Exercices – Chapitre 14

Modélisation géométrique | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Formulaire rapide : Droite : \(M=A+t\,\vec{d}\). Plan : \(ax+by+cz+d=0\), \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AM}=0\). Distance point-plan : \(\dfrac{|ax_P+by_P+cz_P+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\). Distance point-droite : \(\dfrac{\|\overrightarrow{AP}\times\vec{d}\|}{\|\vec{d}\|}\). Courbe : \(\vec{v}(t)=M'(t)\), \(\ell=\displaystyle\int_a^b\|M'(t)\|\,dt\). Bézier cubique : \(B(t)=(1{-}t)^3P_0+3t(1{-}t)^2P_1+3t^2(1{-}t)P_2+t^3P_3\). Surface : \(\vec{n}=\vec{T}_u\times\vec{T}_v\). Transformations homogènes : \(T(t_x,t_y,t_z)\), \(R_x,R_y,R_z\) ; composition \(=T_2\cdot T_1\).

Repères et systèmes de coordonnées

Exercice 1 — Conversion cartésien → cylindrique

Un point \(M\), repéré en CAO par ses coordonnées cartésiennes \(M(5\,;\,5\sqrt{3}\,;\,2)\) (mm), correspond au centre d'un perçage sur une pièce cylindrique.

1. Calculer les coordonnées cylindriques \((r, \theta, z)\) de \(M\).

2. Vérifier que \(\theta\) est un angle remarquable.

1. \(r = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{5^2+(5\sqrt3)^2} = \sqrt{25+75} = \sqrt{100} = 10\) mm.

\(\theta = \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) = \arctan\!\left(\dfrac{5\sqrt3}{5}\right) = \arctan(\sqrt3) = 60°\) (car \(x>0\), \(y>0\)).

\(z = 2\) mm. Donc \(M\) a pour coordonnées cylindriques \((10\,;\,60°\,;\,2)\).

2. \(60°\) est bien un angle remarquable (\(\pi/3\) rad), cohérent avec l'apparition de \(\sqrt3\) dans les coordonnées cartésiennes.

Exercice 2 — Conversion cylindrique → cartésien

Un point d'un carter tronconique a pour coordonnées cylindriques \(r = 8\) mm, \(\theta = 135°\), \(z = 3\) mm.

Calculer ses coordonnées cartésiennes \((x, y, z)\), sous forme exacte puis arrondie au centième.

\[x = r\cos\theta = 8\cos 135° = 8\times\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right) = -4\sqrt2 \approx -5{,}66 \text{ mm}\] \[y = r\sin\theta = 8\sin 135° = 8\times\frac{\sqrt2}{2} = 4\sqrt2 \approx 5{,}66 \text{ mm}\] \[z = 3 \text{ mm}\]

Coordonnées cartésiennes : \((-4\sqrt2\,;\,4\sqrt2\,;\,3) \approx (-5{,}66\,;\,5{,}66\,;\,3)\).

Exercice 3 — Conversion cartésien → sphérique

Un capteur situé au point \(M(1\,;\,1\,;\,\sqrt2)\) (m) est fixé au bout d'un bras articulé sphérique.

Calculer les coordonnées sphériques \((\rho, \varphi, \theta)\) de \(M\).

\[\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{1+1+2} = \sqrt{4} = 2 \text{ m}\] \[\varphi = \arccos\!\left(\frac{z}{\rho}\right) = \arccos\!\left(\frac{\sqrt2}{2}\right) = 45°\] \[\theta = \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan(1) = 45°\]

Coordonnées sphériques : \((\rho, \varphi, \theta) = (2\,;\,45°\,;\,45°)\). Le point \(M\) est donc situé sur la sphère de rayon 2 m centrée en \(O\).

Droites et plans dans l'espace

Exercice 4 — Équation paramétrique d'une droite

La trajectoire rectiligne d'un axe de translation passe par \(A(1, -2, 3)\) avec le vecteur directeur \(\vec{d} = (2, 1, -2)\).

1. Écrire la représentation paramétrique de la droite \(\Delta\).

2. Le point \(P(5, 0, -1)\) appartient-il à \(\Delta\) ? Si oui, préciser la valeur de \(t\) correspondante.

1. \(\Delta : \begin{cases}x=1+2t\\y=-2+t\\z=3-2t\end{cases},\; t\in\mathbb{R}\).

2. On cherche \(t\) tel que \(1+2t=5\), soit \(t=2\). On vérifie avec les deux autres équations : \(y=-2+2=0\) ✓ et \(z=3-2\times2=-1\) ✓. Les trois équations sont vérifiées pour \(t=2\) : \(P\) appartient bien à \(\Delta\).

Exercice 5 — Équation d'un plan

Un plan d'appui d'un montage d'usinage passe par le point \(A(2, -1, 3)\) et admet pour vecteur normal \(\vec{n} = (3, -2, 1)\).

Déterminer l'équation cartésienne de ce plan sous la forme \(ax+by+cz+d=0\).

\[3(x-2) - 2(y+1) + 1(z-3) = 0\] \[3x - 6 - 2y - 2 + z - 3 = 0\] \[3x - 2y + z - 11 = 0\]

Vérification en \(A(2,-1,3)\) : \(3\times2 - 2\times(-1) + 3 - 11 = 6+2+3-11 = 0\) ✓.

Exercice 6 — Distance point-plan

Le plan de référence d'une pièce a pour équation \(\Pi : 3x - 2y + z - 11 = 0\). La pointe d'un palpeur 3D se trouve au point \(P(7, 1, 4)\).

Calculer la distance de \(P\) au plan \(\Pi\), arrondie au centième de mm.

\[d(P,\Pi) = \frac{|3\times7 - 2\times1 + 4 - 11|}{\sqrt{3^2+(-2)^2+1^2}} = \frac{|21-2+4-11|}{\sqrt{14}} = \frac{12}{\sqrt{14}