BTS | Mathématiques | Groupement B1
Dernière mise à jour : 21 juin 2026
Un bureau d'études en mécanique utilise un logiciel de CAO (Conception Assistée par Ordinateur) pour modéliser un bras robotique à 3 axes destiné à l'usinage de pièces complexes. Le technicien doit :
Ces problèmes mobilisent la modélisation géométrique : représentation analytique de l'espace, des courbes et des surfaces, et calcul matriciel des transformations.
Dans un repère orthonormé \((O,\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k})\) de \(\mathbb{R}^3\), tout point \(M\) est repéré par ses coordonnées cartésiennes \((x, y, z)\) telles que :
\[ \overrightarrow{OM} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j} + z\,\vec{k} \]La distance euclidienne entre deux points \(A(x_A, y_A, z_A)\) et \(B(x_B, y_B, z_B)\) :
\[ AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2} \]Les coordonnées cylindriques \((r, \theta, z)\) d'un point \(M\) sont définies par :
\[ \begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \\ z = z \end{cases} \qquad \text{avec } r \geq 0,\quad \theta \in [0, 2\pi[,\quad z \in \mathbb{R} \]Conversion inverse : \(r = \sqrt{x^2+y^2}\), \(\theta = \mathrm{atan2}(y,x)\), \(z = z\).
Ce repère est adapté aux pièces à symétrie de révolution (arbres, cylindres, carters).
Les coordonnées sphériques \((\rho, \theta, \varphi)\) d'un point \(M\) sont :
\[ \begin{cases} x = \rho\sin\varphi\cos\theta \\ y = \rho\sin\varphi\sin\theta \\ z = \rho\cos\varphi \end{cases} \qquad \text{avec } \rho \geq 0,\quad \theta \in [0,2\pi[,\quad \varphi \in [0,\pi] \]Conversion inverse : \(\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\), \(\varphi = \arccos(z/\rho)\), \(\theta = \mathrm{atan2}(y,x)\).
Adapté aux rotations d'un bras robotique ou à la modélisation de sphères.
Le point \(M(3, 3, 4)\) (cartésien). Calculer ses coordonnées cylindriques et sphériques.
Cylindriques :
\[ r = \sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}243 \qquad \theta = \arctan(3/3) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} = 45° \qquad z = 4 \]Sphériques :
\[ \rho = \sqrt{9+9+16} = \sqrt{34} \approx 5{,}831 \qquad \varphi = \arccos\!\left(\frac{4}{\sqrt{34}}\right) \approx \arccos(0{,}686) \approx 46{,}7° \qquad \theta = 45° \]Une droite \(\Delta\) passant par le point \(A(x_A, y_A, z_A)\) et de vecteur directeur \(\vec{d} = (d_x, d_y, d_z)\) a pour représentation paramétrique :
\[ M \in \Delta \iff \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + t\,\vec{d},\quad t \in \mathbb{R} \] \[ \text{soit }\quad \begin{cases} x = x_A + t\,d_x \\ y = y_A + t\,d_y \\ z = z_A + t\,d_z \end{cases},\quad t \in \mathbb{R} \]La trajectoire d'un outil d'usinage passe par \(A(1, 2, 0)\) dans la direction \(\vec{d} = (2, -1, 3)\). Son équation paramétrique est :
\[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3t \end{cases} \]Pour \(t=1\) : \(M = (3, 1, 3)\). Pour \(t=-0{,}5\) : \(M = (0, 2{,}5, -1{,}5)\).
