Fiabilité | BTS | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Un technicien de maintenance étudie un moteur électrique de convoyeur. On note \(T\) la variable aléatoire égale à la durée de vie du moteur, exprimée en heures, et \(R\) sa fonction de fiabilité.
1. La probabilité recherchée est \(P(T \geq 500) = R(500)\).
2. \(R(0) = 1\) : à l'instant initial, le moteur (supposé neuf) fonctionne avec certitude.
3. \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty} R(t) = 0\) : tout composant finit par tomber en panne, la probabilité qu'il fonctionne indéfiniment est nulle.
4. \(\lambda(t) = -\dfrac{R'(t)}{R(t)}\) est un quotient d'une probabilité par unité de temps (dérivée) par une probabilité (sans dimension) : \(\lambda(t)\) s'exprime donc en défaillances par unité de temps (h−1), ce n'est pas une probabilité (elle peut d'ailleurs dépasser 1 selon l'unité choisie).
Un ingénieur de maintenance étudie la fiabilité d'un moteur électrique de convoyeur. Le constructeur annonce un MTBF de 4000 h, et la durée de vie du moteur suit une loi exponentielle.
1. \(\lambda = \dfrac{1}{\text{MTBF}} = \dfrac{1}{4000} = 2{,}5\times10^{-4}\) h−1.
2. \(R(500) = e^{-2{,}5\times10^{-4}\times500} = e^{-0{,}125} \approx 0{,}8825\) soit 88,25 %.
3. \(R(2000) = e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065\) soit 60,65 %. La fiabilité chute nettement quand la durée de fonctionnement quadruple : c'est la décroissance exponentielle caractéristique du modèle.
Une pompe de relevage d'eaux usées a un MTBF de 2000 h (loi exponentielle).
1. \(\lambda = \dfrac{1}{2000} = 5\times10^{-4}\) h−1.
2. \(R(1000) = e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065\) et \(R(1500) = e^{-0{,}75} \approx 0{,}4724\).
\(P(1000 \leq T \leq 1500) = 0{,}6065 - 0{,}4724 = 0{,}1342\) soit environ 13,42 %.
Cette probabilité correspond à l'aire sous la courbe de densité \(f(t) = \lambda e^{-\lambda t}\) entre \(t=1000\) et \(t=1500\) :
On reprend la pompe de relevage de l'exercice 3 (MTBF = 2000 h, loi exponentielle, \(\lambda = 5\times10^{-4}\) h−1).
1. \(0{,}95 = e^{-\lambda t} \Rightarrow t = \dfrac{-\ln 0{,}95}{\lambda} = \dfrac{0{,}05129}{5\times10^{-4}} \approx 102{,}6\) h.
2. \(t = \dfrac{-\ln 0{,}99}{5\times10^{-4}} = \dfrac{0{,}01005}{5\times10^{-4}} \approx 20{,}1\) h.
Plus on exige une fiabilité élevée, plus l'intervalle entre deux interventions de maintenance préventive doit être court : passer de 95 % à 99 % de fiabilité garantie divise l'intervalle admissible par environ 5.
Un capteur de température d'un four industriel a un MTBF de 3000 h (loi exponentielle, \(\lambda = \dfrac{1}{3000}\) h−1).
1. \(P(T>1000) = e^{-1000/3000} = e^{-1/3} \approx 0{,}7165\).
2. \(P(T > 1500 \mid T > 500) = \dfrac{P(T>1500)}{P(T>500)} = \dfrac{e^{-1500/3000}}{e^{-500/3000}} = e^{-1000/3000} \approx 0{,}7165\) : on retrouve exactement le même résultat qu'à la question 1.
3. C'est la propriété sans mémoire : sachant que le capteur a déjà fonctionné 500 h, sa probabilité de fonctionner encore 1000 h est la même que celle d'un capteur neuf. Le capteur ne « s'use » pas au sens de la loi exponentielle : elle ne modélise que la vie utile (taux de défaillance constant).
Un roulement à billes de ventilateur industriel a une durée de vie modélisée par une loi de Weibull de paramètres \(\beta = 2{,}5\) et \(\eta = 8000\) h.
1. \(R(4000) = \exp\!\left[-\left(\dfrac{4000}{8000}\right)^{2{,}5}\right] = \exp\!\left[-(0{,}5)^{2{,}5}\right] = \exp(-0{,}1768) \approx 0{,}8380\) soit 83,80 %.
