Exercices par capacités · BTS
Dernière mise à jour : 21 juin 2026
On donne \(A(1, 2, -1)\) et \(B(4, 6, 3)\). Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et sa norme.
\(\overrightarrow{AB} = (4-1,\ 6-2,\ 3-(-1)) = (3, 4, 4)\).
\(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \approx 6{,}40\).
Soient \(\vec{u} = (2, -1, 3)\) et \(\vec{v} = (1, 4, -2)\). Calculer \(\vec{u} + \vec{v}\), \(3\vec{u} - 2\vec{v}\).
\(\vec{u} + \vec{v} = (2+1,\ -1+4,\ 3-2) = (3, 3, 1)\).
\(3\vec{u} = (6, -3, 9)\) et \(2\vec{v} = (2, 8, -4)\), donc \(3\vec{u} - 2\vec{v} = (6-2,\ -3-8,\ 9+4) = (4, -11, 13)\).
Déterminer le vecteur unitaire de même sens que \(\vec{u} = (2, -2, 1)\).
\(\|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt 9 = 3\).
\(\hat{u} = \dfrac{1}{3}(2, -2, 1) = \left(\dfrac{2}{3}, -\dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{3}\right) \approx (0{,}667,\ -0{,}667,\ 0{,}333)\).
Les vecteurs \(\vec{u} = (1, -2, 3)\) et \(\vec{v} = (-2, 4, -6)\) sont-ils colinéaires ? Justifier.
On cherche \(\lambda\) tel que \(\vec{v} = \lambda\vec{u}\) : \(-2 = \lambda\times 1 \Rightarrow \lambda = -2\).
Vérification : \(\lambda\times(-2) = 4\) ✓ et \(\lambda\times 3 = -6\) ✓.
Donc \(\vec{v} = -2\,\vec{u}\) : les vecteurs sont colinéaires (de sens opposés).
Calculer le produit scalaire de \(\vec{u} = (3, -1, 2)\) et \(\vec{v} = (4, 5, -1)\).
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\times 4 + (-1)\times 5 + 2\times(-1) = 12 - 5 - 2 = 5\).
Montrer que \(\vec{u} = (2, 3, -1)\) et \(\vec{v} = (1, -1, -1)\) sont orthogonaux.
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\times 1 + 3\times(-1) + (-1)\times(-1) = 2 - 3 + 1 = 0\).
Le produit scalaire est nul : les deux vecteurs sont orthogonaux.
Calculer l'angle \(\theta\) entre \(\vec{a} = (1, 2, 2)\) et \(\vec{b} = (2, 0, 0)\).
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\times 2 + 2\times 0 + 2\times 0 = 2\).
\(\|\vec{a}\| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3\), \(\|\vec{b}\| = \sqrt{4} = 2\).
\(\cos\theta = \dfrac{2}{3\times 2} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333\), donc \(\theta = \arccos(0{,}333) \approx 70{,}5°\).
Un chevron est porté par \(\vec{u} = (4, 3, 0)\) et une sablière par \(\vec{v} = (1, 0, 0)\). Calculer l'angle entre les deux, puis l'angle d'about (coupe) défini par \(90° - \theta\).
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = 4\). \(\|\vec{u}\| = \sqrt{16 + 9} = 5\), \(\|\vec{v}\| = 1\).
\(\cos\theta = \dfrac{4}{5\times 1} = 0{,}8\), donc \(\theta = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}9°\).
Angle d'about : \(90° - 36{,}9° = 53{,}1°\).
Calculer le produit vectoriel \(\vec{u}\times\vec{v}\) pour \(\vec{u} = (1, 2, 0)\) et \(\vec{v} = (0, 1, 3)\).
\(\vec{u}\times\vec{v} = \begin{pmatrix} y_1 z_2 - z_1 y_2 \\ z_1 x_2 - x_1 z_2 \\ x_1 y_2 - y_1 x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\times 3 - 0\times 1 \\ 0\times 0 - 1\times 3 \\ 1\times 1 - 2\times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\).
Pour \(\vec{u} = (1, 2, 0)\) et \(\vec{v} = (0, 1, 3)\), on a trouvé \(\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v} = (6, -3, 1)\). Vérifier que \(\vec{n}\) est orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\), puis calculer l'aire du parallélogramme engendré par \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
\(\vec{n}\cdot\vec{u} = 6\times 1 + (-3)\times 2 + 1\times 0 = 6 - 6 = 0\) ✓.
\(\vec{n}\cdot\vec{v} = 6\times 0 + (-3)\times 1 + 1\times 3 = -3 + 3 = 0\) ✓.
Aire du parallélogramme : \(\|\vec{n}\| = \sqrt{36 + 9 + 1} = \sqrt{46} \approx 6{,}78\) u².
Calculer l'aire du triangle \(ABC\) avec \(A(0,0,0)\), \(B(2,0,0)\), \(C(0,3,0)\) en utilisant le produit vectoriel.
\(\overrightarrow{AB} = (2, 0, 0)\), \(\overrightarrow{AC} = (0, 3, 0)\).
\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (0\times 0 - 0\times 3,\ 0\times 0 - 2\times 0,\ 2\times 3 - 0\times 0) = (0, 0, 6)\).
Aire du triangle : \(\dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\| = \dfrac{1}{2}\times 6 = 3\) u².
