Exercices par capacités · BTS
Dernière mise à jour : 21 juin 2026
Soit \(A = \begin{pmatrix}2&-1\\3&0\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}1&4\\-2&5\end{pmatrix}\). Calculer \(A+B\) et \(3A - 2B\).
\(A+B = \begin{pmatrix}2+1&-1+4\\3-2&0+5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&3\\1&5\end{pmatrix}\)
\(3A = \begin{pmatrix}6&-3\\9&0\end{pmatrix}\), \(2B = \begin{pmatrix}2&8\\-4&10\end{pmatrix}\)
\(3A - 2B = \begin{pmatrix}6-2&-3-8\\9+4&0-10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4&-11\\13&-10\end{pmatrix}\)
Soit \(A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix}\). Calculer \(AB\) puis \(BA\). Le produit est-il commutatif ?
\(AB = \begin{pmatrix}1\cdot0+2\cdot(-1)&1\cdot1+2\cdot2\\3\cdot0+4\cdot(-1)&3\cdot1+4\cdot2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2&5\\-4&11\end{pmatrix}\)
\(BA = \begin{pmatrix}0\cdot1+1\cdot3&0\cdot2+1\cdot4\\-1\cdot1+2\cdot3&-1\cdot2+2\cdot4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&4\\5&6\end{pmatrix}\)
\(AB \ne BA\) : le produit matriciel n'est pas commutatif.
Soit \(A = \begin{pmatrix}1&0&2\\-1&3&1\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}2&1\\0&-1\\1&3\end{pmatrix}\). Le produit \(AB\) est-il défini ? Si oui, le calculer et préciser sa taille.
\(A\) est \(2\times3\), \(B\) est \(3\times2\). Le nombre de colonnes de \(A\) (3) égale le nombre de lignes de \(B\) (3) : \(AB\) est défini et de taille \(2\times2\).
\(AB = \begin{pmatrix}1\cdot2+0\cdot0+2\cdot1&1\cdot1+0\cdot(-1)+2\cdot3\\-1\cdot2+3\cdot0+1\cdot1&-1\cdot1+3\cdot(-1)+1\cdot3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4&7\\-1&-1\end{pmatrix}\)
Donner la transposée de \(A = \begin{pmatrix}1&4&-2\\0&3&5\end{pmatrix}\). La matrice \(S = \begin{pmatrix}2&-1\\-1&4\end{pmatrix}\) est-elle symétrique ?
\(A^T = \begin{pmatrix}1&0\\4&3\\-2&5\end{pmatrix}\) (échange lignes ↔ colonnes), taille \(3\times2\).
\(S^T = \begin{pmatrix}2&-1\\-1&4\end{pmatrix} = S\) : oui, \(S\) est symétrique (\(s_{ij}=s_{ji}\)).
Soit \(A = \begin{pmatrix}2&0\\1&-1\end{pmatrix}\). Calculer \(A^2\) puis \(A^3\).
\(A^2 = A\cdot A = \begin{pmatrix}2\cdot2+0\cdot1&2\cdot0+0\cdot(-1)\\1\cdot2+(-1)\cdot1&1\cdot0+(-1)(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4&0\\1&1\end{pmatrix}\)
\(A^3 = A^2\cdot A = \begin{pmatrix}4&0\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8&0\\3&-1\end{pmatrix}\)
Calculer les déterminants : \(\det\begin{pmatrix}3&-1\\2&5\end{pmatrix}\) et \(\det\begin{pmatrix}4&6\\2&3\end{pmatrix}\). Que peut-on dire de la seconde matrice ?
\(\det\begin{pmatrix}3&-1\\2&5\end{pmatrix} = 3\times5 - (-1)\times2 = 15+2 = 17\)
\(\det\begin{pmatrix}4&6\\2&3\end{pmatrix} = 4\times3 - 6\times2 = 12-12 = 0\)
Le déterminant est nul : cette matrice n'est pas inversible (ses lignes sont proportionnelles).
Calculer par la règle de Sarrus \(\det(A)\) avec \(A = \begin{pmatrix}2&1&-1\\1&3&2\\-1&1&3\end{pmatrix}\).
Sarrus : \(\det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi\)
Diagonales descendantes : \(2\cdot3\cdot3 + 1\cdot2\cdot(-1) + (-1)\cdot1\cdot1 = 18 - 2 - 1 = 15\)
Diagonales montantes : \((-1)\cdot3\cdot(-1) + 2\cdot2\cdot1 + 1\cdot1\cdot3 = 3 + 4 + 3 = 10\)
\(\det(A) = 15 - 10 = 5\)
Calculer \(\det(B)\) avec \(B = \begin{pmatrix}10&5&0\\3&8&2\\0&2&6\end{pmatrix}\) en développant selon la première colonne.
