BTS | Mathématiques | Groupement B1
Dernière mise à jour : 21 juin 2026
Analyse d’un réseau électrique par les lois de Kirchhoff
Un électrotechnicien doit déterminer les courants circulant dans un réseau comportant trois mailles indépendantes. En appliquant les lois de Kirchhoff (conservation des courants aux nœuds, somme des tensions dans les mailles), il obtient un système de trois équations linéaires :
\[ \begin{cases} R_{11}\,I_1 + R_{12}\,I_2 + R_{13}\,I_3 = E_1\\ R_{21}\,I_1 + R_{22}\,I_2 + R_{23}\,I_3 = E_2\\ R_{31}\,I_1 + R_{32}\,I_2 + R_{33}\,I_3 = E_3 \end{cases} \]Ce système s’écrit sous forme matricielle \(R\,\vec{I} = \vec{E}\), où \(R\) est la matrice des résistances. Pour trouver \(\vec{I}\), on calcule l’inverse de la matrice \(R\). Ce chapitre présente tous les outils nécessaires pour résoudre ce type de problème.
Une matrice \(A\) de taille \(m\times n\) (ou \(m\) lignes et \(n\) colonnes) est un tableau rectangulaire de réels :
\[ A = (a_{ij})_{\substack{1\le i\le m\\1\le j\le n}} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \]L’élément \(a_{ij}\) est à la ligne \(i\) et à la colonne \(j\). On note \(\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})\) l’ensemble de ces matrices.
| Nom | Condition | Exemple (2×2 ou 3×3) |
|---|---|---|
| Matrice carrée d’ordre \(n\) | \(m = n\) | \(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) |
| Matrice diagonale | \(a_{ij}=0\) si \(i\ne j\) | \(\begin{pmatrix}3&0\\0&-1\end{pmatrix}\) |
| Matrice identité \(I_n\) | \(a_{ii}=1\), \(a_{ij}=0\) (\(i\ne j\)) | \(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) |
| Matrice nulle \(O\) | Tous coefficients nuls | \(\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\) |
| Triangulaire supérieure | \(a_{ij}=0\) si \(i>j\) | \(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{pmatrix}\) |
| Symétrique | \(a_{ij}=a_{ji}\) | \(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}\) |
La transposée de \(A = (a_{ij})_{m\times n}\) est la matrice \(A^T = (a_{ji})_{n\times m}\) obtenue en échangeant lignes et colonnes.
\[ A = \begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix} \implies A^T = \begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix} \]Propriétés : \((A^T)^T=A\), \((A+B)^T=A^T+B^T\), \((AB)^T=B^T A^T\).
Une matrice est symétrique si \(A^T = A\).
Pour \(A = (a_{ij})\), \(B = (b_{ij})\) de même taille \(m\times n\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\) :
Le produit \(C = AB\) est défini si le nombre de colonnes de \(A\) égale le nombre de lignes de \(B\) : si \(A\) est \(m\times p\) et \(B\) est \(p\times n\), alors \(C\) est \(m\times n\) avec :
\[ c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\,b_{kj} \]C’est le produit ligne par colonne : le coefficient \(c_{ij}\) est le produit scalaire de la ligne \(i\) de \(A\) par la colonne \(j\) de \(B\).
Le produit matriciel est en général non commutatif : \(AB \ne BA\) (même quand les deux produits existent et ont la même taille). Cependant : \(AI = IA = A\).
Dans un circuit, les courants \(\vec{I}\) sont liés aux tensions \(\vec{V}\) par \(V = RI\) :
\[ \begin{pmatrix}V_1\\V_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10&5\\2&8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I_1\\I_2\end{pmatrix} \implies \begin{cases}V_1 = 10I_1 + 5I_2\\V_2 = 2I_1 + 8I_2\end{cases} \]Pour \(A\) carrée d’ordre \(n\) et \(k \in \mathbb{N}\) : \(A^0 = I_n\), \(A^1 = A\), \(A^k = A\cdot A^{k-1}\) (produit itéré).
