Exercices par capacités · BTS
Dernière mise à jour : 21 juin 2026
Une température varie entre 200 °C (bas) et 240 °C (haut). Calculer la valeur centrale \(\bar X\) et le pas \(\Delta X\), puis coder 200 °C et 240 °C.
\(\bar X = \dfrac{200+240}{2} = 220\) °C ; \(\Delta X = \dfrac{240-200}{2} = 20\) °C.
Codage \(x = \dfrac{X - \bar X}{\Delta X}\) : \(x(200) = \dfrac{200-220}{20} = -1\) ; \(x(240) = \dfrac{240-220}{20} = +1\).
Une pression d'injection varie entre 80 bar et 120 bar. Coder 80, 100 et 120 bar, puis décoder le niveau codé \(x = +0{,}5\).
\(\bar X = 100\) bar ; \(\Delta X = 20\) bar.
\(x(80) = \dfrac{80-100}{20} = -1\) ; \(x(100) = 0\) ; \(x(120) = +1\).
Décodage : \(X = \bar X + x\,\Delta X = 100 + 0{,}5\times20 = 110\) bar.
Une vitesse d'avance varie entre 1,5 m/min et 2,5 m/min. Coder la valeur 2,0 m/min et indiquer ce qu'elle représente.
\(\bar X = \dfrac{1{,}5+2{,}5}{2} = 2{,}0\) m/min ; \(\Delta X = \dfrac{2{,}5-1{,}5}{2} = 0{,}5\) m/min.
\(x(2{,}0) = \dfrac{2{,}0 - 2{,}0}{0{,}5} = 0\) : c'est le centre du domaine (point central).
Construire la matrice des essais d'un plan factoriel complet \(2^2\) (facteurs A et B), en ajoutant la colonne d'interaction \(x_A x_B\).
| Essai | \(x_A\) | \(x_B\) | \(x_A x_B\) |
|---|---|---|---|
| 1 | −1 | −1 | +1 |
| 2 | +1 | −1 | −1 |
| 3 | −1 | +1 | −1 |
| 4 | +1 | +1 | +1 |
La colonne d'interaction est le produit ligne par ligne de \(x_A\) et \(x_B\).
Combien d'essais comporte un plan complet \(2^3\) ? Combien d'effets (principaux + interactions) peut-on estimer ?
Nombre d'essais : \(2^3 = 8\).
Nombre d'effets estimables : \(2^3 - 1 = 7\), soit 3 effets principaux (A, B, C), 3 interactions d'ordre 2 (AB, AC, BC) et 1 interaction d'ordre 3 (ABC).
Dans un plan \(2^3\) en notation de Yates, donner la colonne d'interaction \(x_A x_B\) pour les 8 essais (le 1er facteur alterne tous les 1, le 2e tous les 2, le 3e tous les 4).
| Essai | \(x_A\) | \(x_B\) | \(x_A x_B\) |
|---|---|---|---|
| 1 | −1 | −1 | +1 |
| 2 | +1 | −1 | −1 |
| 3 | −1 | +1 | −1 |
| 4 | +1 | +1 | +1 |
| 5 | −1 | −1 | +1 |
| 6 | +1 | −1 | −1 |
| 7 | −1 | +1 | −1 |
| 8 | +1 | +1 | +1 |
\(x_A x_B = +1\) quand \(x_A\) et \(x_B\) ont le même signe, \(-1\) sinon.
Un plan \(2^2\) sur la résistance d'une soudure (en N) donne les réponses ci-dessous. Calculer la moyenne générale \(\hat Y_0\).
| Essai | \(x_A\) | \(x_B\) | \(Y\) (N) |
|---|---|---|---|
| 1 | −1 | −1 | 1 820 |
| 2 | +1 | −1 | 2 150 |
| 3 | −1 | +1 | 1 680 |
| 4 | +1 | +1 | 2 430 |
\(\hat Y_0 = \dfrac{1820 + 2150 + 1680 + 2430}{4} = \dfrac{8080}{4} = 2020\) N.
Avec les mêmes données (exercice 7), calculer l'effet principal \(E_A\) du facteur A. Formule : \(E_i = \dfrac{2}{N}\sum_j x_{ij}Y_j\) avec \(N=4\).
