← Retour au sommaire

Interrogation — Ch19 : Transformation en z

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

On pourra utiliser les transformées usuelles : \(\mathcal{Z}\{\delta[n]\} = 1\), \(\mathcal{Z}\{\delta[n-k]\} = z^{-k}\), \(\mathcal{Z}\{u[n]\} = \dfrac{z}{z-1}\), \(\mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \dfrac{z}{z-a}\), \(\mathcal{Z}\{n\,a^n u[n]\} = \dfrac{az}{(z-a)^2}\).

Exercice 1 — Transformées directes (4 pts)

Calculer la transformée en z des signaux causaux suivants :

  1. \(x_1[n] = 3\,\delta[n] - 2\,\delta[n-1]\) (2 pts)
  2. \(x_2[n] = (0{,}5)^n\,u[n]\) (2 pts)

Exercice 2 — Linéarité (3 pts)

Soit \(x[n] = 2\,u[n] + (0{,}3)^n\,u[n]\). Donner \(X(z)\) en utilisant la linéarité. (3 pts)

Exercice 3 — Transformée inverse (5 pts)

Soit \(X(z) = \dfrac{z^2}{(z-1)(z-0{,}4)}\). On décompose \(\dfrac{X(z)}{z}\) en éléments simples.

  1. Écrire \(\dfrac{X(z)}{z} = \dfrac{A}{z-1} + \dfrac{B}{z-0{,}4}\) et calculer \(A\) et \(B\). (3 pts)
  2. En déduire le signal \(x[n]\). (2 pts)

Exercice 4 — Équation aux différences (4 pts)

Un filtre du 1er ordre vérifie \(y[n] - 0{,}6\,y[n-1] = x[n]\), conditions initiales nulles.

  1. Appliquer la transformée en z et en déduire la fonction de transfert \(H(z) = \dfrac{Y(z)}{X(z)}\). (2 pts)
  2. Calculer la réponse impulsionnelle \(h[n]\) (cas \(x[n] = \delta[n]\)). (2 pts)

Exercice 5 — Stabilité (4 pts)

On donne deux fonctions de transfert : \(H_1(z) = \dfrac{z}{z - 0{,}8}\) et \(H_2(z) = \dfrac{z}{z - 1{,}5}\).

  1. Rappeler la condition de stabilité d'un système numérique sur ses pôles. (1,5 pt)
  2. Déterminer le pôle de chaque filtre et indiquer lequel est stable. (2,5 pts)

Correction

Exercice 1 (4 pts)

a) Par linéarité et \(\mathcal{Z}\{\delta[n-k]\} = z^{-k}\) : \(X_1(z) = 3 \times 1 - 2 \times z^{-1} = 3 - 2z^{-1}\). (2 pts)

b) \(X_2(z) = \dfrac{z}{z - 0{,}5}\) (transformée de \(a^n u[n]\) avec \(a = 0{,}5\)). (2 pts)

Exercice 2 (3 pts)

\(\mathcal{Z}\{u[n]\} = \dfrac{z}{z-1}\) et \(\mathcal{Z}\{(0{,}3)^n u[n]\} = \dfrac{z}{z-0{,}3}\). Par linéarité : \[X(z) = 2\cdot\frac{z}{z-1} + \frac{z}{z-0{,}3} = \frac{2z}{z-1} + \frac{z}{z-0{,}3}\] (3 pts)

Exercice 3 (5 pts)

a) \(\dfrac{X(z)}{z} = \dfrac{z}{(z-1)(z-0{,}4)} = \dfrac{A}{z-1} + \dfrac{B}{z-0{,}4}\).

\(A = \left[\dfrac{z}{z-0{,}4}\right]_{z=1} = \dfrac{1}{1-0{,}4} = \dfrac{1}{0{,}6} = \dfrac{5}{3}\).

\(B = \left[\dfrac{z}{z-1}\right]_{z=0{,}4} = \dfrac{0{,}4}{0{,}4-1} = \dfrac{0{,}4}{-0{,}6} = -\dfrac{2}{3}\). (3 pts)

b) On multiplie par \(z\) : \(X(z) = \dfrac{(5/3)\,z}{z-1} - \dfrac{(2/3)\,z}{z-0{,}4}\). Par la table : \[x[n] = \left[\frac{5}{3} - \frac{2}{3}(0{,}4)^n\right]u[n]\] (2 pts)

Vérification (valeur initiale) : \(x[0] = \dfrac{5}{3} - \dfrac{2}{3} = 1\) et \(\lim_{z\to\infty} X(z) = 1\) ✓

Exercice 4 (4 pts)

a) \(\mathcal{Z}\{y[n-1]\} = z^{-1}Y(z)\), d'où \(Y(z) - 0{,}6\,z^{-1}Y(z) = X(z)\) : \[Y(z)\,(1 - 0{,}6\,z^{-1}) = X(z) \implies H(z) = \frac{1}{1 - 0{,}6\,z^{-1}} = \frac{z}{z - 0{,}6}\] (2 pts)

b) Pour \(x[n] = \delta[n]\), \(X(z) = 1\) donc \(Y(z) = H(z) = \dfrac{z}{z-0{,}6}\), d'où : \[h[n] = (0{,}6)^n\,u[n]\] (2 pts)

Exercice 5 (4 pts)

a) Le système est stable si et seulement si tous ses pôles \(p_i\) vérifient \(|p_i| \lt 1\) (pôles strictement à l'intérieur du cercle unité). (1,5 pt)

b) \(H_1\) : pôle \(p = 0{,}8\), \(|p| = 0{,}8 \lt 1\) → stable. \(H_2\) : pôle \(p = 1{,}5\), \(|p| = 1{,}5 \gt 1\) → instable. (2,5 pts)

Total : 4 + 3 + 5 + 4 + 4 = 20 points.