BTS | Mathématiques | Groupement C2
Dernière mise à jour : 1er septembre 2026
Chloé est ingénieure qualité dans une usine de soudage par résistance. La ligne produit des assemblages d’acier inoxydable pour l’industrie alimentaire. Des contrôles révèlent une résistance mécanique des soudures trop variable selon les équipes et les cycles de production.
On suspecte l’influence de trois paramètres : la température des électrodes, la vitesse d’avance et la pression de serrage. Chloé doit déterminer, avec un minimum d’essais coûteux, quels facteurs ont un impact réel et trouver les réglages optimaux pour maximiser la résistance des soudures.
Elle décide d’utiliser un plan d’expérience plutôt que de tester chaque paramètre séparément : cette approche lui permettra d’analyser les interactions entre facteurs et de réduire le nombre d’essais de plusieurs dizaines à seulement huit.
Optimiser un procédé industriel nécessite souvent d’étudier plusieurs paramètres simultanément. L’approche dite « un facteur à la fois » (OFAT — One Factor At a Time) consiste à faire varier un seul paramètre pendant que tous les autres restent fixes.
Les plans d’expérience (Design of Experiments, DoE) permettent de :
On transforme les niveaux réels en niveaux codés \(-1\) et \(+1\) par la formule :
Sur une fraiseuse, la vitesse de rotation de la broche est étudiée entre \(800\,\text{tr/min}\) (niveau bas) et \(1200\,\text{tr/min}\) (niveau haut).
Codage : \(x = \dfrac{1100-1000}{200} = \mathbf{0{,}5}\).
Décodage : \(X = 1000 + (-0.5)\times 200 = \mathbf{900\ \text{tr/min}}\).
Avec \(k=2\) facteurs à \(2\) niveaux, on réalise \(2^2 = 4\) essais couvrant toutes les combinaisons possibles. Ce plan permet d’estimer les deux effets principaux et leur interaction.
Facteur A : Température des électrodes
(\(200\,°\text{C} = -1\) ; \(240\,°\text{C} = +1\)).
Facteur B : Vitesse d’avance
(\(1.5\,\text{m/min} = -1\) ; \(2.5\,\text{m/min} = +1\)).
Réponse Y : Résistance à la traction (N).
| Essai | \(x_A\) | \(x_B\) | \(x_A x_B\) | \(Y\) (N) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | −1 | −1 | +1 | 1 820 |
| 2 | +1 | −1 | −1 | 2 150 |
| 3 | −1 | +1 | −1 | 1 680 |
| 4 | +1 | +1 | +1 | 2 430 |
Avec les données du tableau (\(N=4\)) :
\[ \hat{Y}_0 = \frac{1820 + 2150 + 1680 + 2430}{4} = \frac{8080}{4} = 2020\,\text{N} \] \[ E_A = \frac{1}{2}\bigl[(-1)(1820) + (+1)(2150) + (-1)(1680) + (+1)(2430)\bigr] = \frac{1080}{2} = 540\,\text{N} \] \[ E_B = \frac{1}{2}\bigl[(-1)(1820) + (-1)(2150) + (+1)(1680) + (+1)(2430)\bigr] = \frac{140}{2} = 70\,\text{N} \] \[ E_{AB} = \frac{1}{2}\bigl[(+1)(1820) + (-1)(2150) + (-1)(1680) + (+1)(2430)\bigr] = \frac{420}{2} = 210\,\text{N} \]Interprétation : la température (\(E_A = 540\,\text{N}\)) est le facteur dominant. L’interaction \(E_{AB} = 210\,\text{N}\) est significative : l’effet de la température dépend de la vitesse d’avance.
Le modèle du premier ordre du soudage établi ci-dessus s’écrit :
\[\hat{Y} = 2020 + 270\,x_A + 35\,x_B + 105\,x_A x_B\]
Rappel du domaine : \(x_A = -1\) pour \(200\,°\text{C}\) et \(x_A = +1\) pour \(240\,°\text{C}\) ;
\(x_B = -1\) pour \(1.5\,\text{m/min}\) et \(x_B = +1\) pour \(2.5\,\text{m/min}\).
Prédire la résistance pour une température de \(240\,°\text{C}\) et une vitesse de \(2.0\,\text{m/min}\).
Codage : \(240\,°\text{C} \Rightarrow x_A = +1\) ; \(2.0\,\text{m/min}\) est le centre du domaine \([1.5\,;2.5]\) donc \(x_B = 0\).
\[\hat{Y} = 2020 + 270\times(+1) + 35\times 0 + 105\times(+1)\times 0 = 2020 + 270 = 2290\]Résistance prédite : \(\mathbf{2290\ \text{N}}\).