\(E_A = \dfrac{1}{2}\big[(-1)(1820) + (+1)(2150) + (-1)(1680) + (+1)(2430)\big]\).
\(= \dfrac{1}{2}(-1820 + 2150 - 1680 + 2430) = \dfrac{1080}{2} = 540\) N.
La température (A) augmente la résistance de 540 N en moyenne entre niveau bas et haut.
Toujours avec les données de l'exercice 7, calculer \(E_B\) et l'interaction \(E_{AB}\) (la colonne \(x_A x_B\) vaut +1, −1, −1, +1).
\(E_B = \dfrac{1}{2}\big[(-1)(1820) + (-1)(2150) + (+1)(1680) + (+1)(2430)\big] = \dfrac{1}{2}(-1820 - 2150 + 1680 + 2430) = \dfrac{140}{2} = 70\) N.
\(E_{AB} = \dfrac{1}{2}\big[(+1)(1820) + (-1)(2150) + (-1)(1680) + (+1)(2430)\big] = \dfrac{1}{2}(1820 - 2150 - 1680 + 2430) = \dfrac{420}{2} = 210\) N.
L'interaction \(E_{AB} = 210\) N est notable : l'effet de A dépend du niveau de B.
Un plan \(2^3\) sur la résistance (N) donne les 8 réponses : 1780, 2100, 1650, 2380, 1920, 2280, 1760, 2510 (essais 1 à 8 en notation de Yates). Calculer l'effet principal \(E_A\). Formule : \(E_c = \dfrac{1}{4}\sum_j x_{cj}Y_j\).
En Yates, \(x_A = -1,+1,-1,+1,-1,+1,-1,+1\).
\(E_A = \dfrac{1}{4}(-1780 + 2100 - 1650 + 2380 - 1920 + 2280 - 1760 + 2510)\).
Somme : \((-1780-1650-1920-1760) + (2100+2380+2280+2510) = -7110 + 9270 = 2160\).
\(E_A = \dfrac{2160}{4} = 540\) N.
Avec les mêmes 8 réponses (exercice 10), calculer l'effet \(E_C\). En Yates, \(x_C = -1,-1,-1,-1,+1,+1,+1,+1\).
\(E_C = \dfrac{1}{4}\big[-(1780+2100+1650+2380) + (1920+2280+1760+2510)\big]\).
\(= \dfrac{1}{4}(-7910 + 8470) = \dfrac{560}{4} = 140\) N.
La pression (C) a un effet plus faible que la température (A, 540 N).
À partir des résultats du plan \(2^2\) (\(\hat Y_0 = 2020\), \(E_A = 540\), \(E_B = 70\), \(E_{AB} = 210\)), écrire le modèle de régression \(\hat Y\). Rappel : \(\hat\beta_i = E_i/2\).
Coefficients : \(\beta_A = 540/2 = 270\) ; \(\beta_B = 70/2 = 35\) ; \(\beta_{AB} = 210/2 = 105\).
\(\hat Y = 2020 + 270\,x_A + 35\,x_B + 105\,x_A x_B\).
Avec le modèle \(\hat Y = 2020 + 270\,x_A + 35\,x_B + 105\,x_A x_B\), prédire la résistance pour le réglage \(x_A = +1\), \(x_B = +1\). Comparer à la valeur mesurée 2 430 N (essai 4).
\(\hat Y = 2020 + 270(1) + 35(1) + 105(1)(1) = 2020 + 270 + 35 + 105 = 2430\) N.
La prédiction est égale à la mesure : pour un plan complet \(2^2\), le modèle reproduit exactement les essais.
Un plan \(2^2\) sur la rugosité (µm) d'une pièce fraisée donne : essai 1 (−,−) → 1,8 ; essai 2 (+,−) → 1,2 ; essai 3 (−,+) → 2,6 ; essai 4 (+,+) → 2,0. Calculer \(\hat Y_0\), \(E_A\), \(E_B\) et le réglage qui minimise la rugosité.
\(\hat Y_0 = \dfrac{1{,}8+1{,}2+2{,}6+2{,}0}{4} = \dfrac{7{,}6}{4} = 1{,}90\) µm.
