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Chapitre 20 – Plans d’expérience

BTS  |  Mathématiques  |  Groupement C2

Dernière mise à jour : 26 juin 2026

Objectifs du chapitre
Situation professionnelle

Chloé est ingénieure qualité dans une usine de soudage par résistance. La ligne produit des assemblages d’acier inoxydable pour l’industrie alimentaire. Des contrôles révèlent une résistance mécanique des soudures trop variable selon les équipes et les cycles de production.

On suspecte l’influence de trois paramètres : la température des électrodes, la vitesse d’avance et la pression de serrage. Chloé doit déterminer, avec un minimum d’essais coûteux, quels facteurs ont un impact réel et trouver les réglages optimaux pour maximiser la résistance des soudures.

Elle décide d’utiliser un plan d’expérience plutôt que de tester chaque paramètre séparément : cette approche lui permettra d’analyser les interactions entre facteurs et de réduire le nombre d’essais de plusieurs dizaines à seulement huit.

1. Introduction aux plans d’expérience

1.1 Pourquoi les plans d’expérience ?

Optimiser un procédé industriel nécessite souvent d’étudier plusieurs paramètres simultanément. L’approche dite « un facteur à la fois » (OFAT — One Factor At a Time) consiste à faire varier un seul paramètre pendant que tous les autres restent fixes.

Attention L’approche OFAT est inefficace et trompeuse : elle ne détecte pas les interactions entre facteurs (situation où l’effet d’un facteur dépend du niveau d’un autre). Elle peut nécessiter un nombre d’essais beaucoup plus grand et conduire à des conclusions erronées.

Les plans d’expérience (Design of Experiments, DoE) permettent de :

1.2 Vocabulaire fondamental

Définitions

1.3 Codage des facteurs

On transforme les niveaux réels en niveaux codés \(-1\) et \(+1\) par la formule :

\[ x_i = \frac{X_i - \bar{X}_i}{\Delta X_i} \qquad \text{avec } \bar{X}_i = \frac{X_{i,\max}+X_{i,\min}}{2},\quad \Delta X_i = \frac{X_{i,\max}-X_{i,\min}}{2} \]
Exemple La température varie entre \(200\,°\text{C}\) et \(240\,°\text{C}\). \(\bar{X} = 220\,°\text{C}\), \(\Delta X = 20\,°\text{C}\). Niveau bas \(200\,°\text{C} \Rightarrow x = -1\). Niveau haut \(240\,°\text{C} \Rightarrow x = +1\).

2. Plan factoriel complet \(2^2\)

2.1 Principe

Avec \(k=2\) facteurs à \(2\) niveaux, on réalise \(2^2 = 4\) essais couvrant toutes les combinaisons possibles. Ce plan permet d’estimer les deux effets principaux et leur interaction.

2.2 Matrice des essais — exemple soudage

Facteur A : Température des électrodes (\(200\,°\text{C} = -1\) ; \(240\,°\text{C} = +1\)).
Facteur B : Vitesse d’avance (\(1.5\,\text{m/min} = -1\) ; \(2.5\,\text{m/min} = +1\)).
Réponse Y : Résistance à la traction (N).

Essai\(x_A\)\(x_B\)\(x_A x_B\)\(Y\) (N)
1−1−1+11 820
2+1−1−12 150
3−1+1−11 680
4+1+1+12 430

2.3 Calcul des effets

Formules Pour un plan \(2^k\) avec \(N = 2^k\) essais : \[ E_i = \frac{2}{N}\sum_{j=1}^{N} (x_{ij} \cdot Y_j) \] La moyenne générale (intercept) est : \[ \hat{Y}_0 = \frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N} Y_j \]
Application numérique

Avec les données du tableau (\(N=4\)) :

\[ \hat{Y}_0 = \frac{1820 + 2150 + 1680 + 2430}{4} = \frac{8080}{4} = 2020\,\text{N} \] \[ E_A = \frac{1}{2}\bigl[(-1)(1820) + (+1)(2150) + (-1)(1680) + (+1)(2430)\bigr] = \frac{1080}{2} = 540\,\text{N} \] \[ E_B = \frac{1}{2}\bigl[(-1)(1820) + (-1)(2150) + (+1)(1680) + (+1)(2430)\bigr] = \frac{140}{2} = 70\,\text{N} \] \[ E_{AB} = \frac{1}{2}\bigl[(+1)(1820) + (-1)(2150) + (-1)(1680) + (+1)(2430)\bigr] = \frac{420}{2} = 210\,\text{N} \]

Interprétation : la température (\(E_A = 540\,\text{N}\)) est le facteur dominant. L’interaction \(E_{AB} = 210\,\text{N}\) est significative : l’effet de la température dépend de la vitesse d’avance.

