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Interrogation — Ch20 : Plans d'expérience

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

Exercice 1 — Vocabulaire (3 pts)

  1. Définir, en une phrase chacun : un facteur, un niveau et la variable réponse. (2 pts)
  2. Combien d'essais comporte un plan factoriel complet \(2^3\) ? (1 pt)

Exercice 2 — Codage des facteurs (4 pts)

Une température varie entre \(180\,°\text{C}\) (niveau bas) et \(220\,°\text{C}\) (niveau haut). On rappelle \(\bar{X} = \dfrac{X_{\max}+X_{\min}}{2}\) et \(\Delta X = \dfrac{X_{\max}-X_{\min}}{2}\).

  1. Calculer \(\bar{X}\) et \(\Delta X\). (2 pts)
  2. Coder la valeur \(180\,°\text{C}\), puis décoder le niveau codé \(x = +0{,}5\). (2 pts)

Exercice 3 — Calcul des effets d'un plan \(2^2\) (6 pts)

Un plan \(2^2\) sur la résistance \(Y\) (en N) d'un collage donne :

Essai\(x_A\)\(x_B\)\(Y\) (N)
1−1−140
2+1−160
3−1+150
4+1+190

On rappelle \(\hat{Y}_0 = \dfrac{1}{4}\sum Y_j\) et \(E_i = \dfrac{1}{2}\sum (x_{ij}\,Y_j)\).

  1. Calculer la moyenne générale \(\hat{Y}_0\). (1,5 pt)
  2. Calculer les effets \(E_A\), \(E_B\) et l'interaction \(E_{AB}\) (colonne \(x_A x_B\)). (3 pts)
  3. Quel est le facteur dominant ? (1,5 pt)

Exercice 4 — Modèle de régression (4 pts)

On reprend les effets de l'exercice 3. On rappelle \(\hat{\beta}_i = E_i/2\).

  1. Écrire le modèle \(\hat{Y} = \hat{Y}_0 + \hat{\beta}_A\,x_A + \hat{\beta}_B\,x_B + \hat{\beta}_{AB}\,x_A x_B\). (2 pts)
  2. Prédire \(\hat{Y}\) au réglage \(x_A = +1\), \(x_B = +1\) et vérifier la cohérence avec l'essai 4. (2 pts)

Exercice 5 — Plan fractionnaire (3 pts)

On considère un plan fractionnaire \(2^{3-1}\) construit avec le générateur \(I = ABC\) (\(x_C = x_A x_B\)).

  1. Combien d'essais comporte ce plan ? (1 pt)
  2. Donner la structure des alias des effets principaux. Quelle est la résolution du plan ? (2 pts)

Correction

Exercice 1 (3 pts)

a) Facteur : paramètre du procédé susceptible d'influencer la réponse (ex. température). Niveau : valeur prise par un facteur lors d'un essai (codée −1 ou +1). Variable réponse : grandeur mesurée à chaque essai (ex. résistance). (2 pts)

b) Un plan \(2^3\) comporte \(2^3 = 8\) essais. (1 pt)

Exercice 2 (4 pts)

a) \(\bar{X} = \dfrac{220+180}{2} = 200\,°\text{C}\) ; \(\Delta X = \dfrac{220-180}{2} = 20\,°\text{C}\). (2 pts)

b) Codage : \(x(180) = \dfrac{180-200}{20} = -1\). Décodage : \(X = \bar{X} + x\,\Delta X = 200 + 0{,}5 \times 20 = 210\,°\text{C}\). (2 pts)

Exercice 3 (6 pts)

a) \(\hat{Y}_0 = \dfrac{40+60+50+90}{4} = \dfrac{240}{4} = 60\,\text{N}\). (1,5 pt)

b) Colonne \(x_A x_B\) : essai 1 \((+1)\), essai 2 \((-1)\), essai 3 \((-1)\), essai 4 \((+1)\).

\(E_A = \dfrac{1}{2}\bigl[(-1)(40)+(+1)(60)+(-1)(50)+(+1)(90)\bigr] = \dfrac{-40+60-50+90}{2} = \dfrac{60}{2} = 30\,\text{N}\).

\(E_B = \dfrac{1}{2}\bigl[(-1)(40)+(-1)(60)+(+1)(50)+(+1)(90)\bigr] = \dfrac{-40-60+50+90}{2} = \dfrac{40}{2} = 20\,\text{N}\).

\(E_{AB} = \dfrac{1}{2}\bigl[(+1)(40)+(-1)(60)+(-1)(50)+(+1)(90)\bigr] = \dfrac{40-60-50+90}{2} = \dfrac{20}{2} = 10\,\text{N}\). (3 pts)

c) Le facteur dominant est \(A\) (\(E_A = 30\,\text{N}\), le plus grand en valeur absolue). (1,5 pt)

Exercice 4 (4 pts)

a) \(\hat{\beta}_A = 15\), \(\hat{\beta}_B = 10\), \(\hat{\beta}_{AB} = 5\). Donc : \[\hat{Y} = 60 + 15\,x_A + 10\,x_B + 5\,x_A x_B\] (2 pts)

b) En \(x_A = +1\), \(x_B = +1\) (donc \(x_A x_B = +1\)) : \[\hat{Y} = 60 + 15 + 10 + 5 = 90\,\text{N}\] ce qui coïncide exactement avec l'essai 4 (\(Y = 90\,\text{N}\)). (2 pts)

Exercice 5 (3 pts)

a) Un plan \(2^{3-1}\) comporte \(2^{3-1} = 2^2 = 4\) essais. (1 pt)

b) Avec \(I = ABC\), les alias sont : \(A \leftrightarrow BC\), \(B \leftrightarrow AC\), \(C \leftrightarrow AB\). Chaque effet principal est confondu avec une interaction d'ordre 2 : le plan est de résolution III. (2 pts)

Total : 3 + 4 + 6 + 4 + 3 = 20 points.