BTS | Mathématiques | Groupements B2, B3
Dernière mise à jour : 26 juin 2026
Un technicien en électronique industrielle travaille sur un système de traitement numérique du signal. Le convertisseur analogique-numérique (CAN) échantillonne un signal de mesure à la fréquence \(f_e = 1\,\text{kHz}\). Le signal numérique obtenu \(x[n]\) doit être filtré pour éliminer les bruits haute fréquence avant d'être transmis à l'unité de contrôle d'un variateur de vitesse.
L'outil mathématique adapté à ce traitement est la transformée en z, qui joue pour les signaux discrets le même rôle que la transformée de Laplace pour les signaux continus. Elle permet de concevoir des filtres numériques, d'analyser leur stabilité et de calculer leur réponse.
Un signal discret est une suite de valeurs numériques \(x[n]\) indexées par un entier \(n \in \mathbb{Z}\). Il résulte de l'échantillonnage d'un signal continu \(x(t)\) à des instants \(t = nT_e\) :
\[x[n] = x(nT_e), \quad T_e = \frac{1}{f_e}\]Signaux discrets fondamentaux :
La transformée de Fourier à temps discret d'un signal \(x[n]\) est :
\[X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]\, e^{-j\omega n}\]où \(\omega\) est la pulsation normalisée (sans dimension). Elle existe si le signal est absolument sommable : \(\sum_{n}|x[n]| < +\infty\).
La transformée en z est une généralisation de la TFTD : on substitue \(e^{j\omega}\) par une variable complexe \(z\), ce qui étend considérablement le domaine de convergence.
Soit \(x[n]\) un signal discret. La transformée en z bilatérale est :
La région de convergence (ROC) est l'ensemble des \(z\) pour lesquels la série converge absolument.
Pour les signaux causaux (nuls pour \(n < 0\)), on utilise la transformée unilatérale, plus courante en traitement du signal :
Pour un signal causal \(x[n] = x[n]\,u[n]\), la ROC est : \[|z| > r_{\max}\] où \(r_{\max}\) est le plus grand module des pôles de \(X(z)\).
Le cercle unité \(|z| = 1\) est dans la ROC si et seulement si tous les pôles vérifient \(|p_i| < 1\). Dans ce cas, on peut calculer la réponse en fréquence en posant \(z = e^{j\omega}\).
| Signal \(x[n]\) | Transformée \(X(z)\) | ROC |
|---|---|---|
| \(\delta[n]\) | \(1\) | tout \(\mathbb{C}\) |
| \(\delta[n-k]\) (\(k \geq 0\)) | \(z^{-k}\) | \(z \neq 0\) si \(k > 0\) |
| \(u[n]\) | \(\dfrac{z}{z-1}\) | \(|z| > 1\) |
| \(a^n\,u[n]\) | \(\dfrac{z}{z-a}\) | \(|z| > |a|\) |
| \(n\,u[n]\) | \(\dfrac{z}{(z-1)^2}\) | \(|z| > 1\) |
| \(n\,a^n\,u[n]\) | \(\dfrac{az}{(z-a)^2}\) | \(|z| > |a|\) |
| \(\cos(\omega_0 n)\,u[n]\) | \(\dfrac{z(z-\cos\omega_0)}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1}\) | \(|z| > 1\) |
| \(\sin(\omega_0 n)\,u[n]\) | \(\dfrac{z\sin\omega_0}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1}\) | \(|z| > 1\) |
| \(a^n\cos(\omega_0 n)\,u[n]\) | \(\dfrac{z(z-a\cos\omega_0)}{z^2 - 2az\cos\omega_0 + a^2}\) | \(|z| > |a|\) |
| \(a^n\sin(\omega_0 n)\,u[n]\) | \(\dfrac{az\sin\omega_0}{z^2 - 2az\cos\omega_0 + a^2}\) | \(|z| > |a|\) |
Par définition de la transformée unilatérale :
\[\mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \sum_{n=0}^{+\infty} a^n z^{-n} = \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{a}{z}\right)^n\]C'est une série géométrique de raison \(r = a/z\). Elle converge si et seulement si \(|a/z| < 1\), c'est-à-dire \(|z| > |a|\). La somme vaut :
\[\mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \frac{1}{1 - a/z} = \frac{z}{z - a}\]Pour tous réels \(\alpha, \beta\) et signaux \(x[n], y[n]\) :
Pour tout entier \(k \geq 0\) et conditions initiales nulles :
Le facteur \(z^{-k}\) joue le rôle d'un opérateur de retard. Il est l'analogue discret du facteur \(e^{-sT}\) en transformée de Laplace.
Pour tout entier \(k \geq 1\) et conditions initiales nulles :
\[\mathcal{Z}\{x[n+k]\} = z^{k}\,X(z)\]Si \(y[n] = x[n] * h[n] = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]\,h[n-k]\), alors :
La convolution (opération complexe dans le domaine temporel) devient un simple produit dans le domaine z.
