Connaître et utiliser les indicateurs de fiabilité : \(R(t)\), \(\lambda(t)\), MTBF, MTTF, MTTR
Appliquer la loi exponentielle et ses propriétés (sans mémoire, taux constant)
Utiliser la loi de Weibull pour modéliser les différentes périodes de vie d’un composant
Calculer la fiabilité de systèmes en série, en parallèle et mixtes
Construire et interpréter un tableau AMDEC et calculer la criticité
Analyser la défaillance d’un système par arbre de défaillances
Calculer la disponibilité d’un équipement à partir du MTBF et du MTTR
Choisir une stratégie de maintenance adaptée à un contexte industriel
Situation professionnelle
Sophie est ingénieure de maintenance dans une entreprise de génie climatique industriel.
Elle est chargée d’analyser la fiabilité d’une centrale de traitement d’air (CTA) composée de plusieurs
sous-systèmes : compresseur, échangeur thermique, ventilateur et système de régulation.
À partir des historiques de pannes sur les cinq dernières années, Sophie doit :
évaluer la fiabilité de chaque composant, déterminer la configuration série/parallèle du système,
construire le tableau AMDEC pour identifier les points critiques et proposer un plan de maintenance
préventive adapté.
1. Définitions fondamentales
Fiabilité \(R(t)\)
La fiabilité d’un composant est la probabilité qu’il fonctionne correctement
jusqu’à l’instant \(t\), sans défaillance, dans ses conditions nominales d’utilisation :
\[R(t) = P(T > t)\]
où \(T\) est la variable aléatoire « durée de vie » du composant.
On a toujours \(0 \leq R(t) \leq 1\), \(R(0) = 1\) et \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty} R(t) = 0\).
Taux de défaillance \(\lambda(t)\)
Le taux de défaillance (ou taux de hasard) est la probabilité instantanée
de défaillance sachant que le composant fonctionnait jusqu’à l’instant \(t\) :
\[\lambda(t) = -\frac{R'(t)}{R(t)}\]
Il s’exprime en défaillances par unité de temps (ex. : pannes/heure, pannes/année).
On peut aussi écrire : \(R(t) = \exp\!\left(-\displaystyle\int_0^t \lambda(u)\,\mathrm{d}u\right)\).
MTBF, MTTF, MTTR
MTBF (Mean Time Between Failures) — temps moyen entre deux défaillances
d’un composant réparable :
\[\text{MTBF} = \int_0^{+\infty} R(t)\,\mathrm{d}t\]
MTTF (Mean Time To Failure) — même formule, employé pour les composants
non réparables (durée de vie moyenne).
MTTR (Mean Time To Repair) — temps moyen nécessaire pour réparer un composant
défaillant (durée moyenne d’intervention).
Exemple numérique
Sur une année (8760 h), un compresseur tombe en panne 4 fois et les interventions durent
respectivement 3 h, 5 h, 4 h et 6 h.
MTTR = \(\dfrac{3+5+4+6}{4} = 4{,}5\) h
Temps total de panne = 18 h ⇒ temps de bon fonctionnement = 8760 − 18 = 8742 h
MTBF = \(\dfrac{8742}{4} \approx 2185{,}5\) h
2. Modèles de durée de vie
2.1 Loi exponentielle
Loi exponentielle de taux \(\lambda\)
La loi exponentielle est le modèle de fiabilité le plus simple. Le taux de défaillance est
constant au cours du temps :
\[R(t) = e^{-\lambda t} \qquad (t \geq 0,\; \lambda > 0)\]
Les caractéristiques associées :
\[\text{MTBF} = \frac{1}{\lambda}, \qquad
F(t) = 1 - e^{-\lambda t}, \qquad
\lambda(t) = \lambda = \text{constante}\]
Propriété sans mémoire
Pour la loi exponentielle :
\[P(T > t+s \mid T > t) = P(T > s) = e^{-\lambda s}\]
Un composant qui a fonctionné pendant \(t\) heures a exactement la même probabilité de
fonctionner encore \(s\) heures qu’un composant neuf.
Cette propriété est adaptée à la période de vie utile (taux de défaillance constant).
Exemple : fiabilité d’une pompe
Un constructeur annonce un MTBF de 5000 h pour une pompe hydraulique.
Taux de défaillance : \(\lambda = \dfrac{1}{5000} = 2 \times 10^{-4}\) pannes/h.