\(E_A = \dfrac{1}{2}(-1{,}8 + 1{,}2 - 2{,}6 + 2{,}0) = \dfrac{-1{,}2}{2} = -0{,}60\) µm.
\(E_B = \dfrac{1}{2}(-1{,}8 - 1{,}2 + 2{,}6 + 2{,}0) = \dfrac{1{,}6}{2} = +0{,}80\) µm.
A diminue la rugosité (\(E_A \lt 0\)), B l'augmente. Minimum pour \(x_A = +1\), \(x_B = -1\) (essai 2, \(Y = 1{,}2\) µm).
Un modèle ajusté donne \(\hat Y = 19{,}375 + 4{,}0\,x_A + 2{,}25\,x_B + 1{,}25\,x_C\) (épaisseur en µm). Pour atteindre la cible \(\hat Y = 25\) µm avec \(x_B = +1\) et \(x_C = 0\), déterminer le niveau codé \(x_A\) nécessaire.
\(25 = 19{,}375 + 4{,}0\,x_A + 2{,}25(1) + 1{,}25(0)\).
\(25 = 21{,}625 + 4{,}0\,x_A \implies 4{,}0\,x_A = 3{,}375 \implies x_A = 0{,}84\).
On confirme ensuite par un essai à ce réglage (puis décodage de \(x_A\) en valeur réelle).
Construire la matrice d'un plan fractionnaire \(2^{3-1}\) avec le générateur \(x_C = x_A x_B\) (3 facteurs, 4 essais).
| Essai | \(x_A\) | \(x_B\) | \(x_C = x_A x_B\) |
|---|---|---|---|
| 1 | −1 | −1 | +1 |
| 2 | +1 | −1 | −1 |
| 3 | −1 | +1 | −1 |
| 4 | +1 | +1 | +1 |
On ne réalise que la moitié des 8 essais du plan complet (les essais où \(x_A x_B x_C = +1\)).
Pour le plan \(2^{3-1}\) de générateur \(I = ABC\), donner la structure des alias des effets principaux et préciser la résolution du plan.
À partir de \(I = ABC\) (et \(A^2 = B^2 = C^2 = I\)) :
\(A \leftrightarrow BC\), \(B \leftrightarrow AC\), \(C \leftrightarrow AB\).
Chaque effet principal est confondu avec une interaction d'ordre 2 : c'est un plan de résolution III.
Un plan \(2^{3-1}\) (\(x_C = x_A x_B\)) sur la dureté Vickers donne : \(y_1 = 280\), \(y_2 = 350\), \(y_3 = 310\), \(y_4 = 420\) HV. Calculer l'effet \(E_A\) et indiquer son alias.
\(x_A = -1, +1, -1, +1\) sur les 4 essais.
\(E_A = \dfrac{1}{2}(-280 + 350 - 310 + 420) = \dfrac{180}{2} = 90\) HV.
En résolution III, \(A \leftrightarrow BC\) : on mesure en réalité \(E_A + E_{BC}\) (effet aliasé avec l'interaction BC).
Avec les données de l'exercice 18, calculer la moyenne générale \(\hat Y_0\), puis l'effet \(E_B\) (\(x_B = -1,-1,+1,+1\)).
\(\hat Y_0 = \dfrac{280 + 350 + 310 + 420}{4} = \dfrac{1360}{4} = 340\) HV.
\(E_B = \dfrac{1}{2}(-280 - 350 + 310 + 420) = \dfrac{100}{2} = 50\) HV (aliasé avec AC).
Comparer le nombre d'essais d'un plan complet \(2^4\) et d'un plan fractionnaire \(2^{4-1}\). Quel est l'avantage et l'inconvénient du plan fractionnaire ?
Plan complet \(2^4 = 16\) essais. Plan fractionnaire \(2^{4-1} = 2^3 = 8\) essais (moitié).
Avantage : on divise par 2 le nombre d'essais (gain de coût et de temps).
Inconvénient : certains effets sont confondus (alias). Avec le générateur \(I = ABCD\), le plan est de résolution IV : les 4 effets principaux sont estimables sans confusion entre eux.