Devoir Surveillé – Chapitre 17

Exercice 1 — Boucles et fonctions : contrôle d'un lot de pièces (5 points)

Un technicien de contrôle qualité relève le diamètre (en mm) de 6 axes usinés dont la cote nominale est 25 mm avec une tolérance de ±0,05 mm :

D = [24.98, 25.03, 24.95, 25.07, 25.00, 24.99]

1. On exécute le programme suivant. Complète le tableau de trace de la variable somme au fil des itérations. (1,5 pt)

D = [24.98, 25.03, 24.95, 25.07, 25.00, 24.99]
somme = 0
for i in range(len(D)):
    somme = somme + D[i]
moyenne = somme / len(D)

2. Donne la valeur de moyenne (au dix-millième). (1 pt)

3. Complète la fonction suivante afin qu'elle compte le nombre de pièces non conformes (hors de l'intervalle [24,95 ; 25,05]) : (1,5 pt)

def compter_defauts(T, mini, maxi):
    compteur = 0
    for x in T:
        if ______________:
            compteur = compteur + 1
    return compteur

4. Donne le résultat de compter_defauts(D, 24.95, 25.05) en justifiant. (1 pt)

Exercice 2 — Recherche d'un zéro par dichotomie (5 points)

Un bureau d'études cherche la valeur \(x\) telle que \(x^2 = 11\) (dimensionnement d'une section technique), en résolvant \(f(x) = x^2 - 11 = 0\) par dichotomie sur l'intervalle \([3\,;\,4]\). On vérifie que \(f(3) = -2 < 0\) et \(f(4) = 5 > 0\).

1. Rappelle le principe de la méthode de dichotomie et la condition d'arrêt utilisée. (1 pt)

2. Complète le tableau de trace pour 3 itérations (\(m\), \(f(m)\), nouvel intervalle). (2,5 pts)

3. Combien d'itérations faut-il, en partant de \([3\,;\,4]\), pour atteindre une précision \(\varepsilon = 10^{-3}\) ? (1,5 pt)

Exercice 3 — Tri et complexité : mesures de résistance (5 points)

Un technicien de contrôle mesure des résistances (en Ω) sur un lot de composants : T = [56, 18, 33, 9, 41]. Il utilise l'algorithme de tri à bulles optimisé (avec arrêt anticipé) vu en cours.

1. Complète le tableau après chaque passage, avec le nombre d'échanges effectués. (3 pts)

2. Donne la complexité, dans le pire des cas, du tri à bulles pour un tableau de \(n\) éléments. (1 pt)

3. Un lot comporte cette fois \(n = 200\) composants. Estime le nombre maximal de comparaisons effectuées par le tri à bulles sur ce lot (utilise \(\dfrac{n(n-1)}{2}\)). (1 pt)

Exercice 4 — Python et régulation PID (5 points)

Un technicien de maintenance programme la régulation d'un bain thermostaté à l'aide de la classe PID du cours, avec \(K_p = 1{,}5\), \(K_i = 0{,}3\), \(K_d = 0\) (terme dérivé négligé) et \(T_e = 1\,\text{s}\). La consigne est de 90 °C.

1. Complète les deux lignes manquantes de la méthode calculer (sans terme dérivé) : (2 pts)

class PID:
    def __init__(self, Kp, Ki, Te):
        self.Kp = Kp
        self.Ki = Ki
        self.Te = Te
        self._somme_e = 0.0

    def calculer(self, consigne, mesure):
        e = consigne - mesure
        ______________________________        # mise à jour de la somme cumulée
        u = ______________________________     # calcul de la commande u
        return u

2. Les deux premières mesures relevées par le capteur sont 70 °C puis 79 °C. Complète le tableau de trace pour \(k = 0\) et \(k = 1\) : erreur \(e_k\), somme cumulée, commande \(u_k\). (3 pts)

    def calculer(self, consigne, mesure):
        e = consigne - mesure
        self._somme_e += e * self.Te
        u = self.Kp * e + self.Ki * self._somme_e
        return u