2.4 Modèle du premier ordre (\(2^2\))

\[ \hat{Y} = \hat{Y}_0 + \frac{E_A}{2}\,x_A + \frac{E_B}{2}\,x_B + \frac{E_{AB}}{2}\,x_A x_B \] \[ \hat{Y} = 2020 + 270\,x_A + 35\,x_B + 105\,x_A x_B \]
Attention Dans le modèle de régression, les coefficients \(\hat{\beta}_i\) sont égaux à la moitié des effets estimés : \(\hat{\beta}_i = E_i / 2\).

3. Plan factoriel complet \(2^3\)

3.1 Principe et tableau de Yates

Avec \(k=3\) facteurs à 2 niveaux, on effectue \(2^3 = 8\) essais. On peut estimer : 3 effets principaux, 3 interactions d’ordre 2 et 1 interaction d’ordre 3. L’ordre des essais suit la notation de Yates : le premier facteur alterne \(-1/+1\) à chaque essai, le deuxième tous les 2, le troisième tous les 4.

Essai\(x_A\)\(x_B\)\(x_C\) \(x_Ax_B\)\(x_Ax_C\)\(x_Bx_C\)\(x_Ax_Bx_C\)\(Y\)
1−1−1−1+1+1+1−1\(y_1\)
2+1−1−1−1−1+1+1\(y_2\)
3−1+1−1−1+1−1+1\(y_3\)
4+1+1−1+1−1−1−1\(y_4\)
5−1−1+1+1−1−1+1\(y_5\)
6+1−1+1−1+1−1−1\(y_6\)
7−1+1+1−1−1+1−1\(y_7\)
8+1+1+1+1+1+1+1\(y_8\)
Formule générale Pour un plan \(2^3\), l’effet de chaque contraste (colonne \(c\)) est : \[ E_c = \frac{1}{4}\sum_{j=1}^{8} (x_{cj} \cdot Y_j) \]

3.2 Représentation géométrique (cube)

(−,−,−) (+,−,−) (−,+,−) (+,+,−) (+,−,+) (+,+,+) A B C

Représentation des 8 essais du plan \(2^3\) aux sommets d’un cube en variables codées.

3.3 Application numérique — soudage \(2^3\)

Facteur A : Température (\(200/240\,°\text{C}\)). Facteur B : Vitesse (\(1.5/2.5\,\text{m/min}\)). Facteur C : Pression (\(3/5\,\text{bar}\)). Réponse \(Y\) : résistance (N).

Essai\(x_A\)\(x_B\)\(x_C\)\(Y\) (N)
1−1−1−11 780
2+1−1−12 100
3−1+1−11 650
4+1+1−12 380
5−1−1+11 920
6+1−1+12 280
7−1+1+11 760
8+1+1+12 510

Moyenne : \(\hat{Y}_0 = 16380/8 = 2047.5\,\text{N}\)

\[E_A = \frac{1}{4}(-1780+2100-1650+2380-1920+2280-1760+2510) = \frac{4160}{4} = 540\,\text{N}\] \[E_B = \frac{1}{4}(-1780-2100+1650+2380-1920-2280+1760+2510) = \frac{220}{4} = 55\,\text{N}\] \[E_C = \frac{1}{4}(-1780-2100-1650-2380+1920+2280+1760+2510) = \frac{560}{4} = 140\,\text{N}\] \[E_{AB} = \frac{1}{4}(+1780-2100-1650+2380+1920-2280-1760+2510) = \frac{800}{4} = 200\,\text{N}\]

Facteur A (température) domine avec \(540\,\text{N}\), suivi de l’interaction AB (\(200\,\text{N}\)) et du facteur C pression (\(140\,\text{N}\)).