Un technicien exerce une force \(\vec{F} = (0, 80, 0)\) N à l'extrémité d'une clé représentée par \(\overrightarrow{OP} = (0{,}30, 0, 0)\) m. Calculer le moment \(\vec{M}_O = \overrightarrow{OP}\times\vec{F}\) et sa norme.
\(\vec{M}_O = \begin{pmatrix} 0\times 0 - 0\times 80 \\ 0\times 0 - 0{,}30\times 0 \\ 0{,}30\times 80 - 0\times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 24 \end{pmatrix}\) N·m.
\(\|\vec{M}_O\| = 24\) N·m, axé selon \(\vec{k}\) (sens de serrage). On retrouve \(d\times\|\vec{F}\| = 0{,}30\times 80 = 24\) N·m.
Calculer le produit mixte \([\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]\) pour \(\vec{u} = (3, 0, 0)\), \(\vec{v} = (0, 2, 0)\), \(\vec{w} = (1, 1, 5)\).
\([\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 5 \end{vmatrix} = 3(2\times 5 - 0\times 1) - 0 + 0 = 3\times 10 = 30\).
Calculer le volume du parallélépipède construit sur \(\vec{u} = (2, 1, 0)\), \(\vec{v} = (1, 3, 0)\), \(\vec{w} = (0, 0, 4)\), puis le volume du tétraèdre correspondant.
\([\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}\). En développant selon la 3ᵉ colonne : \(= 4\times(2\times 3 - 1\times 1) = 4\times 5 = 20\).
Volume du parallélépipède : \(V = |20| = 20\) u³.
Volume du tétraèdre : \(V_T = \dfrac{1}{6}\times 20 = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33\) u³.
Déterminer si les vecteurs \(\vec{a} = (1, 2, -1)\), \(\vec{b} = (2, -1, 3)\), \(\vec{c} = (4, 3, 1)\) sont coplanaires.
\([\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix}\).
\(= 1((-1)\times 1 - 3\times 3) - 2(2\times 1 - 3\times 4) + (-1)(2\times 3 - (-1)\times 4)\)
\(= 1(-1 - 9) - 2(2 - 12) - 1(6 + 4) = -10 - 2(-10) - 10 = -10 + 20 - 10 = 0\).
Le produit mixte est nul : les vecteurs sont coplanaires.
Déterminer si les vecteurs \(\vec{a} = (1, 0, 1)\), \(\vec{b} = (0, 1, 1)\), \(\vec{c} = (1, 1, 0)\) sont coplanaires.
\([\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}\).
\(= 1(1\times 0 - 1\times 1) - 0 + 1(0\times 1 - 1\times 1) = 1(-1) + 1(-1) = -2\).
Le produit mixte vaut \(-2 \neq 0\) : les vecteurs ne sont pas coplanaires (ils forment une base de l'espace).
Déterminer l'équation cartésienne du plan passant par les trois points \(A(0, 0, 3)\), \(B(4, 0, 1)\), \(C(4, 6, 1)\).
\(\overrightarrow{AB} = (4, 0, -2)\), \(\overrightarrow{AC} = (4, 6, -2)\).
\(\vec{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (0\times(-2) - (-2)\times 6,\ (-2)\times 4 - 4\times(-2),\ 4\times 6 - 0\times 4) = (12, 0, 24)\).
On simplifie en \(\vec{n} \parallel (1, 0, 2)\). Équation : \(1(x-0) + 0(y-0) + 2(z-3) = 0\), soit \(x + 2z = 6\).
Vérification : \(A: 0 + 6 = 6\) ✓ ; \(B: 4 + 2 = 6\) ✓ ; \(C: 4 + 2 = 6\) ✓.
Trouver le point d'intersection de la droite \(\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 4t \end{cases}\) avec le plan \(x + 2z = 6\).
Substitution : \((1+2t) + 2(3+4t) = 6 \implies 1 + 2t + 6 + 8t = 6 \implies 7 + 10t = 6 \implies t = -0{,}1\).
\(x = 1 + 2(-0{,}1) = 0{,}8\) ; \(y = 2 - (-0{,}1) = 2{,}1\) ; \(z = 3 + 4(-0{,}1) = 2{,}6\).
Point d'intersection : \(I(0{,}8\,;\,2{,}1\,;\,2{,}6)\).
Un nœud de treillis est soumis à trois forces (en kN) : \(\vec{F_1} = (4, 0, -2)\), \(\vec{F_2} = (-1, 5, 1)\), \(\vec{F_3} = (-3, -5, 1)\). Calculer la résultante et conclure sur l'équilibre.
\(\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = (4 - 1 - 3,\ 0 + 5 - 5,\ -2 + 1 + 1) = (0, 0, 0)\).
La résultante est nulle : le nœud est en équilibre statique.
Un nœud est soumis à trois forces connues (kN) : \(\vec{F_1} = (5, 0, -1)\), \(\vec{F_2} = (-2, 3, 2)\), \(\vec{F_3} = (1, -4, 1)\). Déterminer la quatrième force \(\vec{F_4}\) assurant l'équilibre, puis calculer \(\|\vec{F_4}\|\).
Somme des trois forces : \(\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = (5 - 2 + 1,\ 0 + 3 - 4,\ -1 + 2 + 1) = (4, -1, 2)\).
L'équilibre impose \(\vec{F_4} = -(4, -1, 2) = (-4, 1, -2)\) kN.
\(\|\vec{F_4}\| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} \approx 4{,}58\) kN.