Chapitre 15 – Calcul vectoriel

BTS | Mathématiques | Groupements B1, C1

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Objectifs du chapitre :

Définir un vecteur dans l'espace, connaître ses coordonnées et calculer sa norme
Effectuer les opérations vectorielles : addition, soustraction, produit par un scalaire
Calculer et interpréter le produit scalaire (angle entre vecteurs, orthogonalité)
Calculer et interpréter le produit vectoriel (moment d'une force, normale à un plan)
Maîtriser le produit mixte et son interprétation volumique (coplanarité)
Écrire les équations paramétriques et cartésiennes de droites et plans dans l'espace
Appliquer le calcul vectoriel à la statique : résultante de forces, moment, barycentre
(B1) Comprendre la notion de matrice de rotation comme transformation linéaire

Situation professionnelle

Équilibre d'un treillis métallique et assemblage bois

Un bureau d'études structures analyse un treillis métallique de toiture industrielle. Chaque nœud du treillis est soumis à plusieurs forces : poids des pannes, charge de neige, réactions d'appui. Pour vérifier l'équilibre statique du nœud, le technicien doit calculer la résultante vectorielle de toutes ces forces ; elle doit être nulle.

Dans le même atelier, un agenceur bois conçoit une charpente à trois pans. Il doit déterminer l'équation du plan de chaque versant à partir de trois points de contour, puis calculer l'angle d'about de chaque chevron grâce au produit scalaire.

Enfin, un ingénieur en génie civil modélise le moment d'un bras de levier sur un boulon de serrage : \(\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\). Ce produit vectoriel donne l'axe de rotation et l'intensité du moment.

Ces trois situations font appel au calcul vectoriel dans l'espace.

1. Vecteurs dans l'espace

1.1 Définition et représentation

Définition — Vecteur
Un vecteur \(\vec{u}\) est un objet mathématique caractérisé par :

une direction (la droite qui le porte),
un sens (l'orientation sur cette droite),
une norme (ou module) \(\|\vec{u}\|\), nombre réel positif ou nul.

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.

Définition — Vecteur \(\overrightarrow{AB}\)
Soient \(A\) et \(B\) deux points de l'espace. Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est le vecteur de direction \((AB)\), de sens de \(A\) vers \(B\), et de norme \(AB\). \[\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\]

1.2 Repère orthonormé de l'espace

Définition — Base orthonormée et repère
Un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) de l'espace est formé :

d'un point origine \(O\),
de trois vecteurs unitaires \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) deux à deux orthogonaux et formant un trièdre direct.

Tout vecteur \(\vec{u}\) s'écrit de façon unique : \[\vec{u} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j} + z\,\vec{k}\] On note alors \(\vec{u} = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) ou \(\vec{u}(x\,;\,y\,;\,z)\).

Propriété — Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\)
Si \(A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B\,;\,z_B)\), alors : \[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A\end{pmatrix}\]

1.3 Norme d'un vecteur

Définition — Norme
La norme (ou module) du vecteur \(\vec{u} = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) est : \[\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\]

\[\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\]

Exemple — Longueur d'une barre de treillis

Dans un treillis métallique, deux noeuds ont pour coordonnées \(A(1\,;\,2\,;\,0)\) et \(B(4\,;\,6\,;\,3)\) (en mètres).

Le vecteur barre : \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\4\\3\end{pmatrix}\).

Longueur de la barre : \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{9+16+9} = \sqrt{34} \approx 5{,}83\) m.

1.4 Vecteur unitaire

Définition — Vecteur unitaire
Un vecteur est dit unitaire (ou normé) si sa norme vaut 1. Le vecteur unitaire de même sens que \(\vec{u} \neq \vec{0}\) est : \[\hat{u} = \frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} = \frac{1}{\|\vec{u}\|}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\]

Exemple

Pour \(\vec{u} = \begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\), on a \(\|\vec{u}\| = 5\), donc \(\hat{u} = \begin{pmatrix}0{,}6\\0{,}8\\0\end{pmatrix}\).

Le vecteur unitaire indique la direction d'une force sans son intensité.

Mini-exercice 1

Coordonnées et normes

On donne les points \(P(2\,;\,-1\,;\,4)\) et \(Q(5\,;\,3\,;\,1)\) dans un repère orthonormé.

1) Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{PQ}\).