4. Plans factoriels fractionnaires \(2^{k-p}\)

4.1 Principe

Lorsque le nombre de facteurs \(k\) est grand, le plan complet \(2^k\) nécessite trop d’essais. Un plan fractionnaire \(2^{k-p}\) ne réalise qu’une fraction \(1/2^p\) du plan complet.

Définition — Alias (confusion) Dans un plan fractionnaire, certains effets sont confondus (aliasés) : il est impossible de les distinguer l’un de l’autre. Le générateur de confusion définit quels effets sont aliasés.

4.2 Plan \(2^{3-1}\) — 4 essais pour 3 facteurs

On choisit le générateur \(I = ABC\), soit \(x_C = x_A x_B\). Le plan est la demi-fraction du plan \(2^3\) dont les essais vérifient \(x_A x_B x_C = +1\).

Essai\(x_A\)\(x_B\)\(x_C = x_Ax_B\)\(Y\)
1−1−1+1\(y_1\)
2+1−1−1\(y_2\)
3−1+1−1\(y_3\)
4+1+1+1\(y_4\)
Structure des alias (plan de résolution III) :
\[I = ABC\] \[A \leftrightarrow BC,\quad B \leftrightarrow AC,\quad C \leftrightarrow AB\] Chaque effet principal est confondu avec une interaction d’ordre 2.
Résolution d’un plan La résolution (notée en chiffres romains) indique le rang minimal des effets confondus :

4.3 Plan \(2^{4-1}\) de résolution IV

Générateur : \(I = ABCD\) (\(x_D = x_Ax_Bx_C\)). Permet d’estimer les 4 effets principaux sans confusion.

Essai\(x_A\)\(x_B\)\(x_C\)\(x_D=x_Ax_Bx_C\)
1−1−1−1−1
2+1−1−1+1
3−1+1−1+1
4+1+1−1−1
5−1−1+1+1
6+1−1+1−1
7−1+1+1−1
8+1+1+1+1

5. Analyse des résultats

5.1 Diagramme des effets

Les effets estimés sont représentés graphiquement. Les effets significatifs se détachent nettement des effets de bruit.

5.2 Droite de Henry — test de normalité

Pour identifier les effets significatifs de façon rigoureuse, on utilise la droite de Henry (diagramme quantile-quantile normal). Les effets non significatifs sont de simples fluctuations aléatoires : ils s’alignent sur la droite. Les points qui s’écartent notablement correspondent aux effets réellement significatifs.

  1. Trier les effets estimés par ordre croissant : \(E_{(1)} \le \cdots \le E_{(m)}\).
  2. Calculer les quantiles théoriques : \(z_i = \Phi^{-1}\!\left(\dfrac{i-0.5}{m}\right)\).
  3. Porter les points \((z_i, E_{(i)})\) sur un graphique.
  4. Tracer la droite passant par les quartiles.
  5. Les points éloignés de la droite sont significatifs.

5.3 Critère de Lenth

En l’absence de répétitions, la méthode de Lenth fournit une estimation de l’erreur expérimentale :

\[ s_0 = 1.5 \cdot \mathrm{médiane}(|E_i|), \qquad \mathrm{PSE} = 1.5 \cdot \mathrm{médiane}\bigl(|E_i| \mid |E_i| < 2.5\,s_0\bigr) \] Un effet est déclaré significatif si \(|E_i| > 2.0 \cdot \mathrm{PSE}\).

6. Modèle mathématique du premier ordre

6.1 Équation du modèle

Modèle de régression \[ \hat{Y} = \beta_0 + \sum_{i=1}^{k}\beta_i x_i + \sum_{i < j}\beta_{ij}x_i x_j + \varepsilon \qquad \varepsilon \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2) \] avec \(\beta_i = E_i/2\).

En notation matricielle (\(\mathbf{X}\) = matrice des essais, \(\mathbf{y}\) = vecteur des réponses) :

\[ \hat{\boldsymbol{\beta}} = (\mathbf{X}^\top \mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^\top \mathbf{y} \] Pour un plan orthogonal : \(\mathbf{X}^\top\mathbf{X} = N\,\mathbf{I}\) donc \(\hat{\beta}_i = \frac{1}{N}\sum_j x_{ij} Y_j\).

