Fiabilité | BTS | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Un installateur thermique étudie la fiabilité de la pompe de circulation d'une chaudière industrielle. Le constructeur annonce un MTBF de 3500 h, et la durée de vie de la pompe suit une loi exponentielle.
1. Calculer le taux de défaillance \(\lambda\) de la pompe. (1 pt)
2. Calculer la fiabilité \(R(1000)\) après 1000 h de fonctionnement. (1,5 pt)
3. Déterminer la durée \(t\) au bout de laquelle la fiabilité vaut exactement \(R(t) = 0{,}9\). (1,5 pt)
4. La pompe a déjà fonctionné 800 h sans panne. Sans calcul supplémentaire, que peut-on dire de sa probabilité de fonctionner encore 1000 h par rapport à celle d'une pompe neuve ? Nommer la propriété utilisée. (1 pt)
1. \(\lambda = \dfrac{1}{3500} \approx 2{,}857\times10^{-4}\) h−1.
2. \(R(1000) = e^{-2{,}857\times10^{-4}\times1000} = e^{-0{,}2857} \approx 0{,}7515\) soit 75,15 %.
3. \(0{,}9 = e^{-\lambda t} \Rightarrow t = \dfrac{-\ln 0{,}9}{\lambda} = \dfrac{0{,}1054}{2{,}857\times10^{-4}} \approx 368{,}8\) h.
4. La probabilité est exactement la même que pour une pompe neuve (propriété sans mémoire de la loi exponentielle) : le temps déjà écoulé (800 h) n'influence pas la probabilité de fonctionner encore 1000 h.
Un ingénieur fiabiliste modélise la durée de vie d'un roulement de ventilateur industriel par une loi de Weibull de paramètres \(\beta = 3\) et \(\eta = 6000\) h. On donne \(\Gamma(1{,}333) \approx 0{,}8930\).
1. Calculer la fiabilité \(R(3000)\). (1,5 pt)
2. Calculer le taux de défaillance \(\lambda(3000)\). (1,5 pt)
3. Interpréter la valeur de \(\beta = 3\) : à quelle phase de la courbe en baignoire ce roulement correspond-il ? (1 pt)
4. Calculer la MTTF de ce roulement. (1 pt)
1. \(R(3000) = \exp\!\left[-\left(\dfrac{3000}{6000}\right)^3\right] = \exp[-(0{,}5)^3] = \exp(-0{,}125) \approx 0{,}8825\) soit 88,25 %.
2. \(\lambda(t) = \dfrac{\beta}{\eta}\left(\dfrac{t}{\eta}\right)^{\beta-1}\) : \(\lambda(3000) = \dfrac{3}{6000}\times(0{,}5)^2 = 5\times10^{-4}\times0{,}25 = 1{,}25\times10^{-4}\) h−1.
3. \(\beta = 3 > 1\) : le taux de défaillance est croissant, ce roulement est dans sa phase de vieillissement (usure mécanique, fatigue des matériaux).
4. \(1+\dfrac{1}{3} \approx 1{,}333\), donc \(\text{MTTF} = 6000\times\Gamma(1{,}333) \approx 6000\times0{,}8930 \approx 5357{,}9\) h.
Un système de détection incendie d'un atelier comprend deux capteurs de fumée identiques, montés en parallèle (redondance active), chacun de fiabilité \(0{,}88\), suivis en série d'un actionneur d'extraction d'air de fiabilité \(0{,}95\).
1. Calculer la fiabilité \(R_p\) du groupe des deux capteurs en parallèle. (2 pts)
2. En déduire la fiabilité globale \(R_s\) du système complet. (1,5 pt)
3. Comparer \(R_p\) à la fiabilité d'un seul capteur (0,88) et conclure sur l'intérêt de la redondance pour un système de sécurité. (1,5 pt)
1. \(R_p = 1-(1-0{,}88)^2 = 1-0{,}0144 = 0{,}9856\) soit 98,56 %.
2. \(R_s = R_p \times 0{,}95 = 0{,}9856\times0{,}95 \approx 0{,}9363\) soit 93,63 %.
3. Un seul capteur offrirait 88 % de fiabilité ; la redondance porte le groupe de capteurs à 98,56 %, un gain de plus de 10 points. Pour un système de sécurité incendie, la redondance des capteurs est essentielle : elle réduit fortement le risque de non-détection en cas de défaillance d'un seul capteur.
Un compresseur d'air industriel a un MTBF de 1500 h et un MTTR de 5 h. Sa durée de vie suit une loi exponentielle (taux de défaillance constant, \(\beta = 1\)).
1. Calculer la disponibilité \(D\) du compresseur. (1,5 pt)
2. Estimer la durée totale d'indisponibilité sur une année de fonctionnement continu (8760 h). (1,5 pt)
3. Le responsable de maintenance hésite entre remplacer systématiquement le compresseur tous les 1000 h (maintenance préventive systématique) ou mettre en place une surveillance conditionnelle (capteurs de vibration et de température). Laquelle des deux stratégies recommander pour ce compresseur, et pourquoi ? (2 pts)
1. \(D = \dfrac{1500}{1500+5} = \dfrac{1500}{1505} \approx 0{,}9967\) soit 99,67 %.
2. Nombre de pannes estimé : \(\dfrac{8760}{1500} \approx 5{,}84\) pannes par an. Durée totale d'indisponibilité : \(5{,}84\times5 \approx 29{,}2\) h par an.
3. Le taux de défaillance de ce compresseur est constant (\(\beta=1\)) : par la propriété sans mémoire de la loi exponentielle, un compresseur ayant déjà fonctionné a la même probabilité de tomber en panne dans les heures suivantes qu'un compresseur neuf. Remplacer le compresseur tous les 1000 h n'apporterait donc aucun gain de fiabilité et gaspillerait des pièces encore fonctionnelles. Il faut préférer la surveillance conditionnelle, qui détecte les dérives réelles de fonctionnement, stratégie efficace pour un composant en vie utile.