Calcul vectoriel | BTS | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Un technicien de bureau d'études relève trois points d'un assemblage de charpente : \(A(1\,;\,2\,;\,0)\), \(B(5\,;\,2\,;\,3)\), \(C(1\,;\,6\,;\,4)\) (coordonnées en mètres).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis leurs normes. (2 pts)
2. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\). (1,5 pt)
3. En déduire une mesure de l'angle \(\widehat{BAC}\), arrondie au dixième de degré. (1,5 pt)
1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}\), \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{16+0+9} = \sqrt{25} = 5\) m.
\(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}0\\4\\4\end{pmatrix}\), \(\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{0+16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt2 \approx 5{,}657\) m.
2. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 4\times0+0\times4+3\times4 = 12\).
3. \(\cos\widehat{BAC} = \dfrac{12}{5\times4\sqrt2} = \dfrac{12}{20\sqrt2} \approx 0{,}424\), donc \(\widehat{BAC} \approx 64{,}9°\).
Partie A. Un technicien qualité contrôle un panneau de tôle en forme de parallélogramme, engendré par \(\vec u = \begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec v = \begin{pmatrix}2\\6\\0\end{pmatrix}\) (en mètres).
1. Calculer \(\vec u\times\vec v\) puis l'aire du panneau. (2 pts)
Partie B. Un technicien de maintenance serre un écrou avec une clé. Le bras \(\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix}0{,}2\\0\\0{,}15\end{pmatrix}\) m ; force exercée \(\vec F = \begin{pmatrix}0\\160\\0\end{pmatrix}\) N.
2. Calculer le moment \(\vec M_O = \overrightarrow{OP}\times\vec F\). (2 pts)
3. Calculer \(\|\vec M_O\|\). (1 pt)
1. \(\vec u\times\vec v = \begin{pmatrix}0\times0-0\times6\\0\times2-5\times0\\5\times6-0\times2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\30\end{pmatrix}\). Aire \(= \|\vec u\times\vec v\| = 30\) m².
2. \(\vec M_O = \begin{pmatrix}0\times0-0{,}15\times160\\0{,}15\times0-0{,}2\times0\\0{,}2\times160-0\times0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-24\\0\\32\end{pmatrix}\) N·m.
3. \(\|\vec M_O\| = \sqrt{576+0+1024} = \sqrt{1600} = 40\) N·m.
Un charpentier relève trois points du bord d'un versant de toiture : \(D(0\,;\,0\,;\,5)\), \(E(4\,;\,0\,;\,2)\), \(F(4\,;\,6\,;\,2)\) (coordonnées en mètres).
1. Calculer \(\overrightarrow{DE}\) et \(\overrightarrow{DF}\). (1 pt)
2. Calculer un vecteur normal \(\vec n = \overrightarrow{DE}\times\overrightarrow{DF}\) au plan du versant. (1,5 pt)
3. En déduire l'équation cartésienne du plan \(\mathcal P\) du versant. (1,5 pt)
4. Un câble électrique passe par \(G(1\,;\,1\,;\,1)\) avec le vecteur directeur \(\vec h = \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\). Déterminer les coordonnées du point \(I\) où le câble traverse le plan \(\mathcal P\). (2 pts)
1. \(\overrightarrow{DE} = \begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{DF} = \begin{pmatrix}4\\6\\-3\end{pmatrix}\).
2. \(\vec n = \begin{pmatrix}0\times(-3)-(-3)\times6\\(-3)\times4-4\times(-3)\\4\times6-0\times4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}18\\0\\24\end{pmatrix} \parallel \begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}.\)
3. Avec \(\vec n=(3;0;4)\) et \(D(0,0,5)\) : \(3(x-0)+0(y-0)+4(z-5)=0\), soit \(\boxed{3x+4z=20}\).
Vérification : \(E\) : \(12+8=20\) ✓ ; \(F\) : \(12+8=20\) ✓.
4. Équation paramétrique du câble : \(x=1+3t\), \(y=1+2t\), \(z=1+t\).
Substitution dans \(3x+4z=20\) : \(3(1+3t)+4(1+t)=20 \Rightarrow 3+9t+4+4t=20 \Rightarrow 7+13t=20 \Rightarrow t=1\).
D'où \(I(1+3\,;\,1+2\,;\,1+1) = I(4\,;\,3\,;\,2)\).
Un nœud \(N\) d'un treillis métallique plan est soumis à trois forces connues (en kN, dans le plan) :
\(\vec F_1 = \begin{pmatrix}6\\-2\end{pmatrix}\), \(\vec F_2 = \begin{pmatrix}-9\\1\end{pmatrix}\), \(\vec F_3 = \begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}\).
1. Un quatrième élément (barre ou appui) exerce une force \(\vec F_4\) au nœud. Déterminer \(\vec F_4\) pour que le nœud soit en équilibre. (2 pts)
2. Calculer \(\|\vec F_4\|\). (2 pts)
1. L'équilibre impose \(\vec F_1+\vec F_2+\vec F_3+\vec F_4 = \vec 0\).
\(\vec F_1+\vec F_2+\vec F_3 = \begin{pmatrix}6-9+1\\-2+1+5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}\).
Donc \(\vec F_4 = -\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}\) kN.
2. \(\|\vec F_4\| = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt5 \approx 4{,}47\) kN.