Un plan \(\Pi\) est entièrement défini par :
L'équation du plan s'écrit sous deux formes équivalentes :
\[ \text{Forme normale : } \vec{n}\cdot\overrightarrow{AM} = 0 \quad\text{soit}\quad a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0 \] \[ \text{Forme générale : } ax + by + cz + d = 0 \quad\text{avec } d = -(ax_A+by_A+cz_A) \]Une surface d'appui passe par \(A(1, 0, 2)\) et son vecteur normal est \(\vec{n} = (1, 2, -1)\). Donner l'équation du plan.
\[ 1(x-1) + 2(y-0) + (-1)(z-2) = 0 \implies x - 1 + 2y - z + 2 = 0 \implies x + 2y - z + 1 = 0 \]Vérification : \(A(1,0,2)\) : \(1 + 0 - 2 + 1 = 0\) ✓
La distance du point \(P(x_P, y_P, z_P)\) au plan \(\Pi : ax+by+cz+d=0\) est :
\[ d(P, \Pi) = \frac{|ax_P + by_P + cz_P + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]Distance du point \(P\) à la droite \(\Delta\) passant par \(A\) de vecteur directeur \(\vec{d}\) :
\[ d(P, \Delta) = \frac{\left\|\overrightarrow{AP} \times \vec{d}\right\|}{\|\vec{d}\|} \]où \(\times\) désigne le produit vectoriel.
Propriétés : \(\vec{u}\times\vec{v}\) est perpendiculaire à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\) ; \(\|\vec{u}\times\vec{v}\| = \|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\cdot\sin\theta\).
Le plan de la pièce est \(\Pi : 2x + y - 2z + 3 = 0\). La tête de l'outil est en \(P(4, 1, 5)\). Calculer la distance de \(P\) à \(\Pi\).
\[ d(P, \Pi) = \frac{|2\times4 + 1\times1 + (-2)\times5 + 3|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|8+1-10+3|}{\sqrt{9}} = \frac{|2|}{3} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667 \text{ unités} \]| Configuration | Condition |
|---|---|
| Droite ∥ plan | \(\vec{d} \cdot \vec{n} = 0\) et \(A \notin \Pi\) |
| Droite ⊂ plan | \(\vec{d} \cdot \vec{n} = 0\) et \(A \in \Pi\) |
| Droite sécante au plan | \(\vec{d} \cdot \vec{n} \neq 0\) |
| Plans parallèles | \(\vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2\) (proportionnels) et \(\Pi_1 \neq \Pi_2\) |
| Plans sécants (droite d'intersection) | \(\vec{n}_1\) et \(\vec{n}_2\) non colinéaires |
| Droites gauches (non coplanaires) | \(\overrightarrow{A_1A_2} \cdot (\vec{d}_1 \times \vec{d}_2) \neq 0\) |
Une courbe paramétrique est l'ensemble des points \(M(t)\) définis par trois fonctions :
\[ \mathcal{C} : M(t) = \begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{pmatrix},\quad t \in [a, b] \]Le paramètre \(t\) représente souvent le temps (cinématique) ou un paramètre de forme (géométrie).
Le vecteur vitesse (ou vecteur tangent) en \(M(t)\) est la dérivée de \(M(t)\) :
\[ \vec{v}(t) = M'(t) = \begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\\z'(t)\end{pmatrix} \]\(\|\vec{v}(t)\|\) est la vitesse instantanée ; \(\vec{v}(t)/\|\vec{v}(t)\|\) est le vecteur tangent unitaire orientant la courbe.
La longueur de la courbe entre \(t=a\) et \(t=b\) est :
\[ \ell = \int_a^b \|M'(t)\|\, dt = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2}\, dt \]En cinématique robotique, l'accélération intervient dans le calcul des couples moteurs nécessaires.
Cercle de rayon \(R\) dans le plan \(xOy\), centré à l'origine :
\[ M(t) = \begin{pmatrix}R\cos t\\ R\sin t\\ 0\end{pmatrix},\quad t \in [0, 2\pi] \]Vecteur vitesse : \(\vec{v}(t) = (-R\sin t,\, R\cos t,\, 0)\) ; norme constante \(\|\vec{v}\| = R\).
Longueur : \(\ell = \displaystyle\int_0^{2\pi} R\, dt = 2\pi R\) — on retrouve la formule classique.
