Exercices – Chapitre 19

Transformation en z | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 15 juin 2026

Table utile : impulsion \(\delta_n\to1\) ; échelon \(u_n=1\to\dfrac{z}{z-1}\) ; \(a^n\to\dfrac{z}{z-a}\). Linéarité : \(Z(\alpha x_n+\beta y_n)=\alpha X(z)+\beta Y(z)\). Retard : \(Z(x_{n-1})=z^{-1}X(z)\) (signal causal).

Exercice 1 — Lecture de la table

Donne la transformée en z de :

1. le signal échelon \(u_n=1\). 2. le signal \(x_n=2^n\). 3. l'impulsion \(\delta_n\).

1. \(\dfrac{z}{z-1}\). 2. \(\dfrac{z}{z-2}\). 3. \(1\).

Exercice 2 — Linéarité

Détermine \(X(z)\) pour \(x_n=3\times u_n+2\times(0{,}5)^n\).

\(X(z)=3\,\dfrac{z}{z-1}+2\,\dfrac{z}{z-0{,}5}\).

Exercice 3 — Transformée inverse

Détermine le signal \(x_n\) dont la transformée est \(X(z)=\dfrac{z}{z-0{,}5}\).

Par lecture inverse de la table (\(\frac{z}{z-a}\to a^n\)) : \(x_n=(0{,}5)^n\).

Exercice 4 — Propriété de retard

Un signal causal \(x_n\) a pour transformée \(X(z)\). Exprime la transformée du signal retardé \(x_{n-1}\).

\(Z(x_{n-1})=z^{-1}\,X(z)=\dfrac{X(z)}{z}\).

Exercice 5 — Fonction de transfert (type BTS)

Un système vérifie l'équation aux différences \(y_n-0{,}5\,y_{n-1}=x_n\) (conditions initiales nulles).

1. Applique la transformée en z aux deux membres.

2. En déduire la fonction de transfert \(H(z)=\dfrac{Y(z)}{X(z)}\).

1. \(Y(z)-0{,}5\,z^{-1}Y(z)=X(z)\).

2. \(Y(z)\,(1-0{,}5z^{-1})=X(z)\) donc \(H(z)=\dfrac{1}{1-0{,}5z^{-1}}=\dfrac{z}{z-0{,}5}\).