Fiche résumé – Transformation en z

Chapitre 19 | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

La transformée en z fait pour les signaux discrets ce que Laplace fait pour les signaux continus.
Le retard d'un cran se traduit par un facteur \(z^{-1}\) ; la convolution devient un simple produit.
On inverse par décomposition en éléments simples de \(X(z)/z\), puis lecture dans la table.
Stabilité : tous les pôles strictement à l'intérieur du cercle unité, \(|p_i|\lt 1\).

Définitions clés

Définition

Signal discret \(x[n]\) : suite de valeurs issue de l'échantillonnage \(x[n]=x(nT_e)\), \(T_e=1/f_e\).

Définition

Transformée en z (causale) : \(X(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}x[n]\,z^{-n}\). La ROC est l'ensemble des \(z\) où la série converge.

Définition

Fonction de transfert : \(H(z)=\dfrac{Y(z)}{X(z)}\). Pôles = racines du dénominateur ; zéros = racines du numérateur.

Définition

Filtres : RIF (réponse finie, polynôme en \(z^{-1}\), toujours stable) ; RII (réponse infinie, fraction rationnelle, stabilité à vérifier).

Table des transformées usuelles

\(x[n]\)	\(X(z)\)	ROC
\(\delta[n]\)	\(1\)	\(\mathbb{C}\)
\(\delta[n-k]\)	\(z^{-k}\)	\(z\ne 0\)
\(u[n]\)	\(\dfrac{z}{z-1}\)	\(\|z\|\gt 1\)
\(a^n\,u[n]\)	\(\dfrac{z}{z-a}\)	\(\|z\|\gt\|a\|\)
\(n\,u[n]\)	\(\dfrac{z}{(z-1)^2}\)	\(\|z\|\gt 1\)
\(n\,a^n\,u[n]\)	\(\dfrac{az}{(z-a)^2}\)	\(\|z\|\gt\|a\|\)
\(\cos(\omega_0 n)\,u[n]\)	\(\dfrac{z(z-\cos\omega_0)}{z^2-2z\cos\omega_0+1}\)	\(\|z\|\gt 1\)

Propriétés à connaître

Linéarité, retard, convolution \[\mathcal{Z}\{\alpha x[n]+\beta y[n]\}=\alpha X(z)+\beta Y(z)\] \[\mathcal{Z}\{x[n-k]\}=z^{-k}X(z)\qquad \mathcal{Z}\{x[n]*h[n]\}=X(z)\,H(z)\]

Théorèmes des valeurs initiale et finale \[x[0]=\lim_{z\to\infty}X(z)\qquad \lim_{n\to+\infty}x[n]=\lim_{z\to 1}(z-1)X(z)\]

Stabilité (rappel)

Un système \(H(z)\) est stable ssi tous ses pôles vérifient \(|p_i|\lt 1\) (intérieur du cercle unité). Analogue discret de \(\text{Re}(p_i)\lt 0\) en Laplace (le cercle \(|z|=1\) joue le rôle de l'axe imaginaire).

Méthodes

Méthode — Transformée inverse (pôles simples)

Écrire \(\dfrac{X(z)}{z}=\sum_i\dfrac{A_i}{z-p_i}\) (décomposition en éléments simples).
Calculer les résidus \(A_i=\left[(z-p_i)\dfrac{X(z)}{z}\right]_{z=p_i}\).
Multiplier par \(z\) : \(X(z)=\sum_i\dfrac{A_i z}{z-p_i}\).
Lire dans la table : \(x[n]=\sum_i A_i\,p_i^n\,u[n]\).

Méthode — Équation aux différences

Appliquer \(\mathcal{Z}\) à chaque terme (\(y[n-k]\to z^{-k}Y(z)\), conditions initiales nulles).
Isoler \(Y(z)=H(z)\,X(z)\).
Calculer \(\mathcal{Z}^{-1}\{Y(z)\}\) par décomposition en éléments simples.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Décomposer directement \(X(z)\) au lieu de \(X(z)/z\).

✅ Décomposer \(X(z)/z\) puis remultiplier par \(z\) pour retrouver des termes en \(\dfrac{z}{z-p}\).

❌ Conclure à la stabilité avec un pôle sur le cercle unité.

✅ Il faut \(|p_i|\lt 1\) strictement ; \(|p_i|=1\) n'est pas stable.

❌ Oublier l'échelon \(u[n]\) dans le signal final.

✅ Les transformées causales donnent des termes en \(p^n\,u[n]\) (nuls pour \(n\lt 0\)).

❌ Confondre retard \(z^{-1}\) et avance \(z\).

✅ \(z^{-k}\) = retard de \(k\) ; \(z^{k}\) = avance de \(k\).