2. \(R(8000) = \exp\!\left[-(1)^{2{,}5}\right] = e^{-1} \approx 0{,}3679\) soit 36,79 % : on retrouve bien \(e^{-1}\), conformément à la définition du paramètre d'échelle \(\eta\).
3. \(\beta = 2{,}5 > 1\) : le taux de défaillance est croissant. Ce roulement est dans sa phase de vieillissement (usure, fatigue mécanique) — plus il fonctionne longtemps, plus le risque de panne à l'instant suivant augmente.
On reprend le roulement de l'exercice 6 (\(\beta = 2{,}5\), \(\eta = 8000\) h).
1. \(\lambda(t) = \dfrac{\beta}{\eta}\left(\dfrac{t}{\eta}\right)^{\beta-1}\) : \(\lambda(4000) = \dfrac{2{,}5}{8000}\times(0{,}5)^{1{,}5} = 3{,}125\times10^{-4}\times0{,}3536 \approx 1{,}105\times10^{-4}\) h−1.
2. \(\lambda(8000) = \dfrac{2{,}5}{8000}\times(1)^{1{,}5} = 3{,}125\times10^{-4}\) h−1.
3. Le taux de défaillance presque triple entre 4000 h et 8000 h (de \(1{,}105\times10^{-4}\) à \(3{,}125\times10^{-4}\) h−1) : le risque de panne s'accroît avec l'âge du roulement, ce qui confirme la phase de vieillissement identifiée à l'exercice 6.
On reprend le roulement des exercices précédents (\(\beta = 2{,}5\), \(\eta = 8000\) h). On donne \(\Gamma(1{,}4) \approx 0{,}8873\).
1. \(\text{MTTF} = \eta\,\Gamma\!\left(1+\dfrac{1}{\beta}\right)\).
2. \(1 + \dfrac{1}{2{,}5} = 1{,}4\), donc \(\text{MTTF} = 8000 \times \Gamma(1{,}4) \approx 8000 \times 0{,}8873 \approx 7098{,}1\) h.
En moyenne, ce roulement fonctionne environ 7098 h avant défaillance.
Un responsable maintenance a relevé le nombre de pannes par mois d'un lot de vérins pneumatiques, regroupés par tranche d'âge :
| Tranche d'âge (mois) | Nombre de pannes / mois |
|---|---|
| 0 – 3 | 12 |
| 3 – 24 | 3 |
| 24 – 30 | 15 |
1 et 2.
3. Sur la tranche 24 – 30 mois, le taux de défaillance croît (\(\beta>1\)) : la maintenance préventive systématique est efficace (remplacement des vérins avant la fin de leur vie utile, par exemple vers 24 mois), contrairement à la phase de vie utile où elle n'apporterait aucun bénéfice.
Une ligne d'assemblage automatisée comprend trois éléments montés en série : un moteur (\(R_1 = 0{,}95\)), un réducteur (\(R_2 = 0{,}92\)) et un capteur de position (\(R_3 = 0{,}98\)), tous nécessaires au fonctionnement de la ligne.
Calculer la fiabilité \(R_s\) de la ligne complète.
\(R_s = R_1 \times R_2 \times R_3 = 0{,}95 \times 0{,}92 \times 0{,}98\).
\(0{,}95 \times 0{,}92 = 0{,}874\), puis \(0{,}874 \times 0{,}98 = 0{,}8565\).
\(R_s \approx 0{,}8565\) soit 85,65 %. La fiabilité du système en série est bien inférieure à celle du composant le plus fiable (le capteur, 98 %) : c'est le réducteur (92 %), maillon le plus faible, qui pénalise le plus le résultat global.
Une machine dangereuse est équipée de deux capteurs de sécurité identiques, montés en parallèle (redondance active), chacun de fiabilité \(R = 0{,}90\) sur la durée d'utilisation considérée.
1. \(R_p = 1-(1-0{,}90)^2 = 1 - 0{,}01 = 0{,}99\) soit 99 %, contre 90 % pour un seul capteur.
2. \(R_p' = 1-(1-0{,}90)^3 = 1 - 0{,}001 = 0{,}999\) soit 99,9 %. Chaque capteur supplémentaire en parallèle divise par 10 la probabilité de défaillance totale du groupe (de 10 % à 1 % puis 0,1 %) : c'est le principe de la redondance de sécurité.
Un système de ventilation industrielle est constitué : d'un moteur (\(R_1 = 0{,}90\)), de deux capteurs de sécurité identiques montés en parallèle (\(R_2 = R_3 = 0{,}85\)), puis d'un variateur de vitesse (\(R_4 = 0{,}97\)), le tout en série.
