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Interrogation — Ch18 : Fiabilité

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

Exercice 1 — Indicateurs MTBF / MTTR (3 pts)

Sur une période de fonctionnement, un moteur électrique tombe en panne 5 fois. Le temps total de bon fonctionnement est de 6000 h ; les 5 réparations ont duré au total 15 h.

  1. Calculer le MTBF (temps moyen entre deux défaillances). (1,5 pt)
  2. Calculer le MTTR (temps moyen de réparation). (1,5 pt)

Exercice 2 — Loi exponentielle (5 pts)

Un capteur de pression suit une loi exponentielle de MTBF = 4000 h. On rappelle \(\lambda = \dfrac{1}{\text{MTBF}}\) et \(R(t) = e^{-\lambda t}\). On donne \(e^{-0{,}25} \approx 0{,}779\).

  1. Calculer le taux de défaillance \(\lambda\). (1,5 pt)
  2. Calculer la fiabilité \(R(1000)\) au bout de 1000 h. (2 pts)
  3. Que vaut la fiabilité à \(t = 0\) ? Justifier par la propriété sans mémoire que la fiabilité ne dépend pas de l'âge déjà atteint. (1,5 pt)

Exercice 3 — Loi de Weibull (3 pts)

Un roulement suit une loi de Weibull \(R(t) = e^{-(t/\eta)^\beta}\) avec \(\beta = 2\) et \(\eta = 3000\) h. On donne \(e^{-1} \approx 0{,}368\).

  1. Calculer \(R(3000)\). (1,5 pt)
  2. Que signifie ici la valeur \(\beta = 2\) sur l'évolution du taux de défaillance ? (1,5 pt)

Exercice 4 — Fiabilité d'un système (5 pts)

Un système comprend deux composants identiques de fiabilité \(R = 0{,}9\).

  1. Calculer la fiabilité \(R_s\) si les deux composants sont en série. (1,5 pt)
  2. Calculer la fiabilité \(R_p\) si les deux composants sont en parallèle (redondance). (2 pts)
  3. Comparer \(R_s\), \(R_p\) et \(R\) ; conclure sur l'intérêt de la redondance. (1,5 pt)

Exercice 5 — Disponibilité (4 pts)

Une pompe a un MTBF = 990 h et un MTTR = 10 h. On rappelle \(D = \dfrac{\text{MTBF}}{\text{MTBF} + \text{MTTR}}\).

  1. Calculer la disponibilité \(D\). (2 pts)
  2. En déduire l'indisponibilité \(U = 1 - D\), exprimée en pourcentage. (2 pts)

Correction

Exercice 1 (3 pts)

a) MTBF = (temps de bon fonctionnement) / (nombre de pannes) = \(\dfrac{6000}{5} = 1200\) h. (1,5 pt)

b) MTTR = (temps total de réparation) / (nombre de réparations) = \(\dfrac{15}{5} = 3\) h. (1,5 pt)

Exercice 2 (5 pts)

a) \(\lambda = \dfrac{1}{4000} = 2{,}5 \times 10^{-4}\) panne/h. (1,5 pt)

b) \(R(1000) = e^{-2{,}5\times10^{-4}\times 1000} = e^{-0{,}25} \approx 0{,}779\), soit 77,9 %. (2 pts)

c) \(R(0) = e^{0} = 1\) (le composant neuf est en état). Par la propriété sans mémoire, \(P(T > t+s \mid T > t) = P(T > s)\) : un capteur ayant déjà fonctionné a la même probabilité de tenir \(s\) heures de plus qu'un capteur neuf — le taux \(\lambda\) est constant. (1,5 pt)

Exercice 3 (3 pts)

a) \(R(3000) = e^{-(3000/3000)^2} = e^{-1} \approx 0{,}368\), soit 36,8 %. (1,5 pt)

b) \(\beta = 2 > 1\) : le taux de défaillance \(\lambda(t)\) est croissant. On est en phase de vieillissement (usure progressive du roulement). (1,5 pt)

Exercice 4 (5 pts)

a) En série : \(R_s = R_1 \cdot R_2 = 0{,}9 \times 0{,}9 = 0{,}81\). (1,5 pt)

b) En parallèle : \(R_p = 1 - (1-R)^2 = 1 - (0{,}1)^2 = 1 - 0{,}01 = 0{,}99\). (2 pts)

c) On a \(R_s = 0{,}81 < R = 0{,}90 < R_p = 0{,}99\). La série dégrade la fiabilité (limitée par le maillon faible) ; la mise en parallèle (redondance) l'améliore nettement. (1,5 pt)

Exercice 5 (4 pts)

a) \(D = \dfrac{990}{990 + 10} = \dfrac{990}{1000} = 0{,}99\), soit 99 %. (2 pts)

b) \(U = 1 - D = 1 - 0{,}99 = 0{,}01\), soit 1 % d'indisponibilité. (2 pts)

Total : 3 + 5 + 3 + 5 + 4 = 20 points.