2) Calculer \(\|\overrightarrow{PQ}\|\). Donner une valeur exacte puis une valeur approchée au centième.

3) Déterminer le vecteur unitaire \(\hat{u}\) de même sens que \(\overrightarrow{PQ}\).

1) \(\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix}5-2\\3-(-1)\\1-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\4\\-3\end{pmatrix}\).

2) \(\|\overrightarrow{PQ}\| = \sqrt{9+16+9} = \sqrt{34} \approx 5{,}83\).

3) \(\hat{u} = \dfrac{1}{\sqrt{34}}\begin{pmatrix}3\\4\\-3\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}0{,}514\\0{,}686\\-0{,}514\end{pmatrix}\).

2. Opérations vectorielles

2.1 Addition et soustraction

Propriété — Addition de vecteurs
Si \(\vec{u} = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}\), alors : \[\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix}x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2\end{pmatrix}\] La relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).

Exemple — Résultante de deux forces

Un noeud d'un treillis est soumis à deux forces :

\(\vec{F_1} = \begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}\) kN et \(\vec{F_2} = \begin{pmatrix}-1\\5\\2\end{pmatrix}\) kN.

Résultante : \(\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = \begin{pmatrix}2\\3\\3\end{pmatrix}\) kN.

Norme : \(\|\vec{R}\| = \sqrt{4+9+9} = \sqrt{22} \approx 4{,}69\) kN.

2.2 Multiplication par un scalaire

Propriété — Produit par un scalaire
Pour \(\lambda \in \mathbb{R}\) et \(\vec{u} = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) : \[\lambda\,\vec{u} = \begin{pmatrix}\lambda x\\\lambda y\\\lambda z\end{pmatrix}\] Si \(\lambda > 0\) : même sens ; si \(\lambda < 0\) : sens opposé ; si \(\lambda = 0\) : vecteur nul.
Colinéarité : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement si \(\vec{v} = \lambda\,\vec{u}\) pour un réel \(\lambda\).

2.3 Combinaison linéaire

Définition — Combinaison linéaire
Une combinaison linéaire de vecteurs \(\vec{u_1}, \vec{u_2}, \ldots, \vec{u_n}\) est un vecteur de la forme : \[\vec{w} = \alpha_1\,\vec{u_1} + \alpha_2\,\vec{u_2} + \cdots + \alpha_n\,\vec{u_n} \quad (\alpha_i \in \mathbb{R})\]

Propriété — Coplanarité par combinaison linéaire
Trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) sont coplanaires si et seulement si l'un d'eux est combinaison linéaire des deux autres : \[\vec{w} = \alpha\,\vec{u} + \beta\,\vec{v}\]

Mini-exercice 2

Opérations vectorielles

On donne \(\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\), \(\vec{b} = \begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}\), \(\vec{c} = \begin{pmatrix}5\\2\\4\end{pmatrix}\).

1) Calculer \(2\vec{a} - \vec{b}\).

2) Trouver \(\alpha, \beta\) tels que \(\vec{c} = \alpha\,\vec{a} + \beta\,\vec{b}\), ou conclure que c'est impossible.

1) \(2\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix}4\\-2\\6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-6\\8\end{pmatrix}\).

2) On résout \(\alpha\vec{a} + \beta\vec{b} = \vec{c}\) :
\(2\alpha + \beta = 5\), \(-\alpha + 4\beta = 2\), \(3\alpha - 2\beta = 4\).
De la 1re : \(\beta = 5 - 2\alpha\). Dans la 2e : \(-\alpha + 4(5-2\alpha) = 2 \Rightarrow -9\alpha = -18 \Rightarrow \alpha = 2\), \(\beta = 1\).
Vérification (3e équation) : \(3 \times 2 - 2 \times 1 = 4\) ✓. Donc \(\vec{c} = 2\vec{a} + \vec{b}\).

3. Produit scalaire

3.1 Définition géométrique

Définition — Produit scalaire (géométrique)
Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le réel : \[\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta\] où \(\theta = (\vec{u},\vec{v})\) est l'angle entre les deux vecteurs (\(0 \leq \theta \leq \pi\)).

Attention
Le produit scalaire est un nombre réel (scalaire), pas un vecteur. Il peut être positif, nul ou négatif selon l'angle \(\theta\).

