Exercices par capacités · BTS
Dernière mise à jour : 21 juin 2026
Donner la transformée en z des signaux : \(\delta[n]\), \(u[n]\), \((0{,}8)^n u[n]\). Préciser la ROC.
\(\mathcal Z\{\delta[n]\} = 1\), ROC : tout \(\mathbb C\).
\(\mathcal Z\{u[n]\} = \dfrac{z}{z-1}\), ROC : \(|z| \gt 1\).
\(\mathcal Z\{(0{,}8)^n u[n]\} = \dfrac{z}{z-0{,}8}\), ROC : \(|z| \gt 0{,}8\).
Démontrer que \(\mathcal Z\{a^n u[n]\} = \dfrac{z}{z-a}\) à partir de la définition de la transformée unilatérale.
\(\mathcal Z\{a^n u[n]\} = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a^n z^{-n} = \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\dfrac{a}{z}\right)^n\).
Série géométrique de raison \(r = a/z\), convergente si \(|a/z| \lt 1\) c'est-à-dire \(|z| \gt |a|\).
Somme : \(\dfrac{1}{1 - a/z} = \dfrac{z}{z-a}\).
Calculer la transformée en z de \(x[n] = 2\,\delta[n] - 3\,\delta[n-2]\).
\(\mathcal Z\{\delta[n]\} = 1\) et \(\mathcal Z\{\delta[n-2]\} = z^{-2}\).
Par linéarité : \(X(z) = 2 - 3z^{-2}\).
Calculer la transformée en z de \(x[n] = (0{,}8)^n u[n] + (0{,}4)^n u[n]\).
Par linéarité : \(X(z) = \dfrac{z}{z-0{,}8} + \dfrac{z}{z-0{,}4}\), ROC : \(|z| \gt 0{,}8\).
Sachant que \(\mathcal Z\{u[n]\} = \dfrac{z}{z-1}\), utiliser la propriété de décalage pour calculer \(\mathcal Z\{u[n-3]\}\).
Propriété de retard : \(\mathcal Z\{x[n-k]\} = z^{-k} X(z)\).
\(\mathcal Z\{u[n-3]\} = z^{-3}\cdot\dfrac{z}{z-1} = \dfrac{z^{-2}}{z-1} = \dfrac{1}{z^2(z-1)}\).
À partir de \(\mathcal Z\{a^n u[n]\} = \dfrac{z}{z-a}\), démontrer par la propriété de multiplication par \(n\) que \(\mathcal Z\{n\,a^n u[n]\} = \dfrac{az}{(z-a)^2}\).
Propriété : \(\mathcal Z\{n\,x[n]\} = -z\,\dfrac{dX}{dz}\).
\(\dfrac{d}{dz}\left(\dfrac{z}{z-a}\right) = \dfrac{(z-a) - z}{(z-a)^2} = \dfrac{-a}{(z-a)^2}\).
\(\mathcal Z\{n\,a^n u[n]\} = -z\cdot\dfrac{-a}{(z-a)^2} = \dfrac{az}{(z-a)^2}\).
Calculer la transformée en z de \(x[n] = n\,(0{,}6)^n u[n]\).
D'après la formule \(\mathcal Z\{n\,a^n u[n]\} = \dfrac{az}{(z-a)^2}\) avec \(a = 0{,}6\) :
\(X(z) = \dfrac{0{,}6\,z}{(z-0{,}6)^2}\), ROC : \(|z| \gt 0{,}6\).
On donne \(X(z) = \dfrac{2z}{z-1} - \dfrac{z}{z-0{,}5}\). Utiliser le théorème de la valeur initiale pour déterminer \(x[0]\).
Théorème de la valeur initiale : \(x[0] = \displaystyle\lim_{z\to\infty} X(z)\).
\(\dfrac{2z}{z-1} \to 2\) et \(\dfrac{z}{z-0{,}5} \to 1\) quand \(z\to\infty\).
\(x[0] = 2 - 1 = 1\).
Calculer la transformée inverse de \(X(z) = \dfrac{3z}{z-0{,}6}\).
\(X(z) = 3\cdot\dfrac{z}{z-0{,}6}\). Or \(\dfrac{z}{z-a} \xleftrightarrow{\mathcal Z} a^n u[n]\) avec \(a = 0{,}6\).
