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Interrogation — Ch16 : Matrices et systèmes linéaires

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

Exercice 1 — Opérations matricielles (3 pts)

On donne \(A = \begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}1&-1\\4&2\end{pmatrix}\).

  1. Calculer \(A + B\). (1 pt)
  2. Calculer le produit \(AB\). (2 pts)

Exercice 2 — Déterminants (4 pts)

  1. Calculer \(\det\begin{pmatrix}5&2\\3&4\end{pmatrix}\). (1,5 pt)
  2. Calculer, par la règle de Sarrus, \(\det\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&1\\2&0&1\end{pmatrix}\). (2,5 pts)

Exercice 3 — Matrice inverse (4 pts)

Soit \(M = \begin{pmatrix}4&2\\3&5\end{pmatrix}\).

  1. Calculer \(\det(M)\) et justifier que \(M\) est inversible. (1,5 pt)
  2. Donner \(M^{-1}\). (2,5 pts)

Exercice 4 — Système linéaire 2×2 par Cramer (4 pts)

Résoudre par la méthode de Cramer le système : \(\begin{cases}2x + y = 5\\x + 3y = 10\end{cases}\)

Exercice 5 — Valeurs propres (5 pts)

Soit \(A = \begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}\).

  1. Écrire l'équation caractéristique \(\det(A - \lambda I) = 0\) et déterminer les valeurs propres. (3 pts)
  2. Déterminer un vecteur propre associé à la plus grande valeur propre. (2 pts)

Correction

Exercice 1 (3 pts)

a) \(A + B = \begin{pmatrix}2+1&1-1\\0+4&3+2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&0\\4&5\end{pmatrix}\) (1 pt)

b) Produit ligne par colonne : \[AB = \begin{pmatrix}2\cdot1+1\cdot4 & 2\cdot(-1)+1\cdot2\\0\cdot1+3\cdot4 & 0\cdot(-1)+3\cdot2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6&0\\12&6\end{pmatrix}\] (2 pts)

Exercice 2 (4 pts)

a) \(\det\begin{pmatrix}5&2\\3&4\end{pmatrix} = 5\cdot4 - 2\cdot3 = 20 - 6 = 14\) (1,5 pt)

b) Règle de Sarrus : \(\det = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi\), avec \(a=1,b=2,c=0,d=0,e=3,f=1,g=2,h=0,i=1\) : \[\det = 1\cdot3\cdot1 + 2\cdot1\cdot2 + 0\cdot0\cdot0 - 0\cdot3\cdot2 - 1\cdot1\cdot0 - 2\cdot0\cdot1\] \[= 3 + 4 + 0 - 0 - 0 - 0 = 7\] (2,5 pts)

Exercice 3 (4 pts)

a) \(\det(M) = 4\cdot5 - 2\cdot3 = 20 - 6 = 14 \ne 0\) : \(M\) est inversible. (1,5 pt)

b) \(M^{-1} = \dfrac{1}{\det M}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} = \dfrac{1}{14}\begin{pmatrix}5&-2\\-3&4\end{pmatrix}\) (2,5 pts)

Vérification : \(M\,M^{-1} = \dfrac{1}{14}\begin{pmatrix}4&2\\3&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&-2\\-3&4\end{pmatrix} = \dfrac{1}{14}\begin{pmatrix}14&0\\0&14\end{pmatrix} = I_2\) ✓

Exercice 4 (4 pts)

\(A = \begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix}5\\10\end{pmatrix}\). \(\det(A) = 2\cdot3 - 1\cdot1 = 6 - 1 = 5\).

\(\det(A_1) = \begin{vmatrix}5&1\\10&3\end{vmatrix} = 5\cdot3 - 1\cdot10 = 15 - 10 = 5\) ; \(\det(A_2) = \begin{vmatrix}2&5\\1&10\end{vmatrix} = 2\cdot10 - 5\cdot1 = 20 - 5 = 15\).

\(x = \dfrac{\det(A_1)}{\det(A)} = \dfrac{5}{5} = 1\), \(y = \dfrac{\det(A_2)}{\det(A)} = \dfrac{15}{5} = 3\).

Vérification : \(2(1)+3 = 5\) ✓ et \(1+3(3) = 10\) ✓. Solution : \((x,y) = (1,3)\).

Exercice 5 (5 pts)

a) \(\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix}3-\lambda&1\\0&2-\lambda\end{vmatrix} = (3-\lambda)(2-\lambda) - 0 = 0\).

D'où \(\lambda_1 = 3\) et \(\lambda_2 = 2\). (3 pts)

b) Plus grande valeur propre : \(\lambda = 3\). On résout \((A - 3I)\vec{v} = \vec{0}\) : \[\begin{pmatrix}0&1\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix} = \vec{0} \implies v_2 = 0,\; v_1 \text{ libre}.\] Un vecteur propre est \(\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\). (2 pts)

Vérification : \(A\vec{v} = \begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) ✓

Total : 3 + 4 + 4 + 4 + 5 = 20 points.