\(\det(B) = 10\begin{vmatrix}8&2\\2&6\end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix}5&0\\2&6\end{vmatrix} + 0\)
\(= 10(48-4) - 3(30-0) = 10\times44 - 3\times30 = 440 - 90 = 350\)
Soit \(A = \begin{pmatrix}2&1\\3&-1\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}1&-2\\0&3\end{pmatrix}\). Vérifier la propriété \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\).
\(\det(A) = 2\times(-1) - 1\times3 = -2-3 = -5\) ; \(\det(B) = 1\times3 - (-2)\times0 = 3\)
\(AB = \begin{pmatrix}2\cdot1+1\cdot0&2\cdot(-2)+1\cdot3\\3\cdot1+(-1)\cdot0&3\cdot(-2)+(-1)\cdot3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&-1\\3&-9\end{pmatrix}\)
\(\det(AB) = 2\times(-9) - (-1)\times3 = -18+3 = -15\)
\(\det(A)\det(B) = (-5)\times3 = -15 = \det(AB)\). Propriété vérifiée.
Pour quelle(s) valeur(s) du réel \(m\) la matrice \(A = \begin{pmatrix}m&2\\3&m\end{pmatrix}\) est-elle non inversible ?
\(A\) est non inversible \(\iff \det(A) = 0\).
\(\det(A) = m^2 - 6 = 0 \implies m^2 = 6 \implies m = \pm\sqrt{6}\).
Pour \(m = \sqrt{6}\) ou \(m = -\sqrt{6}\), la matrice n'est pas inversible.
Calculer l'inverse de \(A = \begin{pmatrix}3&1\\2&5\end{pmatrix}\) à l'aide de la formule du 2×2.
\(\det(A) = 3\times5 - 1\times2 = 13 \ne 0\) : \(A\) est inversible.
\(A^{-1} = \dfrac{1}{13}\begin{pmatrix}5&-1\\-2&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5/13&-1/13\\-2/13&3/13\end{pmatrix}\)
Calculer \(A^{-1}\) avec \(A = \begin{pmatrix}2&1\\3&-1\end{pmatrix}\), puis vérifier que \(A\,A^{-1} = I_2\).
\(\det(A) = -2-3 = -5\). \(A^{-1} = \dfrac{1}{-5}\begin{pmatrix}-1&-1\\-3&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/5&1/5\\3/5&-2/5\end{pmatrix}\)
Vérification : \(A\,A^{-1} = \begin{pmatrix}2&1\\3&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1/5&1/5\\3/5&-2/5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}(2+3)/5&(2-2)/5\\(3-3)/5&(3+2)/5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = I_2\). ✓
À l'aide de la méthode de Gauss-Jordan, calculer l'inverse de \(A = \begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&3\\0&0&2\end{pmatrix}\).
On part de \([A\,|\,I_3]\) et on transforme \(A\) en \(I_3\).
\(L_3 \leftarrow \tfrac12 L_3\) ; puis \(L_2 \leftarrow L_2 - 3L_3\) ; puis \(L_1 \leftarrow L_1 - 2L_2\).
On obtient : \(A^{-1} = \begin{pmatrix}1&-2&3\\0&1&-3/2\\0&0&1/2\end{pmatrix}\)
Vérification rapide : la 1re colonne de \(A\,A^{-1}\) est \(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\). ✓
Une matrice de transformation est \(M = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) (rotation de 90°). Calculer \(M^{-1}\) et interpréter géométriquement.
\(\det(M) = 0\times0 - (-1)\times1 = 1\). \(M^{-1} = \dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\)
\(M^{-1}\) est la matrice de rotation de \(-90°\) : c'est la transformation inverse, qui annule la rotation de 90°.
Résoudre par la méthode de Cramer : \(\begin{cases}3x+y=7\\x+2y=4\end{cases}\)
\(\det(A) = \begin{vmatrix}3&1\\1&2\end{vmatrix} = 6-1 = 5\)
\(\det(A_1) = \begin{vmatrix}7&1\\4&2\end{vmatrix} = 14-4 = 10\) ; \(\det(A_2) = \begin{vmatrix}3&7\\1&4\end{vmatrix} = 12-7 = 5\)
\(x = \dfrac{10}{5} = 2\) ; \(y = \dfrac{5}{5} = 1\). Solution : \((x,y) = (2,1)\).