\(x[n] = 3\,(0{,}6)^n\,u[n]\).
Calculer \(\mathcal Z^{-1}\!\left\{\dfrac{z^2}{(z-1)(z-0{,}5)}\right\}\) par décomposition en éléments simples.
On décompose \(\dfrac{F(z)}{z} = \dfrac{z}{(z-1)(z-0{,}5)} = \dfrac{A}{z-1} + \dfrac{B}{z-0{,}5}\).
\(A = \left[\dfrac{z}{z-0{,}5}\right]_{z=1} = \dfrac{1}{0{,}5} = 2\) ; \(B = \left[\dfrac{z}{z-1}\right]_{z=0{,}5} = \dfrac{0{,}5}{-0{,}5} = -1\).
\(F(z) = \dfrac{2z}{z-1} - \dfrac{z}{z-0{,}5}\), donc \(f[n] = \big[2 - (0{,}5)^n\big]u[n]\).
Vérification : \(f[0] = 2 - 1 = 1 = \lim_{z\to\infty}F(z)\). ✓
Calculer \(\mathcal Z^{-1}\!\left\{\dfrac{z^2}{(z-0{,}5)(z-0{,}3)}\right\}\).
\(\dfrac{X(z)}{z} = \dfrac{z}{(z-0{,}5)(z-0{,}3)} = \dfrac{A}{z-0{,}5} + \dfrac{B}{z-0{,}3}\).
\(A = \left[\dfrac{z}{z-0{,}3}\right]_{z=0{,}5} = \dfrac{0{,}5}{0{,}2} = 2{,}5\) ; \(B = \left[\dfrac{z}{z-0{,}5}\right]_{z=0{,}3} = \dfrac{0{,}3}{-0{,}2} = -1{,}5\).
\(x[n] = \big[2{,}5\,(0{,}5)^n - 1{,}5\,(0{,}3)^n\big]u[n]\).
Vérification : \(x[0] = 2{,}5 - 1{,}5 = 1 = \lim_{z\to\infty}X(z)\). ✓
Calculer \(\mathcal Z^{-1}\!\left\{\dfrac{z}{(z-0{,}4)^2}\right\}\) (pôle double).
On reconnaît la forme \(\dfrac{az}{(z-a)^2} \xleftrightarrow{\mathcal Z} n\,a^n u[n]\), avec \(a = 0{,}4\).
Ici \(\dfrac{z}{(z-0{,}4)^2} = \dfrac{1}{0{,}4}\cdot\dfrac{0{,}4\,z}{(z-0{,}4)^2}\).
\(x[n] = \dfrac{1}{0{,}4}\,n\,(0{,}4)^n u[n] = 2{,}5\,n\,(0{,}4)^n u[n]\).
Résoudre \(y[n] - 0{,}7\,y[n-1] = x[n]\) avec \(x[n] = \delta[n]\) et conditions initiales nulles. (Réponse impulsionnelle.)
Transformation : \(Y(z) - 0{,}7\,z^{-1}Y(z) = 1\).
\(Y(z)(1 - 0{,}7z^{-1}) = 1 \implies Y(z) = \dfrac{1}{1-0{,}7z^{-1}} = \dfrac{z}{z-0{,}7}\).
Lecture directe : \(y[n] = h[n] = (0{,}7)^n u[n]\).
Déterminer la fonction de transfert \(H(z)\) du système \(y[n] - 0{,}5\,y[n-1] = x[n] + 0{,}2\,x[n-1]\).
Transformation (CI nulles) : \(Y(z)(1 - 0{,}5z^{-1}) = X(z)(1 + 0{,}2z^{-1})\).
\(H(z) = \dfrac{Y(z)}{X(z)} = \dfrac{1 + 0{,}2z^{-1}}{1 - 0{,}5z^{-1}} = \dfrac{z + 0{,}2}{z - 0{,}5}\).
Pour le filtre du 2ème ordre \(y[n] - 1{,}2\,y[n-1] + 0{,}35\,y[n-2] = x[n]\), déterminer la fonction de transfert et calculer ses pôles.