3.2 Définition algébrique

Propriété — Calcul en coordonnées
Si \(\vec{u} = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}\) dans une base orthonormée : \[\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\]

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\]

3.3 Propriétés du produit scalaire

Propriétés algébriques

Symétrie : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)
Bilinéarité : \((\alpha\vec{u} + \beta\vec{v}) \cdot \vec{w} = \alpha(\vec{u} \cdot \vec{w}) + \beta(\vec{v} \cdot \vec{w})\)
Norme : \(\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2\)
Identité remarquable : \(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2\)

3.4 Angle entre deux vecteurs

Méthode — Calculer l'angle entre deux vecteurs
On utilise la formule : \[\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}\] puis \(\theta = \arccos\!\left(\dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}\right)\).

Exemple — Angle d'about d'un chevron

Un agenceur bois doit tailler l'extrémité d'un chevron porté par \(\vec{u} = \begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}\) pour qu'il s'appuie sur une sablière portée par \(\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\).

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3\).

\(\|\vec{u}\| = \sqrt{9+16+1} = \sqrt{26}\), \(\|\vec{v}\| = 1\).

\(\cos\theta = \dfrac{3}{\sqrt{26}} \approx 0{,}588\), donc \(\theta \approx 54{,}0°\).

L'angle d'about (coupe) est \(90° - 54° = 36°\).

3.5 Orthogonalité

Propriété — Orthogonalité
Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si : \[\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\] Ce qui équivaut à \(\theta = 90°\).

Exemple

\(\vec{u} = \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\5\\1\end{pmatrix}\).

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 - 5 + 3 = 0\). Les vecteurs sont orthogonaux.

Mini-exercice 3

Produit scalaire et angle

Soient \(\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{b} = \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\).

1) Calculer \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).

2) Calculer \(\|\vec{a}\|\) et \(\|\vec{b}\|\).

3) En déduire l'angle \(\theta = (\vec{a},\vec{b})\) en degrés.

1) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 + 0 - 4 = 0\). Les vecteurs sont orthogonaux.

2) \(\|\vec{a}\| = \sqrt{1+4+4} = 3\) ; \(\|\vec{b}\| = \sqrt{16+0+4} = 2\sqrt{5}\).

3) \(\cos\theta = 0\) donc \(\theta = 90°\). Cohérent avec la nullité du produit scalaire.

4. Produit vectoriel

4.1 Définition

Définition — Produit vectoriel
Le produit vectoriel \(\vec{u} \times \vec{v}\) de deux vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}\) est le vecteur : \[\vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} y_1 z_2 - z_1 y_2 \\ z_1 x_2 - x_1 z_2 \\ x_1 y_2 - y_1 x_2 \end{pmatrix}\]

\[\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2\end{vmatrix}\]

Méthode — Développement par cofacteurs
Pour calculer le produit vectoriel composante par composante :

Composante \(i\) : \(y_1 z_2 - z_1 y_2\) (on supprime la 1re colonne)
Composante \(j\) : \(-(x_1 z_2 - z_1 x_2) = z_1 x_2 - x_1 z_2\) (signe moins !)
Composante \(k\) : \(x_1 y_2 - y_1 x_2\) (on supprime la 3e colonne)

4.2 Propriétés

Propriétés du produit vectoriel

Anticommutativité : \(\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}\)
Bilinéarité : \((\alpha\vec{u}) \times \vec{v} = \alpha(\vec{u} \times \vec{v})\)
Orthogonalité : \(\vec{u} \times \vec{v}\) est orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\)
Auto-produit nul : \(\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}\)
Colinéarité : \(\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}\) si et seulement si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires

4.3 Norme du produit vectoriel — Interprétation géométrique

Propriété — Norme et aire
\[\|\vec{u} \times \vec{v}\| = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,|\sin\theta|\] où \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

Interprétation : \(\|\vec{u} \times \vec{v}\|\) est l'aire du parallélogramme construit sur \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). L'aire du triangle \(OAB\) correspondant est \(\dfrac{1}{2}\|\vec{u} \times \vec{v}\|\).

4.4 Règle de la main droite (trièdre direct)

Méthode — Sens du produit vectoriel
Dans un repère orthonormé direct, le sens de \(\vec{u} \times \vec{v}\) se détermine par la règle de la main droite :

L'index pointe dans la direction de \(\vec{u}\),
Le majeur dans la direction de \(\vec{v}\),
Le pouce indique le sens de \(\vec{u} \times \vec{v}\).

