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L'essentiel :
- Le produit matriciel est ligne par colonne : \(c_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}\) ; en général \(AB\ne BA\).
- Une matrice carrée est inversible si et seulement si \(\det(A)\ne0\).
- Un système \(AX=B\) avec \(A\) carrée inversible a la solution unique \(X=A^{-1}B\) (Gauss, Cramer ou \(A^{-1}\)).
- Valeurs propres : racines de \(\det(A-\lambda I)=0\) ; vecteurs propres : solutions non nulles de \((A-\lambda I)\vec v=\vec 0\).
Définitions clés
Définition
Matrice \(m\times n\) : tableau de réels \(A=(a_{ij})\) à \(m\) lignes et \(n\) colonnes. Carrée si \(m=n\).
Définition
Transposée : \(A^T=(a_{ji})\) (échange lignes/colonnes). \(A\) est symétrique si \(A^T=A\).
Définition
Inverse : \(A^{-1}\) vérifie \(A\,A^{-1}=A^{-1}A=I_n\). Existe ssi \(\det(A)\ne0\).
Définition
Rang \(\text{rg}(A)\) : nombre de lignes non nulles après échelonnement (lignes linéairement indépendantes).
Définition
Valeur propre \(\lambda\) : il existe \(\vec v\ne\vec 0\) (vecteur propre) tel que \(A\vec v=\lambda\vec v\).
Formules à connaître
Déterminant
\[\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\]
\[\det\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}=aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi\quad(\text{Sarrus})\]
Inverse d'une matrice 2×2
\[A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\implies A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\]
Valeurs et vecteurs propres
\[\det(A-\lambda I)=0\qquad (A-\lambda_k I)\,\vec v=\vec 0\]
Propriétés utiles
- \((AB)^T=B^TA^T\), \(\;\det(AB)=\det(A)\det(B)\), \(\;\det(A^T)=\det(A)\).
- Produit non commutatif : \(AB\ne BA\) ; mais \(AI=IA=A\).
- Sarrus : sommer les diagonales descendantes (+) et retrancher les montantes (−).
Existence des solutions de \(AX=B\)
Théorème de Rouché–Fontené (\(A\) de taille \(m\times n\)) :
| Condition | Solutions |
|---|
| \(\text{rg}(A)\ne\text{rg}(A|B)\) | Aucune (incompatible) |
| \(\text{rg}(A)=\text{rg}(A|B)=n\) | Unique |
| \(\text{rg}(A)=\text{rg}(A|B)\lt n\) | Une infinité |
Méthodes
Méthode — Inverser par Gauss-Jordan
- Écrire le tableau augmenté \([A\,|\,I_n]\).
- Par opérations élémentaires sur les lignes, transformer la gauche en \(I_n\).
- La partie droite devient \(A^{-1}\) : \([A|I]\to[I|A^{-1}]\).
Méthode — Résoudre par Gauss
- Écrire la matrice augmentée \([A|B]\).
- Trianguler : éliminer les coefficients sous chaque pivot.
- Remonter (back-substitution) de la dernière ligne vers la première.
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Supposer \(AB=BA\).
✅ Le produit matriciel n'est pas commutatif : l'ordre des facteurs compte.
❌ Inverser une matrice de déterminant nul.
✅ Vérifier d'abord \(\det(A)\ne0\) avant de chercher \(A^{-1}\) ou d'appliquer Cramer.
❌ Oublier le signe « − » sur les diagonales montantes dans Sarrus.
✅ \(+aei+bfg+cdh\) puis \(-ceg-afh-bdi\).
❌ Multiplier deux matrices de tailles incompatibles.
✅ \(AB\) n'existe que si le nombre de colonnes de \(A\) = nombre de lignes de \(B\).