Avec \(k=3\) facteurs à 2 niveaux, on effectue \(2^3 = 8\) essais. On peut estimer : 3 effets principaux, 3 interactions d’ordre 2 et 1 interaction d’ordre 3. L’ordre des essais suit la notation de Yates : le premier facteur alterne \(-1/+1\) à chaque essai, le deuxième tous les 2, le troisième tous les 4.
| Essai | \(x_A\) | \(x_B\) | \(x_C\) | \(x_Ax_B\) | \(x_Ax_C\) | \(x_Bx_C\) | \(x_Ax_Bx_C\) | \(Y\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | −1 | −1 | −1 | +1 | +1 | +1 | −1 | \(y_1\) |
| 2 | +1 | −1 | −1 | −1 | −1 | +1 | +1 | \(y_2\) |
| 3 | −1 | +1 | −1 | −1 | +1 | −1 | +1 | \(y_3\) |
| 4 | +1 | +1 | −1 | +1 | −1 | −1 | −1 | \(y_4\) |
| 5 | −1 | −1 | +1 | +1 | −1 | −1 | +1 | \(y_5\) |
| 6 | +1 | −1 | +1 | −1 | +1 | −1 | −1 | \(y_6\) |
| 7 | −1 | +1 | +1 | −1 | −1 | +1 | −1 | \(y_7\) |
| 8 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | \(y_8\) |
Un procédé d’usinage fait intervenir \(k = 5\) facteurs, chacun étudié à \(2\) niveaux. On envisage un plan factoriel complet.
Nombre d’essais : \(2^5 = \mathbf{32}\) essais.
Nombre d’effets estimables : \(2^5 - 1 = \mathbf{31}\).
Parmi eux : \(\mathbf{5}\) effets principaux (un par facteur) et \(\binom{5}{2} = \dfrac{5\times 4}{2} = \mathbf{10}\) interactions d’ordre 2 (les \(16\) restants sont les interactions d’ordre \(3\), \(4\) et \(5\)).
Représentation des 8 essais du plan \(2^3\) aux sommets d’un cube en variables codées.
Facteur A : Température (\(200/240\,°\text{C}\)). Facteur B : Vitesse (\(1.5/2.5\,\text{m/min}\)). Facteur C : Pression (\(3/5\,\text{bar}\)). Réponse \(Y\) : résistance (N).
| Essai | \(x_A\) | \(x_B\) | \(x_C\) | \(Y\) (N) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | −1 | −1 | −1 | 1 780 |
| 2 | +1 | −1 | −1 | 2 100 |
| 3 | −1 | +1 | −1 | 1 650 |
| 4 | +1 | +1 | −1 | 2 380 |
| 5 | −1 | −1 | +1 | 1 920 |
| 6 | +1 | −1 | +1 | 2 280 |
| 7 | −1 | +1 | +1 | 1 760 |
| 8 | +1 | +1 | +1 | 2 510 |
Moyenne : \(\hat{Y}_0 = 16380/8 = 2047.5\,\text{N}\)
\[E_A = \frac{1}{4}(-1780+2100-1650+2380-1920+2280-1760+2510) = \frac{4160}{4} = 540\,\text{N}\] \[E_B = \frac{1}{4}(-1780-2100+1650+2380-1920-2280+1760+2510) = \frac{220}{4} = 55\,\text{N}\] \[E_C = \frac{1}{4}(-1780-2100-1650-2380+1920+2280+1760+2510) = \frac{560}{4} = 140\,\text{N}\] \[E_{AB} = \frac{1}{4}(+1780-2100-1650+2380+1920-2280-1760+2510) = \frac{800}{4} = 200\,\text{N}\]Facteur A (température) domine avec \(540\,\text{N}\), suivi de l’interaction AB (\(200\,\text{N}\)) et du facteur C pression (\(140\,\text{N}\)).
Lorsque le nombre de facteurs \(k\) est grand, le plan complet \(2^k\) nécessite trop d’essais. Un plan fractionnaire \(2^{k-p}\) ne réalise qu’une fraction \(1/2^p\) du plan complet.
On choisit le générateur \(I = ABC\), soit \(x_C = x_A x_B\). Le plan est la demi-fraction du plan \(2^3\) dont les essais vérifient \(x_A x_B x_C = +1\).
| Essai | \(x_A\) | \(x_B\) | \(x_C = x_Ax_B\) | \(Y\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | −1 | −1 | +1 | \(y_1\) |
| 2 | +1 | −1 | −1 | \(y_2\) |
| 3 | −1 | +1 | −1 | \(y_3\) |
| 4 | +1 | +1 | +1 | \(y_4\) |
On règle une presse à injecter avec le plan \(2^{3-1}\) ci-dessus (générateur \(I = ABC\)). Le dépouillement des \(4\) essais donne un contraste \(E_C = 120\) sur la colonne \(x_C\).
