Ch16 – Matrices et systèmes linéaires – QCM

Question 1

Soit \(A=\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}3&1\\-2&0\end{pmatrix}\). Que vaut \(A+B\) ?

\(\begin{pmatrix}4&0\\2&2\end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix}4&0\\-2&2\end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix}3&-1\\0&0\end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix}4&0\\-2&0\end{pmatrix}\)

Question 2

Le produit \(AB\) de deux matrices est défini si et seulement si :

\(A\) et \(B\) ont la même taille \(A\) et \(B\) sont toutes deux carrées le nombre de colonnes de \(A\) égale le nombre de lignes de \(B\) le nombre de lignes de \(A\) égale le nombre de colonnes de \(B\)

Question 3

Soit \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\). Que vaut le coefficient en haut à gauche de \(AB\) ?

\(1\cdot5+2\cdot7 = 19\) \(1\cdot5+3\cdot6 = 23\) \(1\cdot5 = 5\) \(1\cdot8+2\cdot7 = 22\)

Question 4

Pour le produit matriciel, quelle affirmation est vraie en général ?

\(AB = BA\) toujours \(AB = BA\) si \(A\) et \(B\) sont carrées le produit n'existe jamais pour des matrices rectangulaires le produit est non commutatif : en général \(AB\neq BA\)

Question 5

Que vaut \(\det\begin{pmatrix}3&-1\\2&5\end{pmatrix}\) ?

\(13\) \(17\) \(15\) \(-17\)

Question 6

Une matrice carrée \(A\) est inversible si et seulement si :

\(A\) est symétrique \(\det(A) = 0\) \(\det(A) \neq 0\) tous ses coefficients sont non nuls

Question 7

L'inverse de \(A=\begin{pmatrix}3&1\\2&5\end{pmatrix}\) (avec \(\det A = 13\)) est :

\(\dfrac{1}{13}\begin{pmatrix}5&-1\\-2&3\end{pmatrix}\) \(\dfrac{1}{13}\begin{pmatrix}5&1\\2&3\end{pmatrix}\) \(\dfrac{1}{13}\begin{pmatrix}3&1\\2&5\end{pmatrix}\) \(\dfrac{1}{13}\begin{pmatrix}5&-2\\-1&3\end{pmatrix}\)

Question 8

Le système \(AX = B\) avec \(A\) carrée et inversible admet pour solution unique :

\(X = AB\) \(X = A^{-1}B\) \(X = BA^{-1}\) \(X = B - A\)

Question 9

On résout par Cramer \(\begin{cases}3x+y=7\\x+2y=4\end{cases}\). Avec \(\det(A)=5\) et \(\det(A_1)=10\), que vaut \(x\) ?

\(0{,}5\) \(5\) \(2\) \(10\)

Question 10

Que vaut le déterminant \(A = \begin{pmatrix}2&1&-1\\1&3&2\\-1&1&3\end{pmatrix}\) (règle de Sarrus) ?

\(0\) \(5\) \(18\) \(-5\)

Question 11

Un scalaire \(\lambda\) est valeur propre d'une matrice carrée \(A\) lorsque :

\(\det(A - \lambda I) = 0\) \(\det(A) = \lambda\) \(A + \lambda I = 0\) \(\lambda\) est sur la diagonale de \(A\)

Question 12

Les valeurs propres de \(A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}\) (polynôme \(\lambda^2-7\lambda+10\)) sont :

\(\lambda = 4\) et \(\lambda = 3\) \(\lambda = 7\) et \(\lambda = 10\) \(\lambda = 1\) et \(\lambda = 10\) \(\lambda = 2\) et \(\lambda = 5\)