Matrices et systèmes linéaires | BTS | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Un bureau d'études calcule les charges \(F_1\) et \(F_2\) (en kN) supportées par deux poteaux d'un portique. Ces charges vérifient le système : \(\begin{cases}2F_1+3F_2=130\\F_1-F_2=10\end{cases}\)
1. Écrire ce système sous forme matricielle \(AX=B\). (1 pt)
2. Calculer \(\det(A)\). (1 pt)
3. Résoudre le système par la méthode de Cramer (on calculera \(\det(A_1)\) et \(\det(A_2)\)). (3 pts)
4. Vérifier la solution obtenue dans les deux équations de départ. (1 pt)
1. \(A=\begin{pmatrix}2&3\\1&-1\end{pmatrix}\), \(X=\begin{pmatrix}F_1\\F_2\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}130\\10\end{pmatrix}\)
2. \(\det(A)=2\times(-1)-3\times1=-2-3=-5\)
3. \(\det(A_1)=\begin{vmatrix}130&3\\10&-1\end{vmatrix}=-130-30=-160\), \(\quad F_1=\dfrac{-160}{-5}=32\)
\(\det(A_2)=\begin{vmatrix}2&130\\1&10\end{vmatrix}=20-130=-110\), \(\quad F_2=\dfrac{-110}{-5}=22\)
4. Vérification : \(2(32)+3(22)=64+66=130\) ✓ ; \(32-22=10\) ✓. Les charges sont \(F_1=32\,\text{kN}\) et \(F_2=22\,\text{kN}\).
Un réseau électrique comporte trois mailles couplées, de courants \(I_1, I_2, I_3\) (en ampères). L'application des lois de Kirchhoff conduit au système matriciel \(RI=E\) avec :
\[ R=\begin{pmatrix}6&-2&0\\-2&5&-1\\0&-1&3\end{pmatrix}, \qquad E=\begin{pmatrix}18\\5\\3\end{pmatrix} \]Réseau à trois mailles couplées : \(R_1=4\,\Omega\), \(R_{c1}=2\,\Omega\), \(R_2=2\,\Omega\), \(R_{c2}=1\,\Omega\), \(R_3=2\,\Omega\).
1. Résoudre ce système par la méthode de Gauss (on donnera la matrice augmentée puis les étapes d'élimination). (4 pts)
2. Donner les valeurs de \(I_1\), \(I_2\) et \(I_3\), puis vérifier la solution. (2 pts)
1. Matrice augmentée \([R|E]\) :
| 6 | -2 | 0 | 18 |
| -2 | 5 | -1 | 5 |
| 0 | -1 | 3 | 3 |
Pour éviter les fractions, on combine les lignes par des multiples entiers : \(L_2\leftarrow 3L_2+L_1\) : \(3\times(-2,5,-1,|,5)+(6,-2,0,|,18)=(0,13,-3,|,33)\)
| 6 | -2 | 0 | 18 |
| 0 | 13 | -3 | 33 |
| 0 | -1 | 3 | 3 |
\(L_3\leftarrow 13L_3+L_2\) : \(13\times(0,-1,3,|,3)+(0,13,-3,|,33)=(0,0,36,|,72)\)
| 6 | -2 | 0 | 18 |
| 0 | 13 | -3 | 33 |
| 0 | 0 | 36 | 72 |
2. Remonter :
\(L_3\) : \(36\,I_3=72\implies I_3=2\,\text{A}\)
\(L_2\) : \(13I_2-3(2)=33\implies13I_2=39\implies I_2=3\,\text{A}\)
\(L_1\) : \(6I_1-2(3)=18\implies6I_1=24\implies I_1=4\,\text{A}\)
Vérification : \(6(4)-2(3)=18\) ✓ ; \(-2(4)+5(3)-2=-8+15-2=5\) ✓ ; \(-3+3(2)=3\) ✓
Un technicien en CFAO fait tourner un point \(P(4\,;0)\) d'un angle de \(120°\) autour de l'origine.
Rotation de \(120°\) du point \(P(4\,;0)\) autour de l'origine. La distance à l'origine est conservée.
1. Écrire la matrice de rotation \(R_{120°}\) (on donnera les valeurs exactes de \(\cos120°\) et \(\sin120°\)). (1 pt)
2. Calculer les coordonnées exactes du point \(P'\), image de \(P\) par cette rotation. (2 pts)
3. Vérifier que \(\|OP'\|=\|OP\|\). (1 pt)
1. \(\cos120°=-\dfrac12\), \(\sin120°=\dfrac{\sqrt3}{2}\), donc \(R_{120°}=\begin{pmatrix}-1/2&-\sqrt3/2\\\sqrt3/2&-1/2\end{pmatrix}\)
2. \(P'=R_{120°}\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1/2\times4\\\sqrt3/2\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\sqrt3\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}-2\\3{,}46\end{pmatrix}\)
3. \(\|OP\|=\sqrt{4^2+0^2}=4\). \(\|OP'\|=\sqrt{(-2)^2+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4\) ✓ — la rotation conserve les distances.
Un système mécanique à deux degrés de liberté est modélisé par la matrice \(M=\begin{pmatrix}7&-2\\-4&5\end{pmatrix}\).
1. Déterminer l'équation caractéristique de \(M\) et calculer ses valeurs propres. (2 pts)
2. Déterminer un vecteur propre associé à chacune des valeurs propres. (2 pts)
1. \(\det(M-\lambda I)=(7-\lambda)(5-\lambda)-8=\lambda^2-12\lambda+27=0\)
\[ \Delta=144-108=36 \implies \lambda_1=\frac{12-6}{2}=3,\quad \lambda_2=\frac{12+6}{2}=9 \]2. Pour \(\lambda_1=3\) : \((M-3I)\vec v=\vec 0\implies\begin{pmatrix}4&-2\\-4&2\end{pmatrix}\vec v=\vec0\implies4v_1-2v_2=0\implies\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\)
Pour \(\lambda_2=9\) : \((M-9I)\vec v=\vec0\implies\begin{pmatrix}-2&-2\\-4&-4\end{pmatrix}\vec v=\vec0\implies-2v_1-2v_2=0\implies\vec v_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\)