D’après la structure des alias, \(C \leftrightarrow AB\) : la colonne \(x_C\) est identique à la colonne \(x_Ax_B\). Le contraste calculé estime donc la somme \(\mathbf{E_C + E_{AB}}\), et non \(E_C\) seul : il est impossible de savoir si \(120\) provient du facteur \(C\), de l’interaction \(AB\), ou des deux.
Pour lever la confusion, il faut réaliser des essais supplémentaires : l’autre demi-fraction, ou directement le plan complet \(2^3\) (\(8\) essais), qui estime \(C\) et \(AB\) séparément.
Générateur : \(I = ABCD\) (\(x_D = x_Ax_Bx_C\)). Permet d’estimer les 4 effets principaux sans confusion.
| Essai | \(x_A\) | \(x_B\) | \(x_C\) | \(x_D=x_Ax_Bx_C\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | −1 | −1 | −1 | −1 |
| 2 | +1 | −1 | −1 | +1 |
| 3 | −1 | +1 | −1 | +1 |
| 4 | +1 | +1 | −1 | −1 |
| 5 | −1 | −1 | +1 | +1 |
| 6 | +1 | −1 | +1 | −1 |
| 7 | −1 | +1 | +1 | −1 |
| 8 | +1 | +1 | +1 | +1 |
Les effets estimés sont représentés graphiquement. Les effets significatifs se détachent nettement des effets de bruit.
Pour identifier les effets significatifs de façon rigoureuse, on utilise la droite de Henry (diagramme quantile-quantile normal). Les effets non significatifs sont de simples fluctuations aléatoires : ils s’alignent sur la droite. Les points qui s’écartent notablement correspondent aux effets réellement significatifs.
En l’absence de répétitions, la méthode de Lenth fournit une estimation de l’erreur expérimentale :
En notation matricielle (\(\mathbf{X}\) = matrice des essais, \(\mathbf{y}\) = vecteur des réponses) :
À partir des effets calculés en section 3.3 :
Les résidus \(e_j = Y_j - \hat{Y}_j\) doivent vérifier :
Un bon modèle a généralement \(R^2_{\text{adj}} > 0.90\).
Le modèle du premier ordre ne peut pas localiser un optimum (il décrit des plans inclinés). Pour trouver les conditions optimales, on utilise des plans composites centraux (PCC) permettant d’estimer les termes du second ordre.
Ce modèle comporte \(\tfrac{(k+1)(k+2)}{2}\) paramètres (ex. : 6 pour \(k=2\), 10 pour \(k=3\)).
Un PCC est formé de trois parties :
1. Noyau factoriel \(2^k\) : sommets du cube (\(\pm1\)).
2. Points axiaux (étoile) : les points \((\pm\alpha, 0, \ldots, 0)\) avec \(\alpha = 2^{k/4}\) (CCC) ou \(\alpha = 1\) (CCF).
3. Point central : au moins 3 répétitions en \((0, 0, \ldots, 0)\) pour estimer l’erreur pure.
Nombre total d’essais : \(N = 2^k + 2k + n_0\) (\(n_0\geq 3\)).
Pour optimiser un procédé de rectification, on construit un plan composite central circonscrit (CCC) sur \(k = 3\) facteurs, avec \(n_0 = 4\) répétitions au centre.
Noyau factoriel : \(2^3 = 8\) essais ; points axiaux : \(2k = 2\times 3 = 6\) essais ; point central : \(n_0 = 4\) essais.
\[N = 2^3 + 2\times 3 + 4 = 8 + 6 + 4 = \mathbf{18}\ \text{essais}\]Pour un CCC : \(\alpha = 2^{k/4} = 2^{3/4} \approx \mathbf{1{,}68}\) (les points axiaux sortent bien du cube, puisque \(\alpha > 1\)).
Le point stationnaire du modèle quadratique est :
où \(\mathbf{B}\) est la matrice symétrique des termes du second ordre (\(\beta_{ii}\) sur la diagonale, \(\beta_{ij}/2\) hors diagonale) et \(\mathbf{b}\) le vecteur des termes linéaires.
Nature du point stationnaire selon les valeurs propres de \(\mathbf{B}\) :
Genichi Taguchi (1924–2012) propose d’optimiser les procédés en réduisant simultanément la valeur moyenne et la variabilité. Il distingue :
Facteurs de contrôle : paramètres que l’ingénieur peut fixer (température, vitesse…).
Facteurs de bruit : facteurs incontrôlables en production (variations matière, humidité, usure…).
| Maximiser \(Y\) | \(\displaystyle \frac{S}{N} = -10\log_{10}\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{1}{y_i^2}\right)\) |
| Minimiser \(Y\) | \(\displaystyle \frac{S}{N} = -10\log_{10}\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i^2\right)\) |
| Valeur cible | \(\displaystyle \frac{S}{N} = 10\log_{10}\!\left(\frac{\bar{y}^2}{s^2}\right)\) |
On choisit le réglage qui maximise le rapport S/N : on réduit ainsi l’effet des facteurs de bruit tout en maintenant la performance.
