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Fiche résumé – Calcul vectoriel

Chapitre 15 | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

Produit vectoriel — figure

u v u×v
\(\vec{u}\times\vec{v}\) orthogonal au plan ; norme = aire du parallélogramme

Définitions clés

Définition

Vecteur \(\overrightarrow{AB}\) : coordonnées \((x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)\) ; norme \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\).

Définition

Produit scalaire : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta = x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\) (un réel).

Définition

Produit vectoriel : \(\vec{u}\times\vec{v}\), vecteur orthogonal à \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), de norme \(\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,|\sin\theta|\), sens donné par la règle de la main droite.

Définition

Moment d'une force : \(\vec{M}_O(\vec{F}) = \overrightarrow{OP}\times\vec{F}\), en N·m.

Formules à connaître

Produit scalaire — angle et orthogonalité \[\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} \qquad \vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0\]
Produit vectoriel (coordonnées) \[\vec{u}\times\vec{v} = \begin{pmatrix} y_1z_2 - z_1y_2 \\ z_1x_2 - x_1z_2 \\ x_1y_2 - y_1x_2 \end{pmatrix}\]

Aire du parallélogramme : \(\|\vec{u}\times\vec{v}\|\) ; aire du triangle : \(\tfrac{1}{2}\|\vec{u}\times\vec{v}\|\). Anticommutatif : \(\vec{u}\times\vec{v} = -\vec{v}\times\vec{u}\).

Produit mixte — volume et coplanarité \[[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = \begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}\] \[V_{\text{parallélépipède}} = |[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]| \qquad V_{\text{tétraèdre}} = \tfrac{1}{6}|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\]

Coplanaires \(\iff [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = 0\).

Droite et plan dans l'espace \[\text{Droite} : \begin{cases}x = x_0 + lt\\ y = y_0 + mt\\ z = z_0 + nt\end{cases} \qquad \text{Plan} : ax+by+cz+d=0\]

Plan par 3 points : \(\vec{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\), puis \(a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0\).

Statique et barycentre \[\vec{R} = \sum_{i=1}^n \vec{F_i} = \vec{0} \quad (\text{équilibre}) \qquad \vec{M}_O = \sum_i \overrightarrow{OP_i}\times\vec{F_i} = \vec{0}\] \[x_G = \frac{\sum \lambda_i x_{A_i}}{\sum \lambda_i} \quad (\text{idem } y_G,\ z_G)\]
Matrices de rotation 3×3 (groupement B1) \[R_z(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

Orthogonale directe : \(R^\top R = I_3\), \(\det(R)=+1\) ; conserve normes et orientations.

Les trois produits — récapitulatif

ProduitRésultatNul si…Sert à
Scalaire \(\vec{u}\cdot\vec{v}\)réel\(\vec{u}\perp\vec{v}\)angle, orthogonalité
Vectoriel \(\vec{u}\times\vec{v}\)vecteur\(\vec{u}\parallel\vec{v}\)normale, aire, moment
Mixte \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\)réelcoplanairesvolume, coplanarité

Méthode — Plan passant par 3 points

Méthode Équation cartésienne du plan \((ABC)\)
  1. Former les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
  2. Calculer la normale \(\vec{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\).
  3. Écrire \(a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0\).
  4. Vérifier avec les trois points \(A\), \(B\), \(C\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Croire que le produit scalaire donne un vecteur.

✅ Le produit scalaire est un réel ; le produit vectoriel donne un vecteur.

❌ Oublier le signe « − » de la composante \(j\) du produit vectoriel.

✅ Composante \(j\) : \(z_1x_2 - x_1z_2\) (attention au signe lors du développement).

❌ Penser que \(\vec{u}\times\vec{v} = \vec{v}\times\vec{u}\).

✅ Le produit vectoriel est anticommutatif : \(\vec{u}\times\vec{v} = -\vec{v}\times\vec{u}\).

❌ Conclure à l'équilibre d'un solide avec \(\vec{R}=\vec{0}\) seulement.

✅ L'équilibre exige aussi le moment résultant nul : \(\vec{M}_O = \vec{0}\).