Calcul vectoriel | BTS | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Dans un atelier de charpente métallique, une poutre relie les points \(A(0\,;\,1\,;\,2)\) et \(B(3\,;\,5\,;\,14)\) (coordonnées en mètres).
1) Déterminer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
2) Calculer la longueur de la poutre. Donner la valeur exacte.
1) \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3-0\\5-1\\14-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\4\\12\end{pmatrix}\).
2) \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2+4^2+12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13\).
La poutre mesure exactement \(13\) m.
Un câble de grue de chantier est porté par le vecteur \(\vec v = \begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\) (composantes en mètres).
1) Calculer \(\|\vec v\|\).
2) En déduire le vecteur unitaire \(\hat v\) donnant la direction du câble, indépendamment de sa longueur.
1) \(\|\vec v\| = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7\).
2) \(\hat v = \dfrac{1}{7}\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}0{,}286\\0{,}429\\0{,}857\end{pmatrix}\).
Le déplacement d'un bras robotisé s'obtient par combinaison de deux mouvements élémentaires \(\vec a = \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec b = \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\). On souhaite atteindre le déplacement \(\vec c = \begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}\).
Déterminer des réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\vec c = \alpha\,\vec a + \beta\,\vec b\), ou justifier que c'est impossible.
Le système \(\alpha\vec a+\beta\vec b=\vec c\) donne :
\(\alpha+2\beta=4\) ; \(2\alpha-\beta=3\) ; \(-\alpha+3\beta=1\).
De la 1re équation : \(\alpha = 4-2\beta\). Dans la 2e : \(2(4-2\beta)-\beta=3 \Rightarrow 8-5\beta=3 \Rightarrow \beta=1\), donc \(\alpha=2\).
Vérification (3e équation) : \(-2+3\times1=1\) ✓. Donc \(\vec c = 2\vec a + \vec b\) : le déplacement s'obtient en combinant deux fois le premier mouvement et une fois le second.
Un technicien de maintenance vérifie l'alignement de deux rails de guidage d'une machine-outil.
1) Le rail 1 est porté par \(\vec u = \begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}\), le rail 2 par \(\vec v = \begin{pmatrix}-3\\6\\-9\end{pmatrix}\). Les deux rails sont-ils parallèles ?
2) Un troisième rail est porté par \(\vec w = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\) et un quatrième par \(\vec z = \begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}\). Sont-ils parallèles ?
1) On cherche \(k\) tel que \(\vec v = k\,\vec u\) : \(\frac{-3}{2}=\frac{6}{-4}=\frac{-9}{6}=-1{,}5\). Le rapport est constant (\(k=-1{,}5\)) : \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires, les rails 1 et 2 sont parallèles.
2) \(\frac{2}{1}=2\) ; \(\frac{4}{2}=2\) ; \(\frac{5}{3}\approx1{,}667\). Le troisième rapport diffère des deux premiers : \(\vec w\) et \(\vec z\) ne sont pas colinéaires, les rails 3 et 4 ne sont pas parallèles.
Un plombier chauffagiste doit brasser deux tronçons de tuyauterie portés par \(\vec u = \begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec v = \begin{pmatrix}0\\5\\12\end{pmatrix}\) (en cm).
1) Calculer \(\vec u \cdot \vec v\).
2) Calculer \(\|\vec u\|\) et \(\|\vec v\|\).
3) En déduire l'angle \(\theta\) entre les deux tronçons, arrondi au dixième de degré.
1) \(\vec u\cdot\vec v = 4\times0+0\times5+3\times12 = 36\).
2) \(\|\vec u\| = \sqrt{16+0+9}=\sqrt{25}=5\) ; \(\|\vec v\| = \sqrt{0+25+144}=\sqrt{169}=13\).
3) \(\cos\theta = \dfrac{36}{5\times13} = \dfrac{36}{65} \approx 0{,}554\), donc \(\theta \approx 56{,}4°\).
Un technicien de maintenance doit vérifier qu'un vérin hydraulique porté par \(\vec u = \begin{pmatrix}3\\-2\\6\end{pmatrix}\) est bien perpendiculaire au rail de guidage porté par \(\vec v = \begin{pmatrix}4\\9\\1\end{pmatrix}\).
