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Interrogation — Ch15 : Calcul vectoriel

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

Repère orthonormé direct \((O\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\). Toutes les coordonnées sont données dans ce repère.

Exercice 1 — Vecteur, norme, vecteur unitaire (4 pts)

On donne les points \(A(1, 2, 2)\) et \(B(3, 6, 5)\) (en mètres), nœuds d'un treillis.

  1. Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\). (1 pt)
  2. Calculer la norme \(\|\overrightarrow{AB}\|\) (valeur exacte puis approchée au centième). (1,5 pt)
  3. Déterminer le vecteur unitaire \(\hat{u}\) de même sens que \(\overrightarrow{AB}\). (1,5 pt)

Exercice 2 — Produit scalaire et angle (4 pts)

Soient \(\vec{u} = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\).

  1. Calculer le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\). (1 pt)
  2. Calculer \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\). (1,5 pt)
  3. En déduire l'angle \(\theta = (\vec{u}, \vec{v})\) en degrés (arrondi au dixième). (1,5 pt)

Exercice 3 — Produit vectoriel et moment d'une force (4 pts)

Un technicien exerce une force \(\vec{F} = \begin{pmatrix}0\\80\\0\end{pmatrix}\) N à l'extrémité d'une clé représentée par \(\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix}0{,}3\\0\\0\end{pmatrix}\) m.

  1. Calculer le moment \(\vec{M}_O = \overrightarrow{OP} \times \vec{F}\). (2,5 pts)
  2. Donner la norme du moment et préciser son axe. (1,5 pt)

Exercice 4 — Produit mixte et coplanarité (4 pts)

Trois arêtes issues d'un nœud de charpente : \(\vec{u} = \begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{v} = \begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{w} = \begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}\) (en mètres).

  1. Calculer le produit mixte \([\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]\). (2 pts)
  2. En déduire le volume du parallélépipède puis du tétraèdre construits sur ces vecteurs. (1,5 pt)
  3. Les trois vecteurs sont-ils coplanaires ? Justifier. (0,5 pt)

Exercice 5 — Équilibre d'un nœud et barycentre (4 pts)

Partie A. Un nœud de treillis est soumis à trois forces connues (kN) : \(\vec{F_1} = \begin{pmatrix}4\\1\\-2\end{pmatrix}\), \(\vec{F_2} = \begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}\), \(\vec{F_3} = \begin{pmatrix}-1\\-2\\3\end{pmatrix}\).

  1. Déterminer la force \(\vec{F_4}\) qui assure l'équilibre du nœud, puis calculer \(\|\vec{F_4}\|\). (2,5 pts)

Partie B. Deux nœuds chargés : \(A(0,0,0)\) avec \(\lambda_A = 20\) kN et \(B(6,0,0)\) avec \(\lambda_B = 4\) kN.

  1. Déterminer l'abscisse \(x_G\) du barycentre \(G\). (1,5 pt)

Correction

Exercice 1 (4 pts)

a) \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3-1\\6-2\\5-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}\). (1 pt)

b) \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29} \approx 5{,}39\) m. (1,5 pt)

c) \(\hat{u} = \dfrac{1}{\sqrt{29}}\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}0{,}371\\0{,}743\\0{,}557\end{pmatrix}\). (1,5 pt)

Exercice 2 (4 pts)

a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2\times1 + 1\times(-2) + 2\times2 = 2 - 2 + 4 = 4\). (1 pt)

b) \(\|\vec{u}\| = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3\) ; \(\|\vec{v}\| = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\). (1,5 pt)

c) \(\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} = \dfrac{4}{3 \times 3} = \dfrac{4}{9} \approx 0{,}444\), donc \(\theta = \arccos(0{,}444) \approx 63{,}6°\). (1,5 pt)

Exercice 3 (4 pts)

a) \[\vec{M}_O = \begin{pmatrix}0{,}3\\0\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\80\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\times0 - 0\times80\\ 0\times0 - 0{,}3\times0\\ 0{,}3\times80 - 0\times0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\24\end{pmatrix} \text{ N·m}\] (2,5 pts)

b) \(\|\vec{M}_O\| = 24\) N·m, vecteur porté par l'axe \(\vec{k}\) (\(Oz\)), qui est l'axe de rotation (sens de serrage). (1,5 pt)

Exercice 4 (4 pts)

a) \[[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix}3&0&0\\0&2&0\\1&1&5\end{vmatrix} = 3(2\times5 - 0\times1) - 0 + 0 = 3 \times 10 = 30\] (2 pts)

b) Volume du parallélépipède : \(V = |[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]| = 30\) m³. Volume du tétraèdre : \(V_T = \dfrac{1}{6} \times 30 = 5\) m³. (1,5 pt)

c) Le produit mixte vaut \(30 \neq 0\) : les trois vecteurs ne sont pas coplanaires. (0,5 pt)

Exercice 5 (4 pts)

a) L'équilibre impose \(\vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3}+\vec{F_4} = \vec{0}\). \(\vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3} = \begin{pmatrix}4-1-1\\1+3-2\\-2+1+3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\), donc \(\vec{F_4} = -\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\-2\\-2\end{pmatrix}\) kN. \(\|\vec{F_4}\| = \sqrt{4+4+4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\) kN. (2,5 pts)

b) \(x_G = \dfrac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B}{\lambda_A + \lambda_B} = \dfrac{20\times0 + 4\times6}{20 + 4} = \dfrac{24}{24} = 1\) m. (1,5 pt)

Total : 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 points.