Fiche résumé – Plans d'expérience

Chapitre 20 | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

Un plan d'expérience étudie plusieurs facteurs simultanément et révèle leurs interactions (contrairement à « un facteur à la fois »).
Plan factoriel \(2^k\) : \(2^k\) essais, on estime \(2^k-1\) effets ; niveaux codés \(-1\) (bas) et \(+1\) (haut).
Coefficients du modèle de régression : \(\hat\beta_i=E_i/2\).
Plan fractionnaire \(2^{k-p}\) : moins d'essais mais des alias entre effets (mesurés par la résolution III < IV < V).

Définitions clés

Définition

Facteur \(X_i\) : paramètre du procédé influençant la réponse \(Y\) (grandeur mesurée). Niveau : valeur prise par un facteur.

Définition

Effet principal : variation de \(Y\) due à un seul facteur. Interaction : l'effet d'un facteur dépend du niveau d'un autre.

Définition

Alias (confusion) : dans un plan fractionnaire, deux effets sont indissociables. Le générateur les définit (ex. \(I=ABC\)).

Définition

Plan composite central (PCC) : noyau \(2^k\) + points axiaux + point central répété ; permet d'estimer les termes quadratiques (surface de réponse).

Formules à connaître

Codage d'un facteur \[x_i=\frac{X_i-\bar X_i}{\Delta X_i},\quad \bar X_i=\frac{X_{i,\max}+X_{i,\min}}{2},\ \Delta X_i=\frac{X_{i,\max}-X_{i,\min}}{2}\]

Effets et moyenne (plan \(2^k\), \(N=2^k\) essais) \[E_c=\frac{2}{N}\sum_{j=1}^{N}x_{cj}\,Y_j\qquad \hat Y_0=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}Y_j\]

Modèle du premier ordre \[\hat Y=\hat Y_0+\sum_i\frac{E_i}{2}\,x_i+\sum_{i\lt j}\frac{E_{ij}}{2}\,x_i x_j,\qquad \hat\beta_i=\frac{E_i}{2}\]

Rapport signal/bruit (Taguchi, maximiser \(Y\)) \[\frac{S}{N}=-10\log_{10}\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{1}{y_i^2}\right)\]

On choisit le réglage qui maximise S/N (robustesse).

Résolution d'un plan fractionnaire

Résolution	Confusion
III	Effets principaux ↔ interactions d'ordre 2
IV	Principaux non aliasés ; interactions d'ordre 2 entre elles
V	Principaux et interactions d'ordre 2 tous estimables

Méthode — Démarche d'un plan d'expérience

Méthode

Définir l'objectif (maximiser, minimiser, cible) et la réponse \(Y\).
Choisir les facteurs et fixer leurs niveaux ; coder en \(-1/+1\).
Choisir le plan (complet, fractionnaire, composite) et réaliser les essais (randomisés).
Calculer les effets via la matrice des contrastes ; repérer les significatifs (droite de Henry, critère de Lenth).
Construire et valider le modèle (résidus), optimiser puis confirmer par un essai.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Procéder « un facteur à la fois » (OFAT).

✅ L'OFAT ne détecte pas les interactions et exige plus d'essais : préférer un plan factoriel.

❌ Confondre effet \(E_i\) et coefficient \(\hat\beta_i\) du modèle.

✅ Le coefficient vaut la moitié de l'effet : \(\hat\beta_i=E_i/2\).

❌ Interpréter un effet principal d'un plan fractionnaire comme « pur ».

✅ Il est aliasé : on mesure par exemple \(E_A+E_{BC}\) (selon la résolution).

❌ Chercher un optimum avec un modèle du premier ordre.

✅ Le 1er ordre décrit des plans inclinés ; un optimum exige les termes quadratiques (PCC).