Calculer \(\vec u \cdot \vec v\) et conclure.
\(\vec u\cdot\vec v = 3\times4+(-2)\times9+6\times1 = 12-18+6 = 0\).
Le produit scalaire est nul : le vérin est bien orthogonal au rail de guidage.
Un treuil de chantier exerce sur une charge la force \(\vec F = \begin{pmatrix}120\\0\\-50\end{pmatrix}\) N pendant un déplacement \(\vec d = \begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}\) m (déplacement incliné, la charge descend légèrement en avançant).
Rappel : le travail d'une force constante lors d'un déplacement \(\vec d\) vaut \(W = \vec F \cdot \vec d\) (en joules).
Calculer le travail \(W\) de la force \(\vec F\).
\(W = \vec F \cdot \vec d = 120\times3 + 0\times0 + (-50)\times(-1) = 360+0+50 = 410\).
Le travail de la force est \(W = 410\) J.
On donne \(\vec u = \begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\) et \(\vec v = \begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}\).
1) Calculer \(\vec u \times \vec v\).
2) Vérifier que ce vecteur est orthogonal à \(\vec u\) et à \(\vec v\).
3) Calculer sa norme (valeur exacte puis approchée au centième).
1) \(\vec u\times\vec v = \begin{pmatrix}1\times2-(-3)\times4\\ (-3)\times1-2\times2\\ 2\times4-1\times1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2+12\\-3-4\\8-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14\\-7\\7\end{pmatrix}\).
2)
\(\vec u\cdot(\vec u\times\vec v) = 2\times14+1\times(-7)+(-3)\times7 = 28-7-21 = 0\) ✓ ;
\(\vec v\cdot(\vec u\times\vec v) = 1\times14+4\times(-7)+2\times7 = 14-28+14 = 0\) ✓.
3) \(\|\vec u\times\vec v\| = \sqrt{14^2+(-7)^2+7^2} = \sqrt{196+49+49} = \sqrt{294} = 7\sqrt{6} \approx 17{,}15\).
Un panneau solaire en forme de parallélogramme est engendré par les vecteurs \(\vec u = \begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec v = \begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}\) (en mètres), issus d'un même coin du panneau.
Calculer l'aire du panneau.
\(\vec u\times\vec v = \begin{pmatrix}0\times2-1\times4\\1\times0-3\times2\\3\times4-0\times0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\-6\\12\end{pmatrix}\).
\(\|\vec u\times\vec v\| = \sqrt{16+36+144} = \sqrt{196} = 14\).
L'aire du panneau (parallélogramme) est \(14\) m².
Un technicien de maintenance serre un boulon avec une clé dynamométrique. Le bras de la clé, depuis l'axe de serrage \(O\), est \(\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix}0{,}4\\0\\0\end{pmatrix}\) m. La force exercée en \(P\) est \(\vec F = \begin{pmatrix}0\\80\\60\end{pmatrix}\) N (main qui pousse obliquement, vers le haut et de côté).
1) Calculer le moment \(\vec M_O = \overrightarrow{OP}\times\vec F\).
2) Calculer \(\|\vec M_O\|\).
1) \(\vec M_O = \begin{pmatrix}0\times60-0\times80\\ 0\times0-0{,}4\times60\\ 0{,}4\times80-0\times0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-24\\32\end{pmatrix}\) N·m.
2) \(\|\vec M_O\| = \sqrt{0+576+1024} = \sqrt{1600} = 40\). Le moment de serrage vaut \(40\) N·m.
Trois arêtes issues d'un même sommet d'un caisson de charpente sont \(\vec u = \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec v = \begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec w = \begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}\) (en mètres).
1) Calculer le produit mixte \([\vec u,\vec v,\vec w]\).
2) En déduire le volume du parallélépipède, puis celui du tétraèdre correspondant.
1) \([\vec u,\vec v,\vec w] = \begin{vmatrix}2&0&0\\0&3&0\\1&1&5\end{vmatrix} = 2(3\times5-0\times1) - 0 + 0 = 30.\)
2) Volume du parallélépipède : \(V=30\) m³. Volume du tétraèdre : \(V_T = \dfrac{30}{6} = 5\) m³.