Formules de base : \(\vec{i}\times\vec{j} = \vec{k}\), \(\vec{j}\times\vec{k} = \vec{i}\), \(\vec{k}\times\vec{i} = \vec{j}\).

Le produit vectoriel \(\vec{u}\times\vec{v}\) est orthogonal au plan engendré par \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ; sa norme égale l'aire du parallélogramme (gris). Son sens suit la règle de la main droite.

4.5 Application : moment d'une force

Définition — Moment d'une force
Le moment de la force \(\vec{F}\) par rapport à un point \(O\) est le vecteur : \[\vec{M}_O(\vec{F}) = \overrightarrow{OP} \times \vec{F}\] où \(P\) est un point d'application de \(\vec{F}\).
La norme \(\|\vec{M}_O\| = d \times \|\vec{F}\|\) avec \(d\) = distance de \(O\) à la droite d'action.
L'unité SI est le newton-mètre (N·m).

Moment de la force \(\vec{F}\) (appliquée en \(P\)) par rapport au point \(O\) : \(\vec{M}_O = \overrightarrow{OP}\times\vec{F}\), vecteur orthogonal au plan \((\overrightarrow{OP},\vec{F})\) porté par l'axe de rotation.

Exemple — Serrage d'un boulon en génie civil

Un technicien exerce une force \(\vec{F} = \begin{pmatrix}0\\50\\0\end{pmatrix}\) N à l'extrémité d'une clé de longueur \(\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix}0{,}25\\0\\0\end{pmatrix}\) m.

\(\vec{M}_O = \begin{pmatrix}0{,}25\\0\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\50\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \cdot 0 - 0 \cdot 50\\ 0 \cdot 0 - 0{,}25 \cdot 0\\ 0{,}25 \cdot 50 - 0 \cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\12{,}5\end{pmatrix}\) N·m.

Le moment est de \(12{,}5\) N·m, axé selon \(\vec{k}\) (sens de serrage).

Mini-exercice 4

Produit vectoriel et normale à un plan

Un plan est défini par deux vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}\).

1) Calculer \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\).

2) Vérifier que \(\vec{n}\) est bien orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\).

3) Calculer l'aire du parallélogramme engendré par \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

1) \(\vec{n} = \begin{pmatrix}2 \cdot 3 - 0 \cdot 1\\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 3\\ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\-3\\1\end{pmatrix}\).

2) \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 6 \cdot 1 + (-3) \cdot 2 + 1 \cdot 0 = 6 - 6 = 0\) ✓ ; \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 6 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 + 1 \cdot 3 = -3 + 3 = 0\) ✓.

3) \(\|\vec{n}\| = \sqrt{36+9+1} = \sqrt{46} \approx 6{,}78\). Aire = \(\sqrt{46} \approx 6{,}78\) u².

5. Produit mixte

5.1 Définition

Définition — Produit mixte
Le produit mixte de trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) est le scalaire : \[[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})\] En coordonnées, si \(\vec{u} = (a_1,a_2,a_3)\), \(\vec{v} = (b_1,b_2,b_3)\), \(\vec{w} = (c_1,c_2,c_3)\) : \[[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = \begin{vmatrix}a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3\end{vmatrix}\]

\[[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = a_1(b_2 c_3 - b_3 c_2) - a_2(b_1 c_3 - b_3 c_1) + a_3(b_1 c_2 - b_2 c_1)\]

5.2 Interprétation géométrique

Propriété — Volume du parallélépipède
La valeur absolue du produit mixte est le volume du parallélépipède construit sur \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) : \[V = |[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\] Le volume du tétraèdre correspondant est \(V_T = \dfrac{1}{6}|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\).

Propriété — Coplanarité
Trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) sont coplanaires si et seulement si : \[[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = 0\]

Exemple — Volume d'un élément de charpente

Trois arêtes issues d'un noeud de charpente :

\(\vec{u} = \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{v} = \begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{w} = \begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}\) (en mètres).

\([\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = \begin{vmatrix}2&0&0\\0&3&0\\1&1&4\end{vmatrix} = 2(3 \cdot 4 - 0 \cdot 1) - 0 + 0 = 24.\)

Volume du parallélépipède : \(V = 24\) m³. Volume du tétraèdre : \(V_T = 4\) m³.