\(H(z) = \dfrac{1}{1 - 1{,}2z^{-1} + 0{,}35z^{-2}} = \dfrac{z^2}{z^2 - 1{,}2z + 0{,}35}\).
Pôles : \(z^2 - 1{,}2z + 0{,}35 = 0\), \(\Delta = 1{,}44 - 1{,}4 = 0{,}04\), \(\sqrt\Delta = 0{,}2\).
\(z = \dfrac{1{,}2 \pm 0{,}2}{2}\) : \(z_1 = 0{,}7\) et \(z_2 = 0{,}5\).
Le système \(y[n] - 0{,}7\,y[n-1] = x[n]\) reçoit un échelon \(x[n] = u[n]\). Calculer la valeur finale \(\lim_{n\to\infty} y[n]\) par le théorème de la valeur finale.
\(H(z) = \dfrac{z}{z-0{,}7}\), \(X(z) = \dfrac{z}{z-1}\), donc \(Y(z) = \dfrac{z^2}{(z-0{,}7)(z-1)}\).
Valeur finale : \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} y[n] = \lim_{z\to1}(z-1)Y(z) = \lim_{z\to1}\dfrac{z^2}{z-0{,}7} = \dfrac{1}{0{,}3} = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33\).
(Le gain statique du filtre est \(H(1) = 1/0{,}3 = 10/3\).)
Rappeler le critère de stabilité d'un filtre numérique en fonction de ses pôles. Le filtre \(H(z) = \dfrac{z}{z-0{,}7}\) est-il stable ?
Critère : un système est stable si et seulement si tous ses pôles vérifient \(|p_i| \lt 1\) (à l'intérieur du cercle unité).
Pôle unique : \(p = 0{,}7\), \(|0{,}7| = 0{,}7 \lt 1\) : le filtre est stable.
Le système \(H(z) = \dfrac{0{,}1(z+1)}{(z-0{,}8)(z-0{,}6)}\). Déterminer pôles et zéros, et conclure sur la stabilité.
Zéro : racine du numérateur, \(z + 1 = 0 \implies z = -1\).
Pôles : racines du dénominateur, \(p_1 = 0{,}8\) et \(p_2 = 0{,}6\).
\(|p_1| = 0{,}8 \lt 1\) et \(|p_2| = 0{,}6 \lt 1\) : tous les pôles sont dans le cercle unité, le système est stable.
Pour \(H(z) = \dfrac{0{,}1(z+1)}{(z-0{,}8)(z-0{,}6)}\), calculer le gain statique \(H(1)\).
\(H(1) = \dfrac{0{,}1(1+1)}{(1-0{,}8)(1-0{,}6)} = \dfrac{0{,}1\times2}{0{,}2\times0{,}4} = \dfrac{0{,}2}{0{,}08} = 2{,}5\).
Un filtre de lissage exponentiel est \(y[n] = 0{,}2\,x[n] + 0{,}8\,y[n-1]\). Déterminer \(H(z)\), son pôle, vérifier la stabilité et calculer le gain statique \(H(1)\).
\(Y(z)(1 - 0{,}8z^{-1}) = 0{,}2\,X(z)\), donc \(H(z) = \dfrac{0{,}2}{1-0{,}8z^{-1}} = \dfrac{0{,}2\,z}{z-0{,}8}\).
Pôle : \(p = 0{,}8\), \(|0{,}8| \lt 1\) : filtre stable.
Gain statique : \(H(1) = \dfrac{0{,}2\times1}{1-0{,}8} = \dfrac{0{,}2}{0{,}2} = 1\) : pas de biais sur la composante continue.
Un filtre à moyenne glissante d'ordre 1 s'écrit \(y[n] = x[n] - x[n-1]\) (différenciateur). Donner \(H(z)\), localiser zéro et pôle, et expliquer pourquoi ce filtre RIF est toujours stable.
\(H(z) = 1 - z^{-1} = \dfrac{z-1}{z}\).
Zéro : \(z = 1\) (la composante continue est bloquée). Pôle : \(z = 0\).
Pour un filtre RIF, les seuls pôles sont en \(z = 0\), donc \(|p| = 0 \lt 1\) : un filtre RIF est toujours stable.