Un ingénieur structure vérifie la disposition de trois câbles de haubanage d'un mât, portés par \(\vec a = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\), \(\vec b = \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec c = \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}\).
Pour assurer la stabilité latérale du mât, les trois câbles ne doivent pas être coplanaires.
1) Calculer le produit mixte \([\vec a,\vec b,\vec c]\).
2) Conclure sur la stabilité de l'ancrage.
1) \(\vec b\times\vec c = \begin{pmatrix}1\times3-(-1)\times1\\(-1)\times2-0\times3\\0\times1-1\times2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-2\\-2\end{pmatrix}\).
\([\vec a,\vec b,\vec c] = \vec a\cdot(\vec b\times\vec c) = 1\times4+0\times(-2)+2\times(-2) = 4-4 = 0\).
2) Le produit mixte est nul : les trois câbles sont coplanaires. La stabilité latérale du mât n'est pas assurée : il faut réorienter l'un des câbles hors du plan des deux autres.
L'axe d'un vérin télescopique passe par le point \(A(2\,;\,-1\,;\,3)\) et a pour vecteur directeur \(\vec d = \begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\) (coordonnées en dm).
1) Écrire une équation paramétrique de l'axe du vérin.
2) Calculer \(\|\vec d\|\).
3) Le point \(B(5\,;\,5\,;\,-3)\) appartient-il à cet axe ?
1) \(\begin{cases}x = 2+t\\ y=-1+2t\\ z=3-2t\end{cases}\quad(t\in\mathbb{R})\).
2) \(\|\vec d\| = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3\) dm.
3) \(x=5 \Rightarrow t=3\). On vérifie : \(y=-1+2\times3=5\) ✓ ; \(z=3-2\times3=-3\) ✓. Le point \(B\) appartient bien à l'axe (pour \(t=3\)).
Un charpentier relève trois points du bord d'un versant de toiture : \(A(0\,;\,0\,;\,4)\), \(B(6\,;\,0\,;\,1)\), \(C(6\,;\,8\,;\,1)\) (coordonnées en mètres).
1) Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
2) En déduire un vecteur normal \(\vec n\) au plan du versant.
3) Déterminer l'équation cartésienne du plan.
1) \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}6\\0\\-3\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}6\\8\\-3\end{pmatrix}\).
2) \(\vec n = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}0\times(-3)-(-3)\times8\\(-3)\times6-6\times(-3)\\6\times8-0\times6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}24\\0\\48\end{pmatrix} \parallel \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}.\)
3) En prenant \(\vec n=(1;0;2)\) et le point \(A(0,0,4)\) :
\(1(x-0)+0(y-0)+2(z-4)=0\), soit \(\boxed{x+2z=8}\).
Vérification : \(B\) : \(6+2=8\) ✓ ; \(C\) : \(6+2=8\) ✓.
Un câble électrique traverse la charpente de l'exercice précédent (plan \(x+2z=8\)). Il passe par le point \(D(1\,;\,3\,;\,0)\) et a pour vecteur directeur \(\vec e = \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\).
1) Écrire l'équation paramétrique du câble.
2) Déterminer le point de percement \(I\) du câble à travers le plan de toiture.
1) \(\begin{cases}x=1+2s\\ y=3-s\\ z=3s\end{cases}\quad(s\in\mathbb{R})\).
2) On substitue dans \(x+2z=8\) : \((1+2s)+2(3s)=8 \Rightarrow 1+8s=8 \Rightarrow s=\dfrac{7}{8}=0{,}875\).
D'où \(x=1+2\times0{,}875=2{,}75\) ; \(y=3-0{,}875=2{,}125\) ; \(z=3\times0{,}875=2{,}625\).
Le câble traverse le plan au point \(I(2{,}75\,;\,2{,}125\,;\,2{,}625)\).
Un bureau d'études vérifie l'équilibre d'un nœud \(N\) d'un treillis métallique plan, soumis à quatre forces (en kN, dans le plan \((x\,;\,y)\)) :
\(\vec F_1 = \begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}\), \(\vec F_2 = \begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}\), \(\vec F_3 = \begin{pmatrix}-4\\-7\end{pmatrix}\), \(\vec F_4 = \begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}\).
1) Calculer la résultante \(\vec R = \vec F_1+\vec F_2+\vec F_3+\vec F_4\).
