(z = -1+2\times(-2) = -5\). Intersection en \((-1, 4, -5)\).
Vérification : \(2\times(-1) + 4 - (-5) = -2 + 4 + 5 = 7\). ✓
On applique la translation de vecteur \(\vec{t}(2, -3, 5)\) au point \(P(1, 4, -2)\). Déterminer les coordonnées de l'image \(P'\).
La translation ajoute les composantes du vecteur aux coordonnées du point.
\(P' = (1+2,\; 4-3,\; -2+5) = (3,\; 1,\; 3)\).
On effectue une rotation de \(90°\) autour de l'axe \((Oz)\) sur le point \(P(3, 0, 2)\). Déterminer les coordonnées du point transformé \(P'\).
La rotation autour de \((Oz)\) agit sur \(x\) et \(y\) : \(x' = x\cos\theta - y\sin\theta\), \(y' = x\sin\theta + y\cos\theta\), \(z' = z\).
Pour \(\theta = 90°\) : \(\cos 90° = 0\) et \(\sin 90° = 1\).
\(x' = 3\times 0 - 0\times 1 = 0\) ; \(y' = 3\times 1 + 0\times 0 = 3\) ; \(z' = 2\).
\(P'(0, 3, 2)\). Vérification : dans le plan \(xOy\), \((3,0)\) tourne de \(90°\) vers \((0,3)\). ✓
On applique au point \(P(2, -1, 4)\) la symétrie par rapport au plan \(xOy\). Déterminer son image, puis son image par la symétrie par rapport au plan \(yOz\).
Symétrie par rapport au plan \(xOy\) : \((x,y,z) \mapsto (x, y, -z)\).
Image : \((2, -1, -4)\).
Symétrie par rapport au plan \(yOz\) : \((x,y,z) \mapsto (-x, y, z)\).
Image de \(P(2,-1,4)\) : \((-2, -1, 4)\).
On applique au point \(P(4, -2, 6)\) une homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k = 1{,}5\).
On compose deux transformations sur le point \(P(1, 0, 0)\) : d'abord une rotation de \(90°\) autour de \((Oz)\), puis une translation de vecteur \(\vec{t}(0, 0, 5)\). Déterminer l'image finale \(P''\).
Étape 1 — Rotation de \(90°\) autour de \((Oz)\) : \(x' = 1\times 0 - 0\times 1 = 0\), \(y' = 1\times 1 + 0\times 0 = 1\), \(z' = 0\). On obtient \(P'(0, 1, 0)\).
Étape 2 — Translation de \(\vec{t}(0,0,5)\) : \(P'' = (0+0,\; 1+0,\; 0+5) = (0, 1, 5)\).
Image finale : \(P''(0, 1, 5)\).