Fiabilité après 1000 h :
\[R(1000) = e^{-2\times10^{-4}\times 1000} = e^{-0{,}2} \approx 0{,}819\]
Il y a 81,9 % de chance que la pompe fonctionne sans panne pendant 1000 h.
Temps de bon fonctionnement avec 90 % de fiabilité (\(R(t) = 0{,}9\)) :
\[0{,}9 = e^{-\lambda t} \Rightarrow t = \frac{-\ln 0{,}9}{\lambda} = \frac{0{,}1054}{2\times10^{-4}} \approx 527\text{ h}\]
Pour \(R(t) = 0{,}9\) : \(\ln(0{,}9) = -0{,}10536\)
donc \(t = 0{,}10536 / 0{,}0002 = 526{,}8\) h
Interprétation : pour garantir 90 % de fiabilité, il faut effectuer la maintenance
avant 527 h de fonctionnement.
2.2 Loi de Weibull
Loi de Weibull
La loi de Weibull généralise la loi exponentielle avec deux paramètres :
\[R(t) = \exp\!\left[-\left(\frac{t}{\eta}\right)^\beta\right] \qquad (t \geq 0)\]
\(\beta\) (paramètre de forme) contrôle l’évolution du taux de défaillance
Taux de défaillance : \(\lambda(t) = \dfrac{\beta}{\eta}\left(\dfrac{t}{\eta}\right)^{\beta-1}\)
Interprétation du paramètre \(\beta\)
Valeur de \(\beta\)
\(\lambda(t)\)
Période de vie
Causes typiques
\(\beta < 1\)
Décroissant
Jeunesse (rodage)
Défauts de fabrication, erreurs d’installation
\(\beta = 1\)
Constant
Vie utile
Défaillances aléatoires (loi exponentielle)
\(\beta > 1\)
Croissant
Vieillissement
Usure, fatigue, corrosion
\(\beta = 2\)
Linéaire croissant
Vieillissement
Usure progressive
\(\beta = 3{,}5\)
Proche loi normale
Vieillissement accusé
Fatigue mécanique
MTBF de Weibull : \(\;\text{MTTF} = \eta\,\Gamma\!\left(1 + \dfrac{1}{\beta}\right)\)
où \(\Gamma\) est la fonction Gamma (\(\Gamma(n+1) = n!\) pour les entiers).
2.3 Courbe en baignoire
Courbe en baignoire
La courbe en baignoire représente l’évolution du taux de défaillance \(\lambda(t)\) au cours de la vie d’un composant.
Elle comprend trois phases :
Vie utile : \(\lambda(t)\) pratiquement constant (β = 1)
Vieillissement : \(\lambda(t)\) croissant (β > 1)
3. Diagrammes de fiabilité
3.1 Système en série
Fiabilité d’un système en série
Dans un système en série, tous les composants doivent fonctionner pour que le système fonctionne.
La défaillance d’un seul composant entraîne la défaillance du système.
Si les composants sont indépendants :
\[R_s(t) = R_1(t) \cdot R_2(t) \cdots R_n(t) = \prod_{i=1}^n R_i(t)\]
Schéma d’un système en série
Attention
La fiabilité d’un système en série est toujours inférieure à la fiabilité du composant
le moins fiable. Plus on ajoute de composants en série, plus le système est fragile.
3.2 Système en parallèle (redondance active)
Fiabilité d’un système en parallèle
Dans un système en parallèle, le système fonctionne dès qu’au moins un composant fonctionne.
\[R_p(t) = 1 - \prod_{i=1}^n (1-R_i(t)) = 1 - F_1(t)\cdot F_2(t)\cdots F_n(t)\]
Pour deux composants identiques de fiabilité \(R\) :
\[R_p = 1 - (1-R)^2 = 2R - R^2 > R\]
Schéma d’un système en parallèle
3.3 Systèmes mixtes (série-parallèle)
On calcule la fiabilité des groupes en parallèle en premier, puis on assemble en série,
ou vice versa, en identifiant la structure du système.
Exemple : système hydraulique
Un circuit hydraulique comprend : deux pompes en parallèle (R1 = R2 = 0,90),
puis un filtre en série (R3 = 0,95), puis deux vannes en parallèle (R4 = R5 = 0,98).
La redondance des pompes a permis d’améliorer la fiabilité de 0,90 à 0,99 pour ce groupe.
C’est le filtre (maillon le plus faible, R = 0,95) qui limite la fiabilité globale.
3.4 Redondance active vs passive
Types de redondance
Redondance active : tous les composants fonctionnent en même temps.
Le système continue à fonctionner tant qu’il en reste au moins un.