6.2 Application — modèle du soudage \(2^3\)

À partir des effets calculés en section 3.3 :

\[ \hat{Y} = 2047.5 + 270\,x_A + 27.5\,x_B + 70\,x_C + 100\,x_Ax_B \]

6.3 Validation du modèle — résidus

Les résidus \(e_j = Y_j - \hat{Y}_j\) doivent vérifier :

\[ R^2 = 1 - \frac{\sum_j e_j^2}{\sum_j (Y_j - \bar{Y})^2}, \qquad R^2_{\text{adj}} = 1 - \frac{(1-R^2)(N-1)}{N-p-1} \]

Un bon modèle a généralement \(R^2_{\text{adj}} > 0.90\).

7. Surfaces de réponse (RSM)

7.1 Motivation

Le modèle du premier ordre ne peut pas localiser un optimum (il décrit des plans inclinés). Pour trouver les conditions optimales, on utilise des plans composites centraux (PCC) permettant d’estimer les termes du second ordre.

7.2 Modèle du second ordre

\[ \hat{Y} = \beta_0 + \sum_{i=1}^k \beta_i x_i + \sum_{i=1}^k \beta_{ii} x_i^2 + \sum_{i < j} \beta_{ij} x_i x_j \]

Ce modèle comporte \(\tfrac{(k+1)(k+2)}{2}\) paramètres (ex. : 6 pour \(k=2\), 10 pour \(k=3\)).

7.3 Plans composites centraux (PCC)

Un PCC est formé de trois parties :

1. Noyau factoriel \(2^k\) : sommets du cube (\(\pm1\)).

2. Points axiaux (étoile) : les points \((\pm\alpha, 0, \ldots, 0)\) avec \(\alpha = 2^{k/4}\) (CCC) ou \(\alpha = 1\) (CCF).

3. Point central : au moins 3 répétitions en \((0, 0, \ldots, 0)\) pour estimer l’erreur pure.

Nombre total d’essais : \(N = 2^k + 2k + n_0\) (\(n_0\geq 3\)).

Types de PCC

7.4 Optimisation — point stationnaire

Le point stationnaire du modèle quadratique est :

\[ \mathbf{x}_s = -\tfrac{1}{2}\mathbf{B}^{-1}\mathbf{b} \]

où \(\mathbf{B}\) est la matrice symétrique des termes du second ordre (\(\beta_{ii}\) sur la diagonale, \(\beta_{ij}/2\) hors diagonale) et \(\mathbf{b}\) le vecteur des termes linéaires.

Nature du point stationnaire selon les valeurs propres de \(\mathbf{B}\) :

Exemple Pour \(k=2\), le modèle ajusté est : \[\hat{Y} = 25.0 + 4.2\,x_A - 1.8\,x_B - 3.5\,x_A^2 - 2.0\,x_B^2 + 0.5\,x_Ax_B\] \(\mathbf{B} = \begin{pmatrix}-3.5 & 0.25 \\ 0.25 & -2.0\end{pmatrix}\), \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix}4.2 \\ -1.8\end{pmatrix}\).
Les deux valeurs propres de \(\mathbf{B}\) sont négatives → la surface a un maximum.

8. Introduction à la méthode de Taguchi

8.1 Philosophie

Genichi Taguchi (1924–2012) propose d’optimiser les procédés en réduisant simultanément la valeur moyenne et la variabilité. Il distingue :

Facteurs de contrôle : paramètres que l’ingénieur peut fixer (température, vitesse…).

Facteurs de bruit : facteurs incontrôlables en production (variations matière, humidité, usure…).

8.2 Rapport signal/bruit (S/N)

Maximiser \(Y\) \(\displaystyle \frac{S}{N} = -10\log_{10}\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{1}{y_i^2}\right)\)
Minimiser \(Y\) \(\displaystyle \frac{S}{N} = -10\log_{10}\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i^2\right)\)
Valeur cible \(\displaystyle \frac{S}{N} = 10\log_{10}\!\left(\frac{\bar{y}^2}{s^2}\right)\)

On choisit le réglage qui maximise le rapport S/N : on réduit ainsi l’effet des facteurs de bruit tout en maintenant la performance.