Pour un signal causal \(x[n]\) avec \(x[n] = 0\) pour \(n < 0\) :
Si \(x[n]\) admet une limite quand \(n \to +\infty\), et si tous les pôles de \((z-1)X(z)\) sont à l'intérieur du cercle unité (sauf éventuellement en \(z=1\)) :
On part de \(\mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \dfrac{z}{z-a}\) et on applique la propriété de multiplication par \(n\) :
\[\mathcal{Z}\{n\,a^n\,u[n]\} = -z\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\!\left(\frac{z}{z-a}\right)\]Calcul de la dérivée :
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\!\left(\frac{z}{z-a}\right) = \frac{(z-a)\cdot 1 - z \cdot 1}{(z-a)^2} = \frac{-a}{(z-a)^2}\]Donc :
\[\mathcal{Z}\{n\,a^n\,u[n]\} = -z \cdot \frac{-a}{(z-a)^2} = \frac{az}{(z-a)^2}\]La transformée en z inverse permet de retrouver \(x[n]\) à partir de \(X(z)\). La formule théorique fait appel à une intégrale de contour (théorème des résidus), mais en pratique on utilise la décomposition en éléments simples.
La méthode standard consiste à développer \(X(z)/z\) en fractions partielles, puis à multiplier par \(z\) pour retrouver des termes identifiables dans la table.
Pour un pôle \(a\) d'ordre 2, la décomposition de \(X(z)/z\) comprend des termes en \(\dfrac{A}{z-a}\) et \(\dfrac{B}{(z-a)^2}\). Après multiplication par \(z\) : \[\frac{Az}{z-a} + \frac{Bz}{(z-a)^2} \xrightarrow{\mathcal{Z}^{-1}} A\,a^n\,u[n] + \frac{B}{a}\,n\,a^n\,u[n]\]
Posons \(F(z) = \dfrac{z^2}{(z-1)(z-0{,}5)}\). On écrit :
\[\frac{F(z)}{z} = \frac{z}{(z-1)(z-0{,}5)} = \frac{A}{z-1} + \frac{B}{z-0{,}5}\]Calcul de \(A\) :
\[A = \left[\frac{z}{z-0{,}5}\right]_{z=1} = \frac{1}{1 - 0{,}5} = 2\]Calcul de \(B\) :
\[B = \left[\frac{z}{z-1}\right]_{z=0{,}5} = \frac{0{,}5}{0{,}5 - 1} = \frac{0{,}5}{-0{,}5} = -1\]On reconstitue \(F(z)\) :
\[F(z) = \frac{2z}{z-1} - \frac{z}{z-0{,}5}\]Par la table des transformées inverses :
\[f[n] = 2 \cdot 1^n\,u[n] - (0{,}5)^n\,u[n] = \left[2 - (0{,}5)^n\right]u[n]\]Vérification (valeur initiale) : \(\lim_{z\to\infty} F(z) = 1 \Rightarrow f[0] = 1 = 2 - (0{,}5)^0 = 2 - 1 = 1\). Cohérent.
Une équation aux différences (EDLCC) est de la forme :
Elle modélise la relation entre l'entrée \(x[n]\) et la sortie \(y[n]\) d'un système discret. \(N\) est l'ordre du système.
Avec des conditions initiales nulles (\(y[-k] = 0\) et \(x[-k] = 0\) pour \(k > 0\)) :
Résoudre \(y[n] - 0{,}7\,y[n-1] = x[n]\) avec \(x[n] = \delta[n]\), conditions initiales nulles.
Étape 1 : Transformation en z :
\[Y(z) - 0{,}7\,z^{-1}Y(z) = \mathcal{Z}\{\delta[n]\} = 1\]Étape 2 : Factorisation :
\[Y(z)\left(1 - 0{,}7\,z^{-1}\right) = 1 \implies Y(z) = \frac{1}{1-0{,}7z^{-1}} = \frac{z}{z-0{,}7}\]Étape 3 : Transformée inverse (lecture directe dans la table) :
\[y[n] = h[n] = (0{,}7)^n\,u[n]\]Soit \(y[n] - 1{,}2\,y[n-1] + 0{,}35\,y[n-2] = x[n]\), avec \(x[n] = u[n]\) et conditions initiales nulles.
Fonction de transfert :
\[H(z) = \frac{1}{1 - 1{,}2z^{-1} + 0{,}35z^{-2}} = \frac{z^2}{z^2 - 1{,}2z + 0{,}35}\]Pôles : \(\Delta = 1{,}44 - 4(0{,}35) = 0{,}04\), donc \(z_1 = 0{,}7\), \(z_2 = 0{,}5\).