Modèle : système en parallèle classique.
Redondance passive (de secours) : un seul composant fonctionne à la fois.
En cas de défaillance, un composant de secours (stand-by) prend le relais.
Le composant de secours ne vieillit pas en attente (hypothèse simplificatrice).
4. Analyse AMDEC
AMDEC — Analyse des Modes de Défaillance, de leurs Effets et de leur Criticité
L’AMDEC est une méthode systématique d’analyse des risques qui recense pour chaque composant :
Les modes de défaillance : comment le composant peut-il tomber en panne ?
Fréquence (probabilité) d’occurrence de la défaillance
1 = rare, 2 = peu fréquent, 3 = fréquent, 4 = très fréquent
D
Détectabilité (facilité à détecter avant défaillance)
1 = détection facile, 4 = non détectable
C
Criticité = G × F × D
Min 1, max 64 — seuil d’alerte souvent fixé à C ≥ 12 ou C ≥ 16
Exemple de tableau AMDEC — Centrale de Traitement d’Air (CTA)
Composant
Mode de défaillance
Effet sur le système
Cause probable
G
F
D
C = G×F×D
Niveau
Compresseur
Grippage
Arrêt total de la CTA
Manque d’huile, surcharge thermique
4
2
2
16
Fort
Filtre à air
Colmatage
Perte de débit, mauvaise qualité d’air
Défaut de maintenance préventive
2
4
2
16
Fort
Ventilateur
Déséquilibrage
Vibrations, usure roulements
Encrassement des pales
3
3
2
18
Fort
Sonde de température
Dérive du signal
Mauvaise régulation, inconfort
Vieillissement du capteur
2
2
3
12
Moyen
Échangeur thermique
Fuite
Perte de fluide frigoporteur
Corrosion, chocs
4
1
2
8
Faible
Courroie d’entraînement
Rupture
Arrêt du ventilateur
Usure normale, mauvaise tension
3
2
1
6
Faible
Conclusion AMDEC : le ventilateur (C = 18), le compresseur et le filtre (C = 16)
dépassent le seuil d’alerte fixé à 12. Ces trois composants doivent être prioritaires dans le plan de maintenance.
5. Analyse par arbres de défaillances
Arbre de défaillances (Fault Tree Analysis)
Un arbre de défaillances est un modèle graphique déductif qui représente toutes les
combinaisons de défaillances de composants pouvant conduire à un événement indésirable
(l’événement sommet).
Portes logiques
Porte
Symbole
Condition de sortie
Calcul probabilité
ET (AND)
⋒ (D aplati)
La sortie est vraie si tous les entrées sont vraies
\(P_s = P_1 \times P_2 \times \cdots \times P_n\)
OU (OR)
⋓ (D arrondi)
La sortie est vraie si au moins une entrée est vraie
\(P_s = 1 - (1-P_1)(1-P_2)\cdots(1-P_n)\)
Pour des événements indépendants de faibles probabilités :
porte OU : \(P_s \approx P_1 + P_2 + \cdots + P_n\).
Événement sommet (porte OU des deux branches) :
\[P_{\text{arrêt}} \approx P_{ET} + P_{OU} = 6\times10^{-4} + 0{,}025 \approx 2{,}56\,\%\]
6. Disponibilité
Disponibilité \(D\)
La disponibilité est la probabilité qu’un équipement soit en état de fonctionner
à un instant donné (ou sur une période). Elle tient compte à la fois de la fiabilité et
de la maintenabilité :
\[D = \frac{\text{MTBF}}{\text{MTBF} + \text{MTTR}}\]
Maintenabilité \(M(t)\)
La maintenabilité est la probabilité qu’une réparation soit effectuée en un temps
inférieur ou égal à \(t\). En supposant un taux de réparation constant \(\mu\) :
\[M(t) = 1 - e^{-\mu t} \qquad \text{avec } \mu = \frac{1}{\text{MTTR}}\]
\[U = 1 - D = \frac{\text{MTTR}}{\text{MTBF} + \text{MTTR}}\]
Exemple : disponibilité du compresseur de la CTA
MTBF = 2185 h (calculé en §1), MTTR = 4,5 h.
\[D = \frac{2185}{2185 + 4{,}5} = \frac{2185}{2189{,}5} \approx 0{,}9979\]
La CTA est disponible 99,79 % du temps, soit environ 18 h d’indisponibilité par an.