8.3 Tableaux orthogonaux

Taguchi a pré-calculé des tables spécialisées : L4, L8, L9, L16, L18, L27… Le tableau L8 permet d’étudier jusqu’à 7 facteurs à 2 niveaux avec 8 essais.

Attention Les tableaux de Taguchi confondent systématiquement certaines interactions, ce qui peut conduire à des erreurs si des interactions importantes existent. Les plans factoriels classiques restent plus rigoureux pour détecter les interactions.

9. Application industrielle complète — traitement de surface

Problème posé

Un technicien spécialisé en traitement de surface dans une entreprise d’aéronautique cherche à optimiser un bain de placage électrolytique pour des pièces en aluminium. Trois facteurs sont étudiés :

Réponse \(Y\) : épaisseur du dépôt (µm). Objectif : atteindre \(25\,\mu\text{m}\).

9.1 Résultats du plan \(2^3\) avec répliques

EssaiABC\(Y_1\)\(Y_2\)\(\bar{Y}\)\(s\)
1−1−1−115.214.815.00.28
2+1−1−122.121.922.00.14
3−1+1−118.318.718.50.28
4+1+1−126.827.227.00.28
5−1−1+116.917.117.00.14
6+1−1+124.424.624.50.14
7−1+1+120.621.421.00.57
8+1+1+129.830.230.00.28

9.2 Calcul et analyse des effets

Effets principaux (sur \(\bar{Y}\)) :

\[E_A = \frac{1}{4}(-15+22-18.5+27-17+24.5-21+30) = \frac{32}{4} = 8.0\,\mu\text{m}\] \[E_B = \frac{1}{4}(-15-22+18.5+27-17-24.5+21+30) = \frac{18}{4} = 4.5\,\mu\text{m}\] \[E_C = \frac{1}{4}(-15-22-18.5-27+17+24.5+21+30) = \frac{10}{4} = 2.5\,\mu\text{m}\] \[E_{AB} = \frac{1}{4}(+15-22-18.5+27+17-24.5-21+30) = \frac{3}{4} = 0.75\,\mu\text{m}\]

Modèle ajusté (termes significatifs A, B, C) :

\[\hat{Y} = 21.875 + 4.0\,x_A + 2.25\,x_B + 1.25\,x_C\]

Pour atteindre \(\hat{Y} = 25\,\mu\text{m}\) avec \(x_B = +1\) et \(x_C = 0\) :
\(25 = 21.875 + 4.0\,x_A + 2.25\) \(\Rightarrow x_A = (25 - 24.125)/4.0 = 0.22\) \(\Rightarrow A = 4 + 0.22 \times 2 = 4.44\,\text{A/dm}^2\).

Valider par un essai de confirmation à ces réglages.

Méthode — Démarche d’un plan d’expérience
  1. Définir l’objectif : maximiser, minimiser ou atteindre une cible ?
  2. Choisir la variable réponse \(Y\) : précise, mesurable, reproductible.
  3. Identifier les facteurs : contrôlables vs non contrôlables.
  4. Fixer les niveaux : coder en \(-1/+1\).
  5. Choisir le plan : complet, fractionnaire ou composite selon les contraintes.
  6. Réaliser les essais : en ordre aléatoire (randomisation).
  7. Calculer les effets : utiliser la matrice des contrastes.
  8. Identifier les effets significatifs : droite de Henry ou critère de Lenth.
  9. Construire et valider le modèle : vérifier les résidus.
  10. Optimiser : trouver les conditions optimales à partir du modèle.
  11. Confirmer : essais de confirmation aux réglages optimaux.
À retenir

Exercices

Exercice 1 — Codage et décodage

Un paramètre d’injection plastique, la pression, varie entre \(80\,\text{bar}\) (niveau bas) et \(120\,\text{bar}\) (niveau haut).