Mini-exercice 5

Coplanarité par produit mixte

Déterminer si les vecteurs \(\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\), \(\vec{b} = \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{c} = \begin{pmatrix}5\\5\\0\end{pmatrix}\) sont coplanaires.

\([\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = \begin{vmatrix}1&2&-1\\3&1&2\\5&5&0\end{vmatrix}\)

\(= 1(1\cdot0-2\cdot5) - 2(3\cdot0-2\cdot5) + (-1)(3\cdot5-1\cdot5)\) \(= 1(-10) - 2(-10) + (-1)(10)\) \(= -10 + 20 - 10 = 0.\)

Le produit mixte est nul : les trois vecteurs sont coplanaires.

6. Droites et plans dans l'espace

6.1 Équation paramétrique d'une droite

Définition — Droite paramétrique
La droite \(\mathcal{D}\) passant par \(A(x_0,y_0,z_0)\) de vecteur directeur \(\vec{d} = \begin{pmatrix}l\\m\\n\end{pmatrix}\) a pour équation paramétrique : \[\begin{cases}x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + nt\end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\]

Propriété — Représentation cartésienne
Si \(l\), \(m\), \(n\) sont tous non nuls : \[\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}\]

Exemple — Axe d'un tuyau en génie civil

Un tuyau passe par \(A(1,2,3)\) avec vecteur directeur \(\vec{d} = \begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}\).

Équation paramétrique : \(\begin{cases}x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 4t\end{cases}\)

Vérification que \(B(5, 0, 11) \in \mathcal{D}\) : \(x=5 \Rightarrow t=2\) ; \(y=2-2=0\) ✓ ; \(z=3+8=11\) ✓.

6.2 Équation cartésienne d'un plan

Définition — Équation cartésienne d'un plan
Un plan \(\mathcal{P}\) de vecteur normal \(\vec{n} = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) passant par \(A(x_0,y_0,z_0)\) a pour équation : \[a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0\] que l'on réécrit : \(ax + by + cz + d = 0\) avec \(d = -ax_0 - by_0 - cz_0\).

Méthode — Plan passant par trois points
Pour déterminer l'équation du plan \(\mathcal{P}\) passant par trois points non alignés \(A\), \(B\), \(C\) :

Former les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
Calculer le vecteur normal \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\).
Écrire l'équation \(a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A) = 0\).
Vérifier avec les trois points.

Exemple — Plan d'un versant de toiture

Points du bord d'un versant : \(A(0,0,3)\), \(B(4,0,1)\), \(C(4,6,1)\).

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}\).

\(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}0 \cdot (-2) - (-2) \cdot 6\\ (-2) \cdot 4 - 4 \cdot (-2)\\ 4 \cdot 6 - 0 \cdot 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12\\0\\24\end{pmatrix} \parallel \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}.\)

Équation : \(1(x-0)+0(y-0)+2(z-3)=0\), soit \(x + 2z = 6\).

6.3 Intersection droite/plan

Méthode — Intersection d'une droite et d'un plan

Substituer les expressions paramétriques \(x(t)\), \(y(t)\), \(z(t)\) dans l'équation cartésienne du plan.
Résoudre en \(t\).
Injecter la valeur de \(t\) dans les équations paramétriques pour obtenir le point.

Exemple

Droite : \(x = 1+2t\), \(y = 2-t\), \(z = 3+4t\). Plan : \(x + 2z = 6\).

Substitution : \((1+2t) + 2(3+4t) = 6 \Rightarrow 7 + 10t = 6 \Rightarrow t = -0{,}1\).

Intersection : \(I(0{,}8\,;\,2{,}1\,;\,2{,}6)\).

Mini-exercice 6

Équation d'un plan en agencement bois

Un agenceur bois identifie trois coins d'un panneau oblique : \(A(1,0,2)\), \(B(3,1,0)\), \(C(0,2,1)\).

Trouver l'équation cartésienne du plan contenant ce panneau.

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}\).

\(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}1 \cdot (-1) - (-2) \cdot 2\\ (-2) \cdot (-1) - 2 \cdot (-1)\\ 2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}.\)

Équation : \(3(x-1)+4(y-0)+5(z-2)=0\), soit \(3x+4y+5z = 13\).