Pour une matrice \(3\times3\), on répète les deux premières colonnes à droite et on somme les produits en diagonale :
Diagonales descendantes (+) : \(aei\), \(bfg\), \(cdh\)
Diagonales montantes (−) : \(ceg\), \(afh\), \(bdi\)
Méthode alternative : développer selon la première colonne.
\[ \det(A) = 2\begin{vmatrix}3&2\\1&3\end{vmatrix} -1\begin{vmatrix}1&-1\\1&3\end{vmatrix} +(-1)\begin{vmatrix}1&-1\\3&2\end{vmatrix} \] \[ = 2(9-2) - 1(3+1) + (-1)(2+3) = 14 - 4 - 5 = 5 \quad \checkmark \]Une matrice carrée \(A\) est inversible si et seulement si \(\det(A) \ne 0\). Son inverse \(A^{-1}\) vérifie : \[A\,A^{-1} = A^{-1}A = I_n\]
Vérification : \(AA^{-1} = \dfrac{1}{13}\begin{pmatrix}3&1\\2&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&-1\\-2&3\end{pmatrix} = \dfrac{1}{13}\begin{pmatrix}13&0\\0&13\end{pmatrix} = I_2\) ✓
Pour inverser une matrice \(A\) d’ordre \(n\), on écrit le tableau augmenté \([A\,|\,I_n]\) et on applique des opérations élémentaires sur les lignes pour transformer \(A\) en \(I_n\) : la partie droite devient alors \(A^{-1}\).
Opérations autorisées :
Calculer l’inverse de \(A = \begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&3\\0&0&2\end{pmatrix}\).
Étape 1 : tableau augmenté
| 1 | 2 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 3 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 1 |
Étape 2 : pivot en (3,3) — \(L_3 \leftarrow \frac{1}{2}L_3\)
| 1 | 2 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 3 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1/2 |
Étape 3 : éliminer colonne 3 — \(L_2 \leftarrow L_2 - 3L_3\)
| 1 | 2 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | -3/2 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1/2 |
Étape 4 : éliminer colonne 2 — \(L_1 \leftarrow L_1 - 2L_2\)
| 1 | 0 | 0 | 1 | -2 | 3 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | -3/2 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1/2 |
Donc : \(A^{-1} = \begin{pmatrix}1&-2&3\\0&1&-3/2\\0&0&1/2\end{pmatrix}\)
Un système de \(m\) équations à \(n\) inconnues s’écrit :
\[ AX = B \quad\text{avec}\quad A \in \mathcal{M}_{m,n},\; X = \begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix},\; B = \begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix} \]Si \(A\) est carrée et inversible, la solution unique est \(X = A^{-1}B\).
Le rang d’une matrice \(A\), noté \(\text{rg}(A)\), est le nombre maximal de lignes (ou colonnes) linéairement indépendantes. Il se calcule en réduisant \(A\) par opérations élémentaires (forme échelonnée).
Le système \(AX = B\) (\(A\) de taille \(m\times n\)) admet :
Résoudre : \(\begin{cases} 2x + y - z = 8\\ -3x - y + 2z = -11\\ -2x + y + 2z = -3 \end{cases}\)
Matrice augmentée :
| 2 | 1 | -1 | 8 |
| -3 | -1 | 2 | -11 |
| -2 | 1 | 2 | -3 |
\(L_2 \leftarrow L_2 + \tfrac{3}{2}L_1\) : \((0,\ \tfrac{1}{2},\ \tfrac{1}{2},\ 1)\)
\(L_3 \leftarrow L_3 + L_1\) : \((0,\ 2,\ 1,\ 5)\)
| 2 | 1 | -1 | 8 |
| 0 | 1/2 | 1/2 | 1 |
| 0 | 2 | 1 | 5 |
\(L_3 \leftarrow L_3 - 4L_2\) : \((0,\ 0,\ -1,\ 1)\)
| 2 | 1 | -1 | 8 |
| 0 | 1/2 | 1/2 | 1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
Remonter :
\(L_3\) : \(-z = 1 \implies z = -1\)
\(L_2\) : \(\tfrac{1}{2}y + \tfrac{1}{2}(-1) = 1 \implies y = 3\)
\(L_1\) : \(2x + 3 - (-1) = 8 \implies 2x = 4 \implies x = 2\)
Solution : \((x, y, z) = (2, 3, -1)\)
Vérification : \(2(2)+3-(-1)=8\) ✓, \(-3(2)-3+2(-1)=-11\) ✓, \(-2(2)+3+2(-1)=-3\) ✓
Si \(A\) est carrée d’ordre \(n\) et \(\det(A)\ne0\), alors la solution unique de \(AX=B\) est :
\[ x_k = \frac{\det(A_k)}{\det(A)}, \quad k = 1, \ldots, n \]où \(A_k\) est la matrice obtenue en remplaçant la \(k\)-ième colonne de \(A\) par \(B\).
