Ch14 – Modélisation géométrique – QCM

Question 1

Les coordonnées cylindriques \((r,\theta,z)\) sont reliées aux cartésiennes par :

\(x = r\sin\theta,\ y = r\cos\theta,\ z = z\) \(x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ z = z\) \(x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\ y = \rho\sin\varphi\sin\theta\) \(x = r,\ y = \theta,\ z = z\)

Question 2

Pour le point cartésien \(M(3,3,4)\), quelle est la valeur du rayon cylindrique \(r = \sqrt{x^2+y^2}\) ?

\(\sqrt{34}\) \(6\) \(3\sqrt{2}\) \(4\)

Question 3

Une droite \(\Delta\) passe par \(A(x_A,y_A,z_A)\) et a pour vecteur directeur \(\vec{d}=(d_x,d_y,d_z)\). Sa représentation paramétrique est :

\(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + t\,\vec{d},\ t\in\mathbb{R}\) \(\overrightarrow{OM} = t\,\overrightarrow{OA}\) \(\vec{d}\cdot\overrightarrow{AM} = 0\) \(ax+by+cz+d=0\)

Question 4

Un plan a pour vecteur normal \(\vec{n}=(1,2,-1)\) et passe par \(A(1,0,2)\). Son équation est \(a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0\). Sous forme générale, on obtient :

\(x + 2y - z = 0\) \(x + 2y + z - 1 = 0\) \(x - 2y - z + 1 = 0\) \(x + 2y - z + 1 = 0\)

Question 5

La distance d'un point \(P(x_P,y_P,z_P)\) au plan \(\Pi : ax+by+cz+d=0\) est :

\(|ax_P+by_P+cz_P+d|\) \(\dfrac{|ax_P+by_P+cz_P+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) \(\dfrac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}\) \(\sqrt{x_P^2+y_P^2+z_P^2}\)

Question 6

Soit le plan \(\Pi : 2x + y - 2z + 3 = 0\) et le point \(P(4,1,5)\). Quelle est la distance \(d(P,\Pi)\) ?

\(2\) \(\dfrac{2}{9}\) \(\dfrac{2}{3}\) \(6\)

Question 7

Pour une courbe paramétrique \(M(t)\), le vecteur vitesse (ou vecteur tangent) en \(M(t)\) est :

\(M'(t) = (x'(t),\,y'(t),\,z'(t))\) \(M''(t)\) \(\displaystyle\int M(t)\,dt\) \(\|M(t)\|\)

Question 8

La longueur d'une courbe paramétrique entre \(t=a\) et \(t=b\) est donnée par :

\(\displaystyle\int_a^b M(t)\,dt\) \(\displaystyle\int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2}\,dt\) \(\displaystyle\int_a^b (x'+y'+z')\,dt\) \(M(b) - M(a)\)

Question 9

Pour une courbe de Bézier cubique \(B(t)\) de points de contrôle \(P_0,P_1,P_2,P_3\), que valent \(B(0)\) et \(B(1)\) ?

\(B(0)=P_1\) et \(B(1)=P_2\) \(B(0)=B(1)=\) le barycentre des 4 points \(B(0)=P_3\) et \(B(1)=P_0\) \(B(0)=P_0\) et \(B(1)=P_3\)

Question 10

Soit la courbe de Bézier cubique de points \(P_0=(0,0)\), \(P_1=(1,2)\), \(P_2=(3,2)\), \(P_3=(4,0)\). Que vaut le point \(B(0{,}5)\) ?

\((2\,;\,2)\) \((2\,;\,1{,}5)\) \((4\,;\,0)\) \((1\,;\,1)\)

Question 11

Pour une surface paramétrique \(M(u,v)\), le vecteur normal à la surface s'obtient par :

\(\vec{n} = \vec{T}_u \times \vec{T}_v\) (produit vectoriel des tangents) \(\vec{n} = \vec{T}_u \cdot \vec{T}_v\) (produit scalaire) \(\vec{n} = \vec{T}_u + \vec{T}_v\) \(\vec{n} = \|\vec{T}_u\| \times \|\vec{T}_v\|\)

Question 12

En coordonnées homogènes, par quel type de matrice exprime-t-on les transformations affines (translation, rotation) de l'espace 3D ?

Une matrice \(2\times 2\) Une matrice \(3\times 3\) Une matrice \(4\times 4\) Un vecteur colonne

Question 13

Pour appliquer d'abord la transformation \(T_1\) puis \(T_2\) à un point, la matrice composée est :

\(T_1 \cdot T_2\) \(T_2 \cdot T_1\) \(T_1 + T_2\) \(\dfrac{T_1 + T_2}{2}\)

Question 14

On applique au point \(M(1,0,0)\) une rotation \(R_z(90°)\) puis une translation \(T(2,0,0)\). \(R_z(90°)\) envoie \((1,0,0)\) sur \((0,1,0)\). Quelle est l'image finale ?

\((1,0,0)\) \((0,1,0)\) \((3,0,0)\) \((2,1,0)\)

Question 15

Un foret descend le long de la droite \(\begin{cases}x = 2 + t\\ y = 1\\ z = 5 - 2t\end{cases}\) et perce le plan \(\Pi : x + z = 4\). En substituant, on trouve \(t^* = 3\). Quel est le point de percée ?

\((2,1,5)\) \((3,1,-1)\) \((5,1,-1)\) \((5,3,-1)\)