Transformée de l'entrée : \(X(z) = \dfrac{z}{z-1}\).
\[Y(z) = H(z)X(z) = \frac{z^3}{(z^2 - 1{,}2z + 0{,}35)(z-1)} = \frac{z^3}{(z-0{,}7)(z-0{,}5)(z-1)}\]Décomposition de \(Y(z)/z\) :
\[\frac{Y(z)}{z} = \frac{z^2}{(z-0{,}7)(z-0{,}5)(z-1)} = \frac{A}{z-1} + \frac{B}{z-0{,}7} + \frac{C}{z-0{,}5}\]Résidus :
\[A = \left[\frac{z^2}{(z-0{,}7)(z-0{,}5)}\right]_{z=1} = \frac{1}{0{,}3 \times 0{,}5} = \frac{20}{3}\] \[B = \left[\frac{z^2}{(z-0{,}5)(z-1)}\right]_{z=0{,}7} = \frac{0{,}49}{0{,}2\times(-0{,}3)} = -\frac{49}{6}\] \[C = \left[\frac{z^2}{(z-0{,}7)(z-1)}\right]_{z=0{,}5} = \frac{0{,}25}{(-0{,}2)(-0{,}5)} = \frac{5}{2}\]Réponse :
\[y[n] = \left(\frac{20}{3} - \frac{49}{6}(0{,}7)^n + \frac{5}{2}(0{,}5)^n\right)u[n]\]La fonction de transfert en z d'un système numérique est le rapport :
Les zéros de \(H(z)\) sont les racines du numérateur. Les pôles de \(H(z)\) sont les racines du dénominateur.
Un système numérique décrit par \(H(z)\) est stable si et seulement si :
Tous les pôles doivent être strictement à l'intérieur du cercle unité dans le plan complexe. C'est l'analogue discret de la stabilité de Hurwitz (pôles à partie réelle strictement négative) pour les systèmes continus.
Critère de stabilité dans le plan complexe : un système est stable si et seulement si tous ses pôles (croix \(\times\)) sont strictement à l'intérieur du cercle unité, soit \(|p_i| < 1\) (en vert). Un seul pôle à l'extérieur (en rouge) rend le système instable.
| Domaine continu (Laplace) | Domaine discret (z) |
|---|---|
| Variable complexe \(s\) | Variable complexe \(z\) |
| Retard \(e^{-sT}\) | Retard \(z^{-1}\) |
| Stable : \(\text{Re}(p_i) < 0\) | Stable : \(|p_i| < 1\) |
| Plan complexe entier | Plan complexe avec cercle unité |
| Axe imaginaire \(j\omega\) | Cercle unité \(|z|=1\) |
Un filtre RIF est un filtre dont la réponse impulsionnelle \(h[n]\) est nulle au-delà d'un rang \(M\) fini. Sa fonction de transfert est un polynôme en \(z^{-1}\) :
Les seuls pôles sont en \(z = 0\) : un filtre RIF est toujours stable. L'implémentation par l'équation aux différences \(y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_k\,x[n-k]\) ne nécessite pas de rétroaction.
Un filtre RII possède une réponse impulsionnelle de durée infinie. Sa fonction de transfert est une fraction rationnelle :
Il possède des pôles non nuls. Sa stabilité doit être vérifiée. L'implémentation nécessite une boucle de rétroaction.
Le filtre de lissage exponentiel est défini par :
\[y[n] = \alpha\, x[n] + (1-\alpha)\, y[n-1], \quad 0 < \alpha \leq 1\]Sa fonction de transfert est :
\[H(z) = \frac{\alpha\, z}{z - (1-\alpha)}\]Pôle : \(p = 1 - \alpha\). Pour \(0 < \alpha < 2\), \(|p| < 1\) : filtre stable. Plus \(\alpha\) est petit, plus le filtre est lissant (bande passante étroite).
Gain statique : \(H(1) = \dfrac{\alpha}{1-(1-\alpha)} = \dfrac{\alpha}{\alpha} = 1\). Le filtre ne déforme pas la composante continue.
Le filtre différenciateur discret est :
\[y[n] = x[n] - x[n-1]\]Sa fonction de transfert :
\[H(z) = 1 - z^{-1} = \frac{z-1}{z}\]Zéro en \(z = 1\) (composante continue bloquée), pôle en \(z = 0\) : filtre RIF toujours stable. Il s'approche d'un dérivateur discret.
Le filtre à moyenne glissante d'ordre \(M\) est :
\[y[n] = \frac{1}{M+1}\sum_{k=0}^{M} x[n-k]\]Sa fonction de transfert :
\[H(z) = \frac{1}{M+1}\sum_{k=0}^{M} z^{-k} = \frac{1}{M+1}\cdot\frac{1 - z^{-(M+1)}}{1-z^{-1}}\]Filtre RIF d'ordre \(M\), toujours stable. Effet de lissage plus fort pour \(M\) grand.
Un technicien mesure une température toutes les \(T_e = 100\,\text{ms}\). Il applique le filtre \(y[n] = 0{,}2\,x[n] + 0{,}8\,y[n-1]\) (\(\alpha = 0{,}2\)).
Calculer les transformées en z des signaux suivants :
Calculer la transformée en z inverse de :
Un filtre numérique est décrit par : \[y[n] - 0{,}5\,y[n-1] - 0{,}25\,y[n-2] = x[n] + 0{,}5\,x[n-1]\]
Un système de commande numérique possède : \[H(z) = \frac{0{,}1(z+1)}{(z-0{,}8)(z-0{,}6)}\]