Vérification : \(A: 3+0+10=13\) ✓ ; \(B: 9+4+0=13\) ✓ ; \(C: 0+8+5=13\) ✓.

7. Applications mécaniques

7.1 Résultante de forces

Définition — Résultante
La résultante d'un système de forces \(\vec{F_1}, \vec{F_2}, \ldots, \vec{F_n}\) est la somme vectorielle : \[\vec{R} = \sum_{i=1}^{n} \vec{F_i}\] Le système est en équilibre statique si et seulement si \(\vec{R} = \vec{0}\).

Exemple — Noeud d'un treillis métallique

Un noeud est soumis à trois forces (en kN) :

\(\vec{F_1} = \begin{pmatrix}5\\0\\-3\end{pmatrix}\), \(\vec{F_2} = \begin{pmatrix}-2\\4\\1\end{pmatrix}\), \(\vec{F_3} = \begin{pmatrix}-3\\-4\\2\end{pmatrix}\).

\(\vec{R} = \begin{pmatrix}5-2-3\\0+4-4\\-3+1+2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\). Le noeud est en équilibre.

7.2 Moment résultant

Propriété — Moment résultant
Le moment résultant en un point \(O\) d'un système de forces est : \[\vec{M}_O = \sum_{i=1}^n \overrightarrow{OP_i} \times \vec{F_i}\] L'équilibre d'un solide requiert simultanément \(\vec{R} = \vec{0}\) et \(\vec{M}_O = \vec{0}\).

7.3 Barycentre (centre de gravité)

Définition — Barycentre
Le barycentre de \(n\) points \(A_i\) affectés de coefficients (masses ou charges) \(\lambda_i > 0\) est le point \(G\) vérifiant : \[\sum_{i=1}^n \lambda_i \overrightarrow{GA_i} = \vec{0}\] Ses coordonnées : \[x_G = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i x_{A_i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i}, \quad y_G = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i y_{A_i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i}, \quad z_G = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i z_{A_i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i}\]

Exemple — Centre de gravité d'une ferme de charpente

Trois noeuds chargés :

\(A(0,0,0)\) : \(\lambda_A = 10\) kN ; \(B(6,0,0)\) : \(\lambda_B = 15\) kN ; \(C(3,0,4)\) : \(\lambda_C = 5\) kN.

\(\Sigma \lambda_i = 30\) kN.

\(x_G = \dfrac{0+90+15}{30} = 3{,}5\) m ; \(y_G = 0\) m ; \(z_G = \dfrac{0+0+20}{30} \approx 0{,}67\) m.

Centre de gravité : \(G(3{,}5\,;\,0\,;\,0{,}67)\).

Mini-exercice 7

Équilibre d'un noeud de treillis

Un noeud est soumis à quatre forces (kN). Trois sont connues :

\(\vec{F_1} = \begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}\), \(\vec{F_2} = \begin{pmatrix}-1\\4\\1\end{pmatrix}\), \(\vec{F_3} = \begin{pmatrix}0\\-2\\3\end{pmatrix}\).

Déterminer \(\vec{F_4}\) pour que le noeud soit en équilibre, et calculer \(\|\vec{F_4}\|\).

L'équilibre impose \(\vec{F_4} = -(\vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3}) = -\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\-2\\-2\end{pmatrix}\) kN.

\(\|\vec{F_4}\| = \sqrt{4+4+4} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\) kN.

8. Matrices de rotation (groupement B1)

8.1 Transformation linéaire

Définition — Application linéaire
Une application \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) est linéaire si pour tous vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et tout scalaire \(\lambda\) : \[f(\vec{u} + \vec{v}) = f(\vec{u}) + f(\vec{v}) \quad \text{et} \quad f(\lambda\,\vec{u}) = \lambda\,f(\vec{u})\] Dans une base fixée, toute transformation linéaire est représentée par une matrice \(3 \times 3\).

Définition — Matrice de rotation
Une matrice de rotation \(R\) est une matrice \(3 \times 3\) orthogonale directe : \[R^\top R = I_3 \quad \text{et} \quad \det(R) = +1\] Elle conserve les normes (distances) et les orientations.