L'hélice de rayon \(R\) et de pas \(h\) (montée par tour) est la courbe parcourue par un point se déplaçant à vitesse angulaire constante sur un cylindre :
\[ M(t) = \begin{pmatrix}R\cos t\\ R\sin t\\ \dfrac{h}{2\pi}\, t\end{pmatrix},\quad t \in [0, 2\pi n] \]\(\vec{v}(t) = \left(-R\sin t,\, R\cos t,\, \dfrac{h}{2\pi}\right)\) ; \(\|\vec{v}(t)\| = \sqrt{R^2 + \left(\dfrac{h}{2\pi}\right)^2}\) (constante)
Longueur d'un tour (\(t: 0 \to 2\pi\)) :
\[ \ell_{\text{tour}} = 2\pi \sqrt{R^2 + \left(\frac{h}{2\pi}\right)^2} \]Application : Une fraise hélicoïdale de rayon \(R=5\) mm et de pas \(h=8\) mm. Longueur de l'arête de coupe par tour :
\[ \ell = 2\pi\sqrt{25 + \left(\frac{8}{2\pi}\right)^2} = 2\pi\sqrt{25 + 1{,}621} \approx 2\pi \times 5{,}162 \approx 32{,}43 \text{ mm} \]Fig. 1 — Projection XY d'une hélice cylindrique (\(R=5\) mm, \(h=8\) mm, 3 tours)
Une courbe de Bézier d'ordre \(n\) est définie par \(n+1\) points de contrôle \(P_0, P_1, \ldots, P_n\) et s'écrit :
\[ B(t) = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} t^i (1-t)^{n-i}\, P_i,\quad t \in [0,1] \]Les fonctions \(b_{i,n}(t) = \dbinom{n}{i}t^i(1-t)^{n-i}\) sont les polynômes de Bernstein.
Propriétés :
Profil de pièce défini par \(P_0=(0,0)\), \(P_1=(1,2)\), \(P_2=(3,2)\), \(P_3=(4,0)\) (coordonnées en cm). Calculer le point de la courbe pour \(t=0{,}5\).
\[ B(0{,}5) = (0{,}5)^3 P_0 + 3(0{,}5)(0{,}5)^2 P_1 + 3(0{,}5)^2(0{,}5) P_2 + (0{,}5)^3 P_3 \] \[ = \frac{1}{8}(0,0) + \frac{3}{8}(1,2) + \frac{3}{8}(3,2) + \frac{1}{8}(4,0) = (0,0) + (0{,}375,\,0{,}75) + (1{,}125,\,0{,}75) + (0{,}5,\,0) = (2{,}000,\,1{,}500) \text{ cm} \]Le point médian de la courbe est \(B(0{,}5) = (2\,;\,1{,}5)\) cm.
Une surface paramétrique est l'ensemble des points \(M(u,v)\) définis par deux paramètres \(u\) et \(v\) :
\[ \mathcal{S} : M(u,v) = \begin{pmatrix}x(u,v)\\y(u,v)\\z(u,v)\end{pmatrix},\quad (u,v) \in D \subset \mathbb{R}^2 \]Les vecteurs tangents partiels en \(M(u,v)\) :
\[ \vec{T}_u = \frac{\partial M}{\partial u} = \begin{pmatrix}\partial x/\partial u\\\partial y/\partial u\\\partial z/\partial u\end{pmatrix} \qquad \vec{T}_v = \frac{\partial M}{\partial v} = \begin{pmatrix}\partial x/\partial v\\\partial y/\partial v\\\partial z/\partial v\end{pmatrix} \]Le vecteur normal à la surface en \(M(u,v)\) :
\[ \vec{n}(u,v) = \vec{T}_u \times \vec{T}_v \]La surface est dite régulière en \(M\) si \(\vec{n}(u,v) \neq \vec{0}\), c'est-à-dire si \(\vec{T}_u\) et \(\vec{T}_v\) ne sont pas colinéaires.