Bilan annuel (8760 h)
Nb de pannes estimé = 8760 / MTBF = 8760 / 2185 ≈ 4 pannes/an
Durée totale de réparation = 4 × 4,5 = 18 h/an
Temps de bon fonctionnement = 8760 − 18 = 8742 h/an
Disponibilité = 8742 / 8760 ≈ 99,79 %
Maintenabilité pour une réparation en moins de 8h :
\(M(8) = 1 - e^{-8/4{,}5} = 1 - e^{-1{,}78} \approx 1 - 0{,}169 \approx 0{,}831\)
7. Stratégies de maintenance
Types de maintenance
Type
Description
Avantages
Inconvénients
Utilisation
Corrective
Intervention après la panne
Aucun coût si pas de panne
Arrêts imprévus, coûts élevés en urgence
Composants peu critiques, à faible coût
Préventive systématique
Intervention à intervalles fixes (temps ou cycles)
Planification facile, évite les pannes
Peut remplacer des pièces encore bonnes
Composants dont la fiabilité suit Weibull (β > 1)
Préventive conditionnelle (prédictive)
Intervention selon l’état réel du composant (capteurs, vibrations…)
Optimise les remplacement, évite les pannes
Nécessite des capteurs et un traitement des données
Composants critiques, coûteux, accessibles à l’instrumentation
Choix de la stratégie selon la courbe en baignoire
Phase de jeunesse (\(\beta < 1\)) : maintenance corrective ou amélioration du processus de fabrication/installation.
Vie utile (\(\beta = 1\)) : les pannes sont aléatoires ; la maintenance préventive systématique n’apporte pas de bénéfice (propriété sans mémoire). Préférer la surveillance conditionnelle.
Vieillissement (\(\beta > 1\)) : la maintenance préventive systématique est efficace (remplacement avant la fin de vie).
8. Application industrielle — Fiabilité de la CTA complète
Données constructeur
Pour la centrale de traitement d’air (CTA), Sophie dispose des données suivantes à 2000 h
de fonctionnement :
Calcul de la fiabilité système
Architecture : compresseur et ventilateur en parallèle (groupe 1), puis filtre et régulation en série.
Étape 1 — Groupe compresseur + ventilateur (parallèle) :
\[R_{12} = 1 - (1-0{,}670)(1-0{,}641) = 1 - 0{,}330 \times 0{,}359 = 1 - 0{,}118 = 0{,}882\]
Étape 2 — Système global (série) :
\[R_s = R_{12} \times R_3 \times R_4 = 0{,}882 \times 0{,}513 \times 0{,}819\]
\[R_s = 0{,}882 \times 0{,}420 \approx 0{,}371\]
Interprétation : à 2000 h, la fiabilité de la CTA n’est plus que de 37,1 %.
Le filtre (R = 51,3 %) est le maillon le plus faible et doit être remplacé en priorité.
Impact d’un remplacement préventif du filtre à 1500 h
Si le filtre est remplacé à 1500 h (remise à neuf), sa fiabilité repart à 1 (composant neuf).
À 2000 h, il n’a que 500 h de fonctionnement :
\[R_3'(500) = e^{-500/3000} = e^{-0{,}167} \approx 0{,}846\]
Nouveau calcul de la fiabilité système :
\[R_s' = 0{,}882 \times 0{,}846 \times 0{,}819 \approx 0{,}611\]
La maintenance préventive du filtre fait passer la fiabilité de 37,1 % à 61,1 % à 2000 h.
Gain de +24 points de fiabilité pour le coût d’un seul filtre.
Courbe de fiabilité de Weibull selon \(\beta\)
MéthodeConstruire et analyser un diagramme de fiabilité
Identifier les composants du système et leurs paramètres (\(\lambda\), MTBF ou paramètres Weibull).
Déterminer la structure : série (maillon faible), parallèle (redondance), ou mixte.
Calculer \(R_i(t)\) pour chaque composant à l’instant considéré.
Loi expo. : \(R_i(t) = e^{-t/\text{MTBF}_i}\). Weibull : \(R_i(t) = e^{-(t/\eta_i)^{\beta_i}}\).
Calculer la fiabilité des groupes :
Série : produit. Parallèle : \(1-\prod(1-R_i)\).
Assembler les groupes pour obtenir \(R_s(t)\).
Identifier le maillon faible : le composant avec la plus faible fiabilité en configuration série.
Calculer la disponibilité : \(D = \text{MTBF}/(\text{MTBF}+\text{MTTR})\).
Proposer des actions : redondance sur les maillons faibles critiques, plan de maintenance préventive.