Résoudre par la méthode de Gauss : \(\begin{cases}2x+y-z=8\\-3x-y+2z=-11\\-2x+y+2z=-3\end{cases}\)
Matrice augmentée, puis \(L_2 \leftarrow L_2 + \tfrac32 L_1\) et \(L_3 \leftarrow L_3 + L_1\), puis \(L_3 \leftarrow L_3 - 4L_2\).
On obtient la forme triangulaire donnant \(-z = 1\), donc \(z = -1\).
\(L_2\) : \(\tfrac12 y + \tfrac12(-1) = 1 \implies y = 3\).
\(L_1\) : \(2x + 3 - (-1) = 8 \implies 2x = 4 \implies x = 2\).
Solution : \((x,y,z) = (2,3,-1)\). Vérification \(L_1\) : \(2(2)+3-(-1)=8\). ✓
Un circuit à deux mailles conduit au système \(\begin{cases}6I_1 - 2I_2 = 20\\-2I_1 + 5I_2 = 10\end{cases}\) (intensités en A). Résoudre par Cramer et donner \(I_1\) et \(I_2\) à 0,01 A près.
\(\det(A) = 6\times5 - (-2)\times(-2) = 30 - 4 = 26\)
\(\det(A_1) = \begin{vmatrix}20&-2\\10&5\end{vmatrix} = 100+20 = 120\) ; \(I_1 = \dfrac{120}{26} \approx 4{,}62\) A
\(\det(A_2) = \begin{vmatrix}6&20\\-2&10\end{vmatrix} = 60+40 = 100\) ; \(I_2 = \dfrac{100}{26} \approx 3{,}85\) A
Vérification : \(6(120/26) - 2(100/26) = (720-200)/26 = 520/26 = 20\). ✓
Un système \(AX = B\) a une matrice \(A\) carrée d'ordre 3 avec \(\det(A) = 0\) et \(\text{rg}(A) = 2 = \text{rg}(A|B)\). Combien de solutions le système admet-il ? Justifier avec le théorème de Rouché-Fontené.
Ici \(n = 3\) inconnues. On a \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 2 < n = 3\).
D'après Rouché-Fontené, le système est compatible (rangs égaux) mais sous-déterminé : il admet une infinité de solutions (dépendant de \(3-2 = 1\) paramètre).
Déterminer les valeurs propres de \(A = \begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}\).
\(\det(A-\lambda I) = (4-\lambda)(3-\lambda) - 1\times2 = \lambda^2 - 7\lambda + 12 - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10\)
\(\Delta = 49 - 40 = 9\), \(\sqrt\Delta = 3\). \(\lambda_1 = \dfrac{7-3}{2} = 2\), \(\lambda_2 = \dfrac{7+3}{2} = 5\).
Pour la matrice \(A = \begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}\) (valeurs propres \(\lambda_1 = 2\), \(\lambda_2 = 5\)), déterminer un vecteur propre associé à chaque valeur propre.
\(\lambda_1 = 2\) : \((A-2I)\vec v = \vec0 \implies \begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}\vec v = \vec0 \implies 2v_1 + v_2 = 0\). Un vecteur propre : \(\vec v_1 = \begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\).
\(\lambda_2 = 5\) : \((A-5I)\vec v = \vec0 \implies \begin{pmatrix}-1&1\\2&-2\end{pmatrix}\vec v = \vec0 \implies -v_1 + v_2 = 0\). Un vecteur propre : \(\vec v_2 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\).
Déterminer les valeurs propres de \(M = \begin{pmatrix}5&-2\\2&1\end{pmatrix}\). La matrice est-elle diagonalisable ?
\(\det(M-\lambda I) = (5-\lambda)(1-\lambda) - (-2)\times2 = \lambda^2 - 6\lambda + 5 + 4 = \lambda^2 - 6\lambda + 9 = (\lambda-3)^2\)
Valeur propre double : \(\lambda = 3\).
\((M-3I)\vec v = \vec0 \implies \begin{pmatrix}2&-2\\2&-2\end{pmatrix}\vec v = \vec0 \implies v_1 = v_2\) : une seule direction propre \(\vec v = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\).
Une seule direction propre pour une valeur propre double : \(M\) n'est pas diagonalisable.
Déterminer les valeurs propres de la matrice \(B = \begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}\) en développant selon la première ligne.
\(\det(B-\lambda I) = (3-\lambda)\begin{vmatrix}2-\lambda&1\\1&2-\lambda\end{vmatrix} = (3-\lambda)\big[(2-\lambda)^2 - 1\big]\)
\((2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda-1)(\lambda-3)\)
\(\det(B-\lambda I) = (3-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-3) = -(\lambda-3)^2(\lambda-1)\)
Valeurs propres : \(\lambda_1 = 1\) (simple) et \(\lambda_2 = 3\) (double).