1. \(R_{23} = 1-(1-0{,}85)^2 = 1 - 0{,}0225 = 0{,}9775\).
2. \(R_s = R_1 \times R_{23} \times R_4 = 0{,}90 \times 0{,}9775 \times 0{,}97\).
\(0{,}90 \times 0{,}9775 = 0{,}87975\), puis \(0{,}87975 \times 0{,}97 \approx 0{,}8534\).
\(R_s \approx 0{,}8534\) soit 85,34 %. La redondance des capteurs (0,85 → 0,9775) limite fortement la perte de fiabilité globale ; ce sont le moteur et le variateur, en série, qui pèsent le plus.
Un responsable maintenance réalise l'AMDEC d'une chaudière industrielle. Les indices de gravité (G), fréquence (F) et détectabilité (D) sont notés de 1 à 4. On considère qu'une défaillance est critique si \(C \geq 16\), moyenne si \(8 \leq C < 16\) et faible si \(C < 8\).
| Composant | Mode de défaillance | G | F | D |
|---|---|---|---|---|
| Brûleur | Extinction intempestive | 4 | 1 | 1 |
| Échangeur thermique | Encrassement | 2 | 4 | 3 |
| Pompe de circulation | Grippage | 3 | 3 | 2 |
| Régulateur | Dérive du signal | 2 | 2 | 1 |
1.
2. Ordre décroissant : échangeur (24) > pompe (18) > brûleur = régulateur (4). L'échangeur thermique et la pompe de circulation dépassent le seuil critique (\(C\geq16\)) et doivent être surveillés en priorité (maintenance conditionnelle ou préventive renforcée), malgré une gravité individuelle parfois plus faible que le brûleur : c'est la combinaison fréquence × détectabilité qui fait la différence.
On étudie l'événement redouté « la presse ne s'arrête pas en cas de danger ». Cet événement sommet se produit si l'une des deux conditions suivantes est remplie (porte OU) :
1. \(P_{ET} = P_1 \times P_2 = 0{,}01 \times 0{,}02 = 2\times10^{-4}\).
2. \(P_{\text{sommet}} \approx P_{ET} + P_3 = 2\times10^{-4} + 5\times10^{-3} = 5{,}2\times10^{-3}\) soit environ 0,52 %.
La branche dominante est la défaillance directe du contacteur de puissance (porte OU simple), bien plus probable que la double défaillance simultanée du bouton d'arrêt d'urgence et du rideau immatériel (porte ET), qui reste très rare grâce à la redondance des deux dispositifs de sécurité.
Un compresseur d'air industriel a un MTBF de 1200 h et un MTTR de 6 h.
1. \(D = \dfrac{\text{MTBF}}{\text{MTBF}+\text{MTTR}} = \dfrac{1200}{1206} \approx 0{,}9950\) soit 99,50 %.
2. \(U = 1 - 0{,}9950 = 0{,}0050\) soit 0,50 %.
3. Nombre de pannes estimé : \(\dfrac{8760}{1200} \approx 7{,}3\) pannes par an. Durée totale d'indisponibilité : \(7{,}3 \times 6 \approx 43{,}8\) h par an, soit environ 1,8 jour d'arrêt sur l'année.
On reprend le compresseur d'air de l'exercice 15 (MTTR = 6 h). Sa durée de vie suit une loi exponentielle (\(\beta = 1\)), donc un taux de défaillance constant.
1. \(\mu = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667\) h−1.
2. \(M(4) = 1-e^{-\mu\times4} = 1-e^{-4/6} = 1-e^{-0{,}6667} \approx 1-0{,}5134 \approx 0{,}4866\) soit 48,66 %.
3. \(M(10) = 1-e^{-10/6} = 1-e^{-1{,}6667} \approx 1-0{,}1889 \approx 0{,}8111\) soit 81,11 %. Il est presque deux fois plus probable qu'une réparation dure moins de 10 h que moins de 4 h, ce qui est cohérent avec une durée moyenne de réparation (MTTR) de 6 h.
4. Le taux de défaillance de ce compresseur est constant (\(\beta=1\), loi exponentielle) : les pannes sont aléatoires et, par la propriété sans mémoire, remplacer des pièces encore fonctionnelles à intervalle fixe n'apporte aucun gain de fiabilité. Il faut donc privilégier la surveillance conditionnelle (suivi des vibrations, de la température, de la pression) plutôt que la maintenance préventive systématique, réservée aux composants en phase de vieillissement (\(\beta>1\)).