Interrogation — Ch14 : Modélisation géométrique

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

On prendra \(\cos 60° = 0{,}5\), \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\), \(\cos 90° = 0\), \(\sin 90° = 1\).

Exercice 1 — Conversion de coordonnées (4 pts)

Un point d'un carter cylindrique a pour coordonnées cylindriques \(r = 6\), \(\theta = 60°\), \(z = 5\).

Rappeler les formules de passage cylindriques → cartésiennes. (1 pt)
Calculer les coordonnées cartésiennes \((x, y, z)\) du point. (3 pts)

Exercice 2 — Équation d'un plan (4 pts)

Une surface d'appui passe par le point \(A(2, 1, 3)\) et admet pour vecteur normal \(\vec{n} = (1, -2, 2)\).

Écrire l'équation du plan sous la forme \(a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0\). (1,5 pt)
En déduire l'équation générale \(ax + by + cz + d = 0\). (1,5 pt)
Vérifier que le point \(A\) appartient bien au plan. (1 pt)

Exercice 3 — Distance d'un point à un plan (4 pts)

Le plan d'une pièce a pour équation \(\Pi : 2x + y - 2z + 6 = 0\). La pointe d'un palpeur est au point \(P(3, 4, 1)\).

Rappeler la formule de la distance d'un point à un plan. (1 pt)
Calculer la distance de \(P\) au plan \(\Pi\). (3 pts)

Exercice 4 — Courbe de Bézier cubique (4 pts)

Une courbe de Bézier cubique a pour points de contrôle \(P_0 = (0, 0)\), \(P_1 = (2, 4)\), \(P_2 = (6, 4)\), \(P_3 = (8, 0)\) (en mm).

Donner sans calcul les points de départ \(B(0)\) et d'arrivée \(B(1)\). (1 pt)
Calculer le point \(B(0{,}5)\) (coefficients \(\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{3}{8}, \frac{1}{8}\)). (3 pts)

Exercice 5 — Intersection droite-plan et rotation (4 pts)

Partie A. Un foret descend le long de la droite \(\Delta : \begin{cases}x = 1 + t \\ y = 2 \\ z = 6 - 2t\end{cases}\). La surface de la plaque est le plan \(\Pi : x + z = 5\).

Déterminer la valeur de \(t^*\) au point de percée. (1,5 pt)
En déduire le point d'intersection \(I\). (1 pt)

Partie B. On applique au point \(M(3, 0, 2)\) une rotation de 90° autour de l'axe \(Oz\).

En utilisant la matrice \(R_z(90°)\), déterminer l'image \(M'\). (1,5 pt)

Correction

Exercice 1 (4 pts)

a) \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), \(z = z\). (1 pt)

b) \(x = 6\cos 60° = 6 \times 0{,}5 = 3\) ; \(y = 6\sin 60° = 6 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20\) ; \(z = 5\). Coordonnées cartésiennes : \((3\,;\,3\sqrt{3}\,;\,5) \approx (3\,;\,5{,}20\,;\,5)\). (3 pts)

Exercice 2 (4 pts)

a) \(1(x-2) - 2(y-1) + 2(z-3) = 0\). (1,5 pt)

b) \(x - 2 - 2y + 2 + 2z - 6 = 0 \implies x - 2y + 2z - 6 = 0\). (1,5 pt)

c) Pour \(A(2,1,3)\) : \(2 - 2\times1 + 2\times3 - 6 = 2 - 2 + 6 - 6 = 0\) ✓. (1 pt)

Exercice 3 (4 pts)

a) \(d(P, \Pi) = \dfrac{|ax_P + by_P + cz_P + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\). (1 pt)

b) Avec \(a=2, b=1, c=-2, d=6\) : \[d(P,\Pi) = \frac{|2\times 3 + 1\times 4 - 2\times 1 + 6|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|6 + 4 - 2 + 6|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{14}{\sqrt{9}} = \frac{14}{3} \approx 4{,}67\] La distance vaut \(\dfrac{14}{3} \approx 4{,}67\) unités. (3 pts)

Exercice 4 (4 pts)

a) Par propriété de Bézier : \(B(0) = P_0 = (0\,;\,0)\) et \(B(1) = P_3 = (8\,;\,0)\). (1 pt)

b) \[B(0{,}5) = \tfrac{1}{8}(0,0) + \tfrac{3}{8}(2,4) + \tfrac{3}{8}(6,4) + \tfrac{1}{8}(8,0)\] \[= (0,0) + (0{,}75\,;\,1{,}5) + (2{,}25\,;\,1{,}5) + (1\,;\,0) = (4\,;\,3) \text{ mm}\] Le point médian est \(B(0{,}5) = (4\,;\,3)\) mm. (3 pts)

Exercice 5 (4 pts)

a) Substitution de \(x = 1+t\) et \(z = 6-2t\) dans \(x + z = 5\) : \[(1+t) + (6-2t) = 5 \implies 7 - t = 5 \implies t^* = 2\] (1,5 pt)

b) \(I = (1+2,\ 2,\ 6-4) = (3,\ 2,\ 2)\). (1 pt)

c) \(R_z(90°) \cdot \begin{pmatrix}3\\0\\2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\0\\2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\times3 - 1\times0\\ 1\times3 + 0\times0\\ 2\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\3\\2\\1\end{pmatrix}\)
L'image est \(M'(0, 3, 2)\) : la cote \(z\) est inchangée (axe de rotation). (1,5 pt)

Total : 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 points.