8.2 Rotations autour des axes de coordonnées

Propriété — Matrices de rotation élémentaires
Rotation d'angle \(\theta\) autour de l'axe \(Oz\) : \[R_z(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\] Rotation d'angle \(\theta\) autour de l'axe \(Ox\) : \[R_x(\theta) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\] Rotation d'angle \(\theta\) autour de l'axe \(Oy\) : \[R_y(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & 0 & \sin\theta\\ 0 & 1 & 0\\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta\end{pmatrix}\]

8.3 Application d'une rotation

Méthode — Image d'un vecteur par rotation
Pour calculer l'image \(\vec{v} = R\,\vec{u}\) : \[\vec{v} = R \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\] On effectue le produit matrice–vecteur (chaque composante est le produit scalaire d'une ligne de \(R\) par \(\vec{u}\)).

Exemple — Bras robotique CNC

Un bras robotique de découpe CNC pivote de \(90°\) autour de l'axe \(Oz\). Vecteur outil initial : \(\vec{u} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\).

\[R_z(90°) = \begin{pmatrix}0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

\[\vec{v} = R_z(90°)\,\vec{u} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\]

Après rotation de 90° autour de \(Oz\), l'axe \(\vec{x}\) devient l'axe \(\vec{y}\). Norme conservée : \(\|\vec{v}\| = 1 = \|\vec{u}\|\) ✓.

8.4 Composition de rotations

Propriété — Composition
La composée de deux rotations \(R_1\) puis \(R_2\) est : \[R = R_2 \cdot R_1\] Le produit de deux matrices de rotation est encore une matrice de rotation.

Attention — Non-commutativité
En général \(R_2 R_1 \neq R_1 R_2\). L'ordre des rotations successives autour d'axes différents est important.

Mini-exercice 8

Rotation d'un vecteur

Soit \(\vec{u} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). Calculer l'image de \(\vec{u}\) par la rotation \(R_z(45°)\).

Rappel : \(\cos 45° = \sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\).

\[R_z(45°) = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

\[\vec{v} = R_z(45°)\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ \sqrt{2}\\ 0\end{pmatrix}\]

Interprétation : \(\vec{u}(1,1,0)\) fait 45° avec l'axe \(\vec{x}\) ; après rotation de 45° autour de \(Oz\), il coïncide avec \(\vec{y}\). Norme conservée : \(\|(1,1,0)\| = \sqrt{2} = \|(0,\sqrt{2},0)\|\) ✓.

Synthèse du chapitre

À retenir — Calcul vectoriel dans l'espace

Objet	Formule clé	Type de résultat
Norme	\(\\|\vec{u}\\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\)	Scalaire \(\geq 0\)
Produit scalaire	\(\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\)	Scalaire
Angle	\(\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\\|\vec{u}\\|\\|\vec{v}\\|}\)	\(\theta \in [0;\pi]\)
Produit vectoriel	\(\vec{u}\times\vec{v} = (y_1z_2-z_1y_2,\;z_1x_2-x_1z_2,\;x_1y_2-y_1x_2)\)	Vecteur \(\perp\vec{u}\) et \(\vec{v}\)
Produit mixte	\([\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\)	Scalaire ; 0 si coplanaires
Moment d'une force	\(\vec{M}_O = \overrightarrow{OP}\times\vec{F}\)	Vecteur (N·m)
Plan (vecteur normal)	\(ax+by+cz+d=0\), \(\vec{n}=(a,b,c)\)	Équation scalaire
Rotation (axe \(Oz\))	\(R_z(\theta)\) matrice \(3\times3\), \(R^\top R = I_3\)	Conserve les normes

Exercice bilan — Analyse d'un noeud de treillis

Exercice bilan

Treillis métallique de toiture industrielle

Un bureau d'études analyse le noeud \(N\) d'un treillis métallique. Les coordonnées sont en mètres dans un repère orthonormé.

Trois barres convergent en \(N(2\,;\,1\,;\,3)\) ; leurs autres extrémités sont :

\(A(5\,;\,1\,;\,3)\) — barre horizontale selon \(\vec{x}\)
\(B(2\,;\,4\,;\,3)\) — barre verticale selon \(\vec{y}\)
\(C(2\,;\,1\,;\,7)\) — barre montante selon \(\vec{z}\)

Les efforts dans les barres sont : \(F_A = 12\) kN (traction), \(F_B = 8\) kN (compression), \(F_C = 6\) kN (traction).