Vecteurs tangents :
\[ \vec{T}_\theta = \begin{pmatrix}-R\sin\varphi\sin\theta\\ R\sin\varphi\cos\theta\\ 0\end{pmatrix} \qquad \vec{T}_\varphi = \begin{pmatrix}R\cos\varphi\cos\theta\\ R\cos\varphi\sin\theta\\ -R\sin\varphi\end{pmatrix} \]Vecteur normal :
\[ \vec{n} = \vec{T}_\theta \times \vec{T}_\varphi = -R^2\sin\varphi\begin{pmatrix}\sin\varphi\cos\theta\\\sin\varphi\sin\theta\\\cos\varphi\end{pmatrix} \]Le vecteur normal est colinéaire à \(\overrightarrow{OM}\) : il pointe vers l'extérieur de la sphère, ce qui est cohérent.
Normal radial, perpendiculaire à l'axe : cohérent avec la géométrie cylindrique.
Le tore est la surface engendrée par la rotation d'un cercle de rayon \(r\) autour d'un axe situé à la distance \(R\) de son centre. Il est utilisé en robotique (joints toriques, tuyauteries, conduits de fluide).
Si le profil est donné par \(r = f(z)\) (rayon en fonction de la hauteur), la surface de révolution est :
\[ M(\theta, z) = \begin{pmatrix}f(z)\cos\theta\\ f(z)\sin\theta\\ z\end{pmatrix} \]Exemples : cône (\(f(z) = az\)), paraboloïde (\(f(z) = \sqrt{az}\)), hyperboloïde.
En robotique et en infographie, on représente un point \(M(x, y, z)\) par ses coordonnées homogènes \(\tilde{M} = (x, y, z, 1)^T \in \mathbb{R}^4\). Cette convention permet d'exprimer toutes les transformations affines (translation, rotation, symétrie) par une seule multiplication matricielle \(4 \times 4\).
Translation de vecteur \(\vec{t} = (t_x, t_y, t_z)\) :
\[ T(t_x, t_y, t_z) = \begin{pmatrix}1&0&0&t_x\\0&1&0&t_y\\0&0&1&t_z\\0&0&0&1\end{pmatrix} \] \[ T \cdot \tilde{M} = \begin{pmatrix}x+t_x\\y+t_y\\z+t_z\\1\end{pmatrix} \]Rotation d'angle θ autour de l'axe Oz :
\[ R_z(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0&0\\\sin\theta&\cos\theta&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} \]Rotation d'angle θ autour de l'axe Ox :
\[ R_x(\theta) = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos\theta&-\sin\theta&0\\0&\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} \]Rotation d'angle θ autour de l'axe Oy :
\[ R_y(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta&0&\sin\theta&0\\0&1&0&0\\-\sin\theta&0&\cos\theta&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} \]Pour appliquer successivement \(T_1\) puis \(T_2\) à un point, on calcule la matrice composée :
\[ T_{\text{composée}} = T_2 \cdot T_1 \]Attention : la multiplication matricielle n'est pas commutative. "Rotation puis translation" \(\neq\) "translation puis rotation".
On effectue d'abord une rotation de 90° autour de Oz, puis une translation de \((2, 0, 0)\). Quel est l'image du point \(M(1, 0, 0)\) ?
Étape 1 : rotation \(R_z(90°)\) :
\[ R_z(90°) \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix} \]Étape 2 : translation \(T(2,0,0)\) :
\[ T(2,0,0) \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\\0\\1\end{pmatrix} \]L'image de \(M(1,0,0)\) est \(M'(2,1,0)\).
Un robot articulé est modélisé comme une chaîne cinématique : une suite de segments (liaisons) reliés par des articulations (joints). Chaque joint apporte une transformation géométrique (rotation ou translation) exprimée dans le repère du segment précédent.
Pour un robot à \(n\) articulations, la position de l'effecteur dans le repère de base est :
\[ {}^0T_n = {}^0T_1 \cdot {}^1T_2 \cdots {}^{n-1}T_n \]où \({}^{i-1}T_i\) est la matrice homogène 4×4 exprimant la transformation du repère \(i\) dans le repère \(i-1\) (en fonction de l'angle articulaire \(\theta_i\) pour un joint rotoïde).
