Fiche résumé – Fiabilité

Chapitre 18 | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

La fiabilité \(R(t)=P(T\gt t)\) : probabilité de fonctionner sans panne jusqu'à \(t\).
Loi exponentielle (\(\lambda\) constant) : vie utile, propriété sans mémoire ; loi de Weibull : 3 phases via \(\beta\).
Série : la fiabilité chute (maillon faible) ; parallèle (redondance) : elle augmente.
L'AMDEC hiérarchise les actions par criticité \(C=G\times F\times D\).

Définitions clés

Définition

Taux de défaillance \(\lambda(t)\) : probabilité instantanée de panne sachant le bon fonctionnement jusqu'à \(t\) : \(\lambda(t)=-\dfrac{R'(t)}{R(t)}\).

Définition

MTBF / MTTF : temps moyen entre/avant défaillances \(=\int_0^{+\infty}R(t)\,\mathrm dt\). MTTR : temps moyen de réparation.

Définition

Courbe en baignoire : évolution de \(\lambda(t)\) en 3 phases — jeunesse (décroissant), vie utile (constant), vieillissement (croissant).

Définition

AMDEC : Analyse des Modes de Défaillance, de leurs Effets et de leur Criticité. Recense modes, effets, causes et indice \(C\).

Formules à connaître

Loi exponentielle \[R(t)=e^{-\lambda t},\qquad \text{MTBF}=\frac{1}{\lambda},\qquad \lambda(t)=\lambda=\text{cste}\]

Propriété sans mémoire : \(P(T\gt t+s\mid T\gt t)=P(T\gt s)\).

Loi de Weibull \[R(t)=\exp\!\left[-\left(\frac{t}{\eta}\right)^{\beta}\right]\]

\(\beta\) = forme, \(\eta\) = durée caractéristique (\(R(\eta)=e^{-1}\approx 0{,}368\)).

Systèmes \[R_s=\prod_{i=1}^n R_i\quad(\text{série})\qquad R_p=1-\prod_{i=1}^n(1-R_i)\quad(\text{parallèle})\]

AMDEC et disponibilité \[C=G\times F\times D\qquad D=\frac{\text{MTBF}}{\text{MTBF}+\text{MTTR}}\]

Lecture du paramètre \(\beta\) de Weibull

\(\beta\)	\(\lambda(t)\)	Phase
\(\beta\lt 1\)	Décroissant	Jeunesse (rodage)
\(\beta=1\)	Constant	Vie utile (loi expo.)
\(\beta\gt 1\)	Croissant	Vieillissement (usure)

Méthode — Fiabilité d'un système

Méthode

Identifier les composants et leurs paramètres (\(\lambda\), MTBF, ou \(\beta,\eta\)).
Calculer \(R_i(t)\) à l'instant voulu (expo. \(e^{-t/\text{MTBF}}\) ; Weibull \(e^{-(t/\eta)^\beta}\)).
Assembler les groupes : série = produit ; parallèle = \(1-\prod(1-R_i)\).
Repérer le maillon faible (plus faible \(R\) en série).
Calculer la disponibilité \(D=\text{MTBF}/(\text{MTBF}+\text{MTTR})\) et proposer des actions.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Additionner les fiabilités d'un système en série.

✅ On multiplie : \(R_s=R_1\cdot R_2\cdots R_n\) (toujours \(\lt\) au plus faible).

❌ Multiplier les fiabilités d'un système en parallèle.

✅ \(R_p=1-\prod(1-R_i)\) : on multiplie les défaillances \((1-R_i)\).

❌ Croire qu'une maintenance préventive systématique aide en vie utile.

✅ Si \(\lambda\) est constant (sans mémoire, \(\beta=1\)), elle n'apporte rien ; utile en vieillissement (\(\beta\gt 1\)).

❌ Confondre MTBF et MTTR.

✅ MTBF = temps de bon fonctionnement ; MTTR = temps de réparation.