2) Le nœud est-il en équilibre ?
1) \(\vec R = \begin{pmatrix}10-3-4-3\\0+4-7+3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\).
2) La résultante est nulle : le nœud est en équilibre statique.
Un portique de levage est modélisé par un point d'appui \(O\). Deux charges verticales s'exercent :
en \(P_1(2\,;\,0\,;\,0)\) : \(\vec F_1 = \begin{pmatrix}0\\0\\50\end{pmatrix}\) N (vers le haut) ; en \(P_2(0\,;\,3\,;\,0)\) : \(\vec F_2 = \begin{pmatrix}0\\0\\-50\times0{,}6\end{pmatrix}\) N, soit \(\vec F_2 = \begin{pmatrix}0\\0\\-30\end{pmatrix}\) N (vers le bas).
1) Calculer le moment \(\vec M_1 = \overrightarrow{OP_1}\times\vec F_1\) et \(\vec M_2 = \overrightarrow{OP_2}\times\vec F_2\).
2) Calculer le moment résultant \(\vec M_O = \vec M_1+\vec M_2\) et sa norme.
3) L'équilibre en rotation autour de \(O\) est-il assuré ?
1) \(\vec M_1 = \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\50\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\times50-0\times0\\0\times0-2\times50\\2\times0-0\times0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-100\\0\end{pmatrix}\) N·m.
\(\vec M_2 = \begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\-30\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\times(-30)-0\times0\\0\times0-0\times(-30)\\0\times0-3\times0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-90\\0\\0\end{pmatrix}\) N·m.
2) \(\vec M_O = \begin{pmatrix}-90\\-100\\0\end{pmatrix}\) N·m. \(\|\vec M_O\| = \sqrt{90^2+100^2} = \sqrt{8100+10000} = \sqrt{18100} = 10\sqrt{181} \approx 134{,}5\) N·m.
3) Le moment résultant est non nul : l'équilibre en rotation n'est pas assuré. Un moment de réaction de \(134{,}5\) N·m, opposé à \(\vec M_O\), doit être fourni par l'encastrement en \(O\).
Une ferme métallique porte trois charges ponctuelles : \(A(0\,;\,0\,;\,0)\) avec \(\lambda_A=20\) kN, \(B(8\,;\,0\,;\,0)\) avec \(\lambda_B=12\) kN, \(C(2\,;\,6\,;\,0)\) avec \(\lambda_C=8\) kN.
Déterminer les coordonnées du centre de gravité (barycentre) \(G\) de ces trois charges.
\(\Sigma\lambda_i = 20+12+8 = 40\) kN.
\(x_G = \dfrac{20\times0+12\times8+8\times2}{40} = \dfrac{0+96+16}{40} = \dfrac{112}{40} = 2{,}8\).
\(y_G = \dfrac{20\times0+12\times0+8\times6}{40} = \dfrac{48}{40} = 1{,}2\).
\(z_G = 0\).
Centre de gravité : \(G(2{,}8\,;\,1{,}2\,;\,0)\).
Un centre d'usinage CNC oriente son outil, initialement porté par \(\vec u = \begin{pmatrix}4\\0\\2\end{pmatrix}\), par une rotation de \(60°\) autour de l'axe \(Oz\).
Rappel : \(\cos 60° = 0{,}5\) ; \(\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\).
1) Écrire la matrice \(R_z(60°)\).
2) Calculer le vecteur image \(\vec v = R_z(60°)\,\vec u\).
3) Vérifier que la norme est conservée.
1) \(R_z(60°) = \begin{pmatrix}0{,}5 & -0{,}866 & 0\\ 0{,}866 & 0{,}5 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\).
2) \(\vec v = \begin{pmatrix}4\times0{,}5-0\times0{,}866\\4\times0{,}866+0\times0{,}5\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\3{,}464\\2\end{pmatrix}\) (soit exactement \(\begin{pmatrix}2\\2\sqrt3\\2\end{pmatrix}\)).
3) \(\|\vec u\| = \sqrt{16+0+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt5 \approx 4{,}472\).
\(\|\vec v\| = \sqrt{4+12+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt5 \approx 4{,}472\). La norme est bien conservée ✓ (propriété des matrices de rotation).