Fiche résumé – Modélisation géométrique

Chapitre 14 | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

Une droite est définie par un point et un vecteur directeur ; un plan par un point et un vecteur normal.
Courbe paramétrique : \(M(t)\) ; sa dérivée \(M'(t)\) est le vecteur vitesse (tangent).
Une courbe de Bézier passe par \(P_0\) et \(P_n\) et reste dans l'enveloppe convexe des points de contrôle.
Les transformations (translation, rotation, symétrie) s'expriment par des matrices homogènes 4×4 ; on les compose par produit matriciel (non commutatif).
Une chaîne cinématique robotique = produit des matrices de chaque articulation.

Définitions clés

Définition

Coordonnées cylindriques / sphériques : \((r,\theta,z)\) adaptées aux pièces de révolution ; \((\rho,\theta,\varphi)\) adaptées aux rotations et aux sphères.

Définition

Courbe paramétrique 3D : \(M(t) = (x(t),y(t),z(t))\), \(t\in[a,b]\). Le paramètre \(t\) est souvent le temps.

Définition

Courbe de Bézier d'ordre \(n\) : définie par \(n+1\) points de contrôle via les polynômes de Bernstein \(\binom{n}{i}t^i(1-t)^{n-i}\).

Définition

Coordonnées homogènes : un point \((x,y,z)\) est noté \((x,y,z,1)\) pour exprimer toute transformation affine par une matrice 4×4.

Formules à connaître

Droite et plan \[\text{Droite} : M = A + t\,\vec{d},\quad t\in\mathbb{R}\] \[\text{Plan} : ax+by+cz+d=0 \iff \vec{n}\cdot\overrightarrow{AM}=0\]

Distances \[d(P,\Pi) = \frac{|ax_P+by_P+cz_P+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] \[d(P,\Delta) = \frac{\|\overrightarrow{AP}\times\vec{d}\|}{\|\vec{d}\|}\]

Intersection droite-plan \[t^* = \frac{-(\vec{n}\cdot\overrightarrow{OA}+d)}{\vec{n}\cdot\vec{d}} \quad (\vec{n}\cdot\vec{d}\ne 0),\qquad I = A + t^*\vec{d}\]

Si \(\vec{n}\cdot\vec{d}=0\) : droite parallèle au plan (ou contenue dans le plan).

Courbes : vitesse et longueur d'arc \[\vec{v}(t) = M'(t) \qquad \ell = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\,dt\]

Vecteur normal d'une surface : \(\vec{n}(u,v) = \dfrac{\partial M}{\partial u}\times\dfrac{\partial M}{\partial v}\).

Bézier cubique (ordre 3) \[B(t) = (1-t)^3 P_0 + 3t(1-t)^2 P_1 + 3t^2(1-t) P_2 + t^3 P_3\]

\(B(0)=P_0\), \(B(1)=P_3\) ; tangentes \(B'(0)=3(P_1-P_0)\), \(B'(1)=3(P_3-P_2)\).

Matrices homogènes 4×4 \[T(t_x,t_y,t_z) = \begin{pmatrix}1&0&0&t_x\\0&1&0&t_y\\0&0&1&t_z\\0&0&0&1\end{pmatrix} \quad R_z(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0&0\\\sin\theta&\cos\theta&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\]

Composition : \(T_{\text{composée}} = T_2 \cdot T_1\) (appliquer \(T_1\) puis \(T_2\)). Chaîne cinématique : \({}^0T_n = {}^0T_1\cdot{}^1T_2\cdots{}^{n-1}T_n\).

Méthode — Intersection droite-plan

Méthode Trouver le point de percée

Substituer \(x(t),y(t),z(t)\) de la droite dans l'équation du plan.
Regrouper les termes en \(t\).
Si \(\vec{n}\cdot\vec{d}=0\) : pas d'intersection unique (droite // ou contenue dans le plan).
Sinon, résoudre pour obtenir \(t^*\).
Calculer le point \(I = A + t^*\vec{d}\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Inverser l'ordre des matrices : \(T_1\cdot T_2\) au lieu de \(T_2\cdot T_1\).

✅ Le produit matriciel n'est pas commutatif : « rotation puis translation » \(\ne\) « translation puis rotation ».

❌ Oublier la valeur absolue au numérateur de la distance point-plan.

✅ La distance est positive : \(|ax_P+by_P+cz_P+d|\).

❌ Croire que la courbe de Bézier passe par tous les points de contrôle.

✅ Elle passe par \(P_0\) et \(P_n\) seulement ; les points intermédiaires « tirent » la courbe.

❌ Confondre vecteur directeur (droite) et vecteur normal (plan).

✅ Le directeur \(\vec{d}\) longe la droite ; le normal \(\vec{n}\) est perpendiculaire au plan.