Résoudre \(\begin{cases}3x+y=7\\x+2y=4\end{cases}\)
\[ A=\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix},\quad \det(A)=6-1=5 \] \[ \det(A_1)=\begin{vmatrix}7&1\\4&2\end{vmatrix}=14-4=10,\quad \det(A_2)=\begin{vmatrix}3&7\\1&4\end{vmatrix}=12-7=5 \] \[ x = \frac{10}{5}=2,\quad y=\frac{5}{5}=1 \]Un électrotechnicien analyse un circuit avec trois mailles. Les lois de Kirchhoff donnent : \(\begin{cases}10I_1 + 5I_2 + 0\,I_3 = 15\\ 3I_1 + 8I_2 + 2I_3 = 0\\ 0\,I_1 + 2I_2 + 6I_3 = 12\end{cases}\)
\[ A=\begin{pmatrix}10&5&0\\3&8&2\\0&2&6\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}15\\0\\12\end{pmatrix} \] \[ \det(A)=10(48-4)-5(18-0)+0 = 10\cdot44-5\cdot18 = 440-90=350 \] \[ \det(A_1)=\begin{vmatrix}15&5&0\\0&8&2\\12&2&6\end{vmatrix} = 15(48-4)-5(0-24)+0 = 660+120 = 780 \] \[ I_1 = \frac{780}{350} = \frac{78}{35} \approx 2{,}23\,\text{A} \](Le calcul de \(I_2\) et \(I_3\) se fait de même.)
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\). Un scalaire \(\lambda \in \mathbb{R}\) est une valeur propre de \(A\) s’il existe un vecteur non nul \(\vec{v}\) (appelé vecteur propre associé) tel que :
\[ A\,\vec{v} = \lambda\,\vec{v} \]Interprétation : l’application de \(A\) à \(\vec{v}\) ne change pas sa direction, seulement son module (facteur \(\lambda\)).
Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique :
\[ P(\lambda) = \det(A - \lambda I) = 0 \]Pour chaque valeur propre \(\lambda_k\), les vecteurs propres associés sont les solutions non nulles de \((A - \lambda_k I)\vec{v} = \vec{0}\).
Équation caractéristique :
\[ \det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix}4-\lambda&1\\2&3-\lambda\end{vmatrix} = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \] \[ \Delta = 49 - 40 = 9 \implies \lambda_1 = \frac{7-3}{2} = 2,\quad \lambda_2 = \frac{7+3}{2} = 5 \]Vecteur propre pour \(\lambda_1 = 2\) :
\[ (A-2I)\vec{v}=\vec{0} \implies \begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}=\vec{0} \implies 2v_1+v_2=0 \implies \vec{v}_1 = \begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} \]Vecteur propre pour \(\lambda_2 = 5\) :
\[ (A-5I)\vec{v}=\vec{0} \implies \begin{pmatrix}-1&1\\2&-2\end{pmatrix}\vec{v}=\vec{0} \implies -v_1+v_2=0 \implies \vec{v}_2 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \]Valeurs propres : \(\lambda_1=1\) (simple) et \(\lambda_2=3\) (double).
Une matrice \(A\) d’ordre \(n\) est diagonalisable si elle possède \(n\) vecteurs propres linéairement indépendants. Dans ce cas :
\[ A = P\,D\,P^{-1} \]où \(D = \text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) et \(P\) est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres.
Application : calcul rapide de puissances \(A^k = P\,D^k\,P^{-1}\), utile en électronique (réponse en régime libre).
Un électrotechnicien analyse le circuit suivant avec deux mailles de courant \(I_1\) et \(I_2\) :
Après développement :
\[ \begin{cases} 6I_1 - 2I_2 = 20\\ -2I_1 + 5I_2 = 10 \end{cases} \implies \begin{pmatrix}6&-2\\-2&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_1\\I_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}20\\10\end{pmatrix} \] \[ \det(A) = 30 - 4 = 26 \] \[ I_1 = \frac{\det\begin{pmatrix}20&-2\\10&5\end{pmatrix}}{26} = \frac{100+20}{26} = \frac{120}{26} \approx 4{,}62\,\text{A} \] \[ I_2 = \frac{\det\begin{pmatrix}6&20\\-2&10\end{pmatrix}}{26} = \frac{60+40}{26} = \frac{100}{26} \approx 3{,}85\,\text{A} \]Vérification : \(6(120/26)-2(100/26) = (720-200)/26 = 520/26 = 20\) ✓
De nombreuses transformations géométriques du plan ou de l’espace s’expriment comme des multiplications matricielles : \(\vec{v}' = M\,\vec{v}\).
| Transformation | Matrice |
|---|---|
| Rotation d’angle \(\theta\) dans le plan | \(R_\theta = \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\) |
| Mise à l’échelle (\(s_x, s_y\)) | \(S = \begin{pmatrix}s_x&0\\0&s_y\end{pmatrix}\) |
| Symétrie par rapport à l’axe \(x\) | \(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\) |
| Rotation 3D autour de \(z\) d’angle \(\theta\) | \(\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) |
Un point \(P = (3, 0)\) est tourné de \(60°\) autour de l’origine. Trouver ses nouvelles coordonnées.