Taguchi a pré-calculé des tables spécialisées : L4, L8, L9, L16, L18, L27… Le tableau L8 permet d’étudier jusqu’à 7 facteurs à 2 niveaux avec 8 essais.
Un technicien spécialisé en traitement de surface dans une entreprise d’aéronautique cherche à optimiser un bain de placage électrolytique pour des pièces en aluminium. Trois facteurs sont étudiés :
Réponse \(Y\) : épaisseur du dépôt (µm). Objectif : atteindre \(25\,\mu\text{m}\).
| Essai | A | B | C | \(Y_1\) | \(Y_2\) | \(\bar{Y}\) | \(s\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | −1 | −1 | −1 | 15.2 | 14.8 | 15.0 | 0.28 |
| 2 | +1 | −1 | −1 | 22.1 | 21.9 | 22.0 | 0.14 |
| 3 | −1 | +1 | −1 | 18.3 | 18.7 | 18.5 | 0.28 |
| 4 | +1 | +1 | −1 | 26.8 | 27.2 | 27.0 | 0.28 |
| 5 | −1 | −1 | +1 | 16.9 | 17.1 | 17.0 | 0.14 |
| 6 | +1 | −1 | +1 | 24.4 | 24.6 | 24.5 | 0.14 |
| 7 | −1 | +1 | +1 | 20.6 | 21.4 | 21.0 | 0.57 |
| 8 | +1 | +1 | +1 | 29.8 | 30.2 | 30.0 | 0.28 |
Effets principaux (sur \(\bar{Y}\)) :
\[E_A = \frac{1}{4}(-15+22-18.5+27-17+24.5-21+30) = \frac{32}{4} = 8.0\,\mu\text{m}\] \[E_B = \frac{1}{4}(-15-22+18.5+27-17-24.5+21+30) = \frac{18}{4} = 4.5\,\mu\text{m}\] \[E_C = \frac{1}{4}(-15-22-18.5-27+17+24.5+21+30) = \frac{10}{4} = 2.5\,\mu\text{m}\] \[E_{AB} = \frac{1}{4}(+15-22-18.5+27+17-24.5-21+30) = \frac{3}{4} = 0.75\,\mu\text{m}\]Modèle ajusté (termes significatifs A, B, C) :
\[\hat{Y} = 21.875 + 4.0\,x_A + 2.25\,x_B + 1.25\,x_C\]
Pour atteindre \(\hat{Y} = 25\,\mu\text{m}\) avec \(x_B = +1\) et \(x_C = 0\) :
\(25 = 21.875 + 4.0\,x_A + 2.25\)
\(\Rightarrow x_A = (25 - 24.125)/4.0 = 0.22\)
\(\Rightarrow A = 4 + 0.22 \times 2 = 4.44\,\text{A/dm}^2\).
Valider par un essai de confirmation à ces réglages.
Un paramètre d’injection plastique, la pression, varie entre \(80\,\text{bar}\) (niveau bas) et \(120\,\text{bar}\) (niveau haut).
Un plan \(2^2\) sur la rugosité (µm) d’une pièce fraisée donne les résultats suivants :
| Essai | \(x_A\) (vitesse) | \(x_B\) (avance) | \(Y\) (µm) |
|---|---|---|---|
| 1 | −1 | −1 | 1.8 |
| 2 | +1 | −1 | 1.2 |
| 3 | −1 | +1 | 2.6 |
| 4 | +1 | +1 | 2.0 |
On étudie 3 facteurs (A, B, C) sur la dureté Vickers d’un acier traité thermiquement avec le plan \(2^{3-1}\) (\(x_C = x_A x_B\)). Résultats : \(y_1 = 280\), \(y_2 = 350\), \(y_3 = 310\), \(y_4 = 420\) HV.
| Essai | \(x_A\) | \(x_B\) | \(x_C=x_Ax_B\) | \(Y\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | −1 | −1 | +1 | 280 |
| 2 | +1 | −1 | −1 | 350 |
| 3 | −1 | +1 | −1 | 310 |
| 4 | +1 | +1 | +1 | 420 |
\(E_A = \frac{1}{2}(-280+350-310+420) = 90\,\text{HV}\) (estimé aliasé avec BC : on mesure \(E_A + E_{BC}\)).
\(\hat{Y}_0 = (280+350+310+420)/4 = 340\,\text{HV}\).
Un mécanicien-outilleur mesure la dureté HRC de pièces après traitement thermique. Pour un réglage donné, il obtient 5 mesures : 58, 60, 59, 61, 58 HRC. L’objectif est de maximiser la dureté.