Robot plan avec deux bras de longueurs \(l_1 = 300\) mm et \(l_2 = 200\) mm. Les angles articulaires sont \(\theta_1 = 30°\) et \(\theta_2 = 45°\).
Transformation 1 (rotation \(\theta_1\) + translation le long de l'axe 1) :
\[ {}^0T_1 = R_z(\theta_1) \cdot T(l_1, 0, 0) = \begin{pmatrix}c_1&-s_1&0&l_1 c_1\\s_1&c_1&0&l_1 s_1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} \]avec \(c_1 = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\) et \(s_1 = \sin 30° = 0{,}5\).
Position du coude (bout du premier bras) :
\[ P_1 = (l_1 c_1,\, l_1 s_1) = (300 \times 0{,}866,\, 300 \times 0{,}5) = (259{,}8,\, 150{,}0) \text{ mm} \]Position de l'effecteur (après transformation 2, angle \(\theta_1 + \theta_2 = 75°\)) :
\[ P_E = P_1 + l_2 \begin{pmatrix}\cos(\theta_1+\theta_2)\\\sin(\theta_1+\theta_2)\end{pmatrix} = (259{,}8,\, 150{,}0) + 200\begin{pmatrix}\cos 75°\\\sin 75°\end{pmatrix} \] \[ = (259{,}8 + 200 \times 0{,}259,\, 150{,}0 + 200 \times 0{,}966) = (259{,}8 + 51{,}8,\, 150{,}0 + 193{,}2) = (311{,}6,\, 343{,}2) \text{ mm} \]Une spline cubique est une courbe lisse définie par morceaux, où chaque morceau est un polynôme cubique. Les raccords entre morceaux assurent la continuité de la courbe et de ses deux premières dérivées (\(C^2\) de classe).
Sur l'intervalle \([x_k, x_{k+1}]\), le morceau est :
\[ S_k(x) = a_k + b_k(x-x_k) + c_k(x-x_k)^2 + d_k(x-x_k)^3 \]Un ébéniste-agenceur doit usiner un rail de guidage dont le profil passe par les points : \(P_0=(0,0)\), \(P_1=(10,8)\), \(P_2=(20,5)\), \(P_3=(30,0)\) (mm). Il utilise une spline cubique naturelle (dérivée seconde nulle aux extrémités) pour générer la trajectoire d'outil en défonçage CNC.
Le logiciel CAO construit la spline en résolvant le système tridiagonal des conditions de raccord \(C^2\). La trajectoire obtenue est parfaitement lisse, sans angle vif, ce qui évite les à-coups sur la machine.
Étant donné la droite \(\Delta : M(t) = A + t\vec{d}\) et le plan \(\Pi : ax+by+cz+d=0\), calculer le point d'intersection.
Un foret descend le long de la droite \(\Delta\) : \(\begin{cases}x = 2 + t \\ y = 1 \\ z = 5 - 2t\end{cases}\) (vecteur directeur \(\vec{d} = (1, 0, -2)\)). La surface de la plaque est le plan \(\Pi : x + z = 4\) (soit \(x + 0y + z - 4 = 0\)). Trouver le point de percée.
Substitution dans \(\Pi\) :
\[ (2+t) + (5-2t) - 4 = 0 \implies 7 + t - 2t - 4 = 0 \implies 3 - t = 0 \implies t^* = 3 \]Point d'intersection :
\[ I = (2+3,\, 1,\, 5-6) = (5,\, 1,\, -1) \]Fig. 2 — Espace de travail d'un robot plan à 2 axes (\(l_1=300\) mm, \(l_2=200\) mm) selon \(\theta_1\)
Coordonnées cylindriques : \((r,\theta,z)\) avec \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\)
Coordonnées sphériques : \((\rho,\theta,\varphi)\) avec \(x=\rho\sin\varphi\cos\theta\), \(y=\rho\sin\varphi\sin\theta\), \(z=\rho\cos\varphi\)
Matrices homogènes 4×4 : translation \(T(t_x,t_y,t_z)\), rotations \(R_x\), \(R_y\), \(R_z\) — composition \(= T_2 \cdot T_1\).