Partie 1 — Vecteurs directeurs unitaires

1) Calculer \(\overrightarrow{NA}\), \(\overrightarrow{NB}\), \(\overrightarrow{NC}\) et leurs normes.

2) Déterminer les vecteurs unitaires \(\hat{u}_A\), \(\hat{u}_B\), \(\hat{u}_C\).

Partie 2 — Résultante des forces

3) En traction, la force est orientée de \(N\) vers l'extrémité ; en compression, de l'extrémité vers \(N\). Exprimer \(\vec{F_A}\), \(\vec{F_B}\), \(\vec{F_C}\).

4) Calculer la résultante \(\vec{R}\) et sa norme. Conclure sur l'équilibre.

Partie 3 — Orthogonalité et angles

5) Montrer que les barres \(NA\), \(NB\), \(NC\) sont deux à deux orthogonales.

6) Calculer l'angle entre la résultante \(\vec{R}\) et la barre \(NA\).

Partie 4 — Plan du treillis (B1)

7) Déterminer l'équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\) contenant \(N\), \(A\) et \(B\).

8) Le point \(C\) appartient-il à \(\mathcal{P}\) ? Interpréter.

1) \(\overrightarrow{NA} = \begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\|\overrightarrow{NA}\| = 3\) m ;
\(\overrightarrow{NB} = \begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}\), \(\|\overrightarrow{NB}\| = 3\) m ;
\(\overrightarrow{NC} = \begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\), \(\|\overrightarrow{NC}\| = 4\) m.

2) \(\hat{u}_A = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\hat{u}_B = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\), \(\hat{u}_C = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). (Ce sont les vecteurs de la base orthonormée — ce treillis est aligné sur les axes.)

3) Traction \(A\) (sens \(N\to A\)) : \(\vec{F_A} = 12\,\hat{u}_A = \begin{pmatrix}12\\0\\0\end{pmatrix}\) kN.
Compression \(B\) (sens \(B\to N\)) : \(\vec{F_B} = 8 \times (-\hat{u}_B) = \begin{pmatrix}0\\-8\\0\end{pmatrix}\) kN.
Traction \(C\) (sens \(N\to C\)) : \(\vec{F_C} = 6\,\hat{u}_C = \begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}\) kN.

4) \(\vec{R} = \begin{pmatrix}12\\-8\\6\end{pmatrix}\) kN. \(\|\vec{R}\| = \sqrt{144+64+36} = \sqrt{244} = 2\sqrt{61} \approx 15{,}62\) kN.
La résultante est non nulle : le noeud n'est pas en équilibre. Une quatrième barre ou une réaction d'appui \(-\vec{R}\) est nécessaire.

5) \(\overrightarrow{NA} \cdot \overrightarrow{NB} = 0+0+0 = 0\) ✓ ;
\(\overrightarrow{NA} \cdot \overrightarrow{NC} = 0+0+0 = 0\) ✓ ;
\(\overrightarrow{NB} \cdot \overrightarrow{NC} = 0+0+0 = 0\) ✓.
Les trois barres sont mutuellement orthogonales (elles portent les axes du repère).

6) \(\vec{R} \cdot \overrightarrow{NA} = 12 \times 3 + (-8) \times 0 + 6 \times 0 = 36\).
\(\|\vec{R}\| = 2\sqrt{61}\), \(\|\overrightarrow{NA}\| = 3\).
\(\cos\alpha = \dfrac{36}{3 \times 2\sqrt{61}} = \dfrac{6}{\sqrt{61}} \approx 0{,}768\), donc \(\alpha \approx 39{,}8°\).

7) \(\overrightarrow{NA} = \begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{NB} = \begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}\).
\(\vec{n} = \overrightarrow{NA} \times \overrightarrow{NB} = \begin{pmatrix}0\\0\\9\end{pmatrix} \parallel \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\).
Équation : \(0(x-2)+0(y-1)+1(z-3) = 0\), soit \(\boxed{z = 3}\).

8) \(C(2,1,7)\) : \(z_C = 7 \neq 3\). Le point \(C\) n'appartient pas au plan \(z=3\).
Interprétation : la barre \(NC\) est perpendiculaire au plan du treillis formé par \(N\), \(A\), \(B\). C'est une barre hors-plan (contreventement ou bielle), ce qui est cohérent avec \(\hat{u}_C = \vec{k} \perp \mathcal{P}\).