  1. Calculer \(\bar{X}\) et \(\Delta X\).
  2. Coder les valeurs \(80\,\text{bar}\), \(100\,\text{bar}\) et \(120\,\text{bar}\).
  3. Décoder le niveau codé \(x = +0.5\).
  1. \(\bar{X} = (80+120)/2 = 100\,\text{bar}\) ; \(\Delta X = (120-80)/2 = 20\,\text{bar}\).
  2. \(x(80) = (80-100)/20 = -1\) ; \(x(100) = 0\) ; \(x(120) = +1\).
  3. \(X = 100 + 0.5 \times 20 = 110\,\text{bar}\).
Exercice 2 — Plan \(2^2\) et effets

Un plan \(2^2\) sur la rugosité (µm) d’une pièce fraisée donne les résultats suivants :

Essai\(x_A\) (vitesse)\(x_B\) (avance)\(Y\) (µm)
1−1−11.8
2+1−11.2
3−1+12.6
4+1+12.0
  1. Calculer \(\hat{Y}_0\), \(E_A\), \(E_B\) et \(E_{AB}\).
  2. Écrire le modèle de régression.
  3. Quel réglage donne la rugosité minimale ?
  1. \(\hat{Y}_0 = (1.8+1.2+2.6+2.0)/4 = 1.90\,\mu\text{m}\)
    \(E_A = \frac{1}{2}(-1.8+1.2-2.6+2.0) = -0.60\,\mu\text{m}\)
    \(E_B = \frac{1}{2}(-1.8-1.2+2.6+2.0) = +0.80\,\mu\text{m}\)
    \(E_{AB} = \frac{1}{2}(+1.8-1.2-2.6+2.0) = 0\)
  2. \(\hat{Y} = 1.90 - 0.30\,x_A + 0.40\,x_B\).
  3. Rugosité minimale pour \(x_A = +1\) et \(x_B = -1\) : \(\hat{Y} = 1.90 - 0.30 - 0.40 = 1.20\,\mu\text{m}\) (essai 2).
Exercice 3 — Plan fractionnaire \(2^{3-1}\)

On étudie 3 facteurs (A, B, C) sur la dureté Vickers d’un acier traité thermiquement avec le plan \(2^{3-1}\) (\(x_C = x_A x_B\)). Résultats : \(y_1 = 280\), \(y_2 = 350\), \(y_3 = 310\), \(y_4 = 420\) HV.

  1. Dresser la matrice des essais.
  2. Calculer \(E_A\) et indiquer son alias.
  3. Calculer la moyenne générale \(\hat{Y}_0\).
Essai\(x_A\)\(x_B\)\(x_C=x_Ax_B\)\(Y\)
1−1−1+1280
2+1−1−1350
3−1+1−1310
4+1+1+1420

\(E_A = \frac{1}{2}(-280+350-310+420) = 90\,\text{HV}\) (estimé aliasé avec BC : on mesure \(E_A + E_{BC}\)).

\(\hat{Y}_0 = (280+350+310+420)/4 = 340\,\text{HV}\).

Exercice 4 — Rapport signal/bruit de Taguchi

Un mécanicien-outilleur mesure la dureté HRC de pièces après traitement thermique. Pour un réglage donné, il obtient 5 mesures : 58, 60, 59, 61, 58 HRC. L’objectif est de maximiser la dureté.

  1. Calculer le rapport S/N pour cet objectif.
  2. Si un second réglage donne S/N = 35.2 dB, lequel préférer ?
  1. \(\frac{1}{n}\sum \frac{1}{y_i^2} = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{58^2}+\frac{1}{60^2}+\frac{1}{59^2}+\frac{1}{61^2}+\frac{1}{58^2}\right)\)
    \(\approx \frac{1}{5}(2.972+2.778+2.873+2.688+2.972)\times 10^{-4} = \frac{14.283}{5}\times 10^{-4} = 2.857\times 10^{-4}\)
    \(\dfrac{S}{N} = -10\log_{10}(2.857\times 10^{-4}) \approx -10\times(-3.544) = 35.4\,\text{dB}\)
  2. Le réglage étudié (\(35.4\,\text{dB}\)) est légèrement meilleur que le second (\(35.2\,\text{dB}\)). On préfère le réglage qui maximise S/N.