\[ R_{60°} = \begin{pmatrix}\cos60°&-\sin60°\\\sin60°&\cos60°\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/2&-\sqrt{3}/2\\\sqrt{3}/2&1/2\end{pmatrix} \] \[ P' = R_{60°}\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3/2\\3\sqrt{3}/2\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}1{,}5\\2{,}60\end{pmatrix} \]Vérification (norme conservée) : \(\|P'\| = \sqrt{(3/2)^2 + (3\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{9/4+27/4} = \sqrt{9} = 3 = \|P\|\) ✓
Un technicien en CFAO applique successivement une mise à l’échelle de facteur 2 selon \(x\), puis une rotation de \(90°\) à un vecteur \(\vec{v} = (1, 0)\).
\[ S = \begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}, \quad R_{90°} = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \] \[ M = R_{90°}\cdot S = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&-1\\2&0\end{pmatrix} \] \[ M\vec{v} = \begin{pmatrix}0&-1\\2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix} \]Le vecteur initial \((1,0)\) devient \((0,2)\) après la composée. Attention : l’ordre des matrices importe !
Soit \(A=\begin{pmatrix}2&1\\3&-1\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}1&-2\\0&3\end{pmatrix}\).
a. \(AB=\begin{pmatrix}2\cdot1+1\cdot0&2\cdot(-2)+1\cdot3\\3\cdot1+(-1)\cdot0&3\cdot(-2)+(-1)\cdot3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&-1\\3&-9\end{pmatrix}\)
\(BA=\begin{pmatrix}1\cdot2+(-2)\cdot3&1\cdot1+(-2)\cdot(-1)\\0\cdot2+3\cdot3&0\cdot1+3\cdot(-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4&3\\9&-3\end{pmatrix}\ne AB\)
b. \(\det(A)=-2-3=-5\), \(\det(B)=3-0=3\), \(\det(AB)=-18+3=-15=(-5)\cdot3\) ✓
c. \(A^{-1}=\dfrac{1}{-5}\begin{pmatrix}-1&-1\\-3&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/5&1/5\\3/5&-2/5\end{pmatrix}\)
Résoudre par la méthode de Gauss : \(\begin{cases}x - y + 2z = 1\\2x + y - z = 3\\x + 3y - z = 2\end{cases}\)
Matrice augmentée :
\(\begin{pmatrix}1&-1&2&|&1\\2&1&-1&|&3\\1&3&-1&|&2\end{pmatrix}\)
\(L_2\leftarrow L_2-2L_1\) : \((0,3,-5,|,1)\) \(L_3\leftarrow L_3-L_1\) : \((0,4,-3,|,1)\)
\(L_3\leftarrow L_3-\frac{4}{3}L_2\) : \(\left(0,0,\frac{11}{3},|\,-\frac{1}{3}\right)\)
Remonter : \(z = -\frac{1}{11}\), \(3y-5\cdot(-\frac{1}{11})=1 \implies y=\frac{6}{33}=\frac{2}{11}\), \(x-\frac{2}{11}-\frac{2}{11}=1 \implies x=\frac{15}{11}\)
Solution : \(x=\dfrac{15}{11}\), \(y=\dfrac{2}{11}\), \(z=-\dfrac{1}{11}\)
Calculer les valeurs propres et vecteurs propres de \(M=\begin{pmatrix}5&-2\\2&1\end{pmatrix}\).
\(\det(M-\lambda I)=(5-\lambda)(1-\lambda)+4=\lambda^2-6\lambda+9=(\lambda-3)^2=0\)
Valeur propre unique : \(\lambda=3\) (double).
Vecteur propre : \((M-3I)\vec{v}=\vec{0}\implies\begin{pmatrix}2&-2\\2&-2\end{pmatrix}\vec{v}=\vec{0} \implies v_1=v_2 \implies \vec{v}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)
La matrice n’est pas diagonalisable (une seule direction propre pour une valeur propre double).
Un ingénieur applique successivement une rotation de \(45°\) puis une mise à l’échelle de facteur 3 sur l’axe \(x\) et \(2\) sur l’axe \(y\) au vecteur \(\vec{v}=(1,1)\).
a. \(R_{45°}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}\), \(S=\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix}\)
\(M = S\cdot R_{45°} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix}3&-3\\2&2\end{pmatrix}\)
b. \(M\vec{v}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix}3-3\\2+2\end{pmatrix}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\sqrt{2}\end{pmatrix}\)
Norme : \(\|M\vec{v}\|=2\sqrt{2}\approx2{,}83\). La norme initiale était \(\|\vec{v}\|=\sqrt{2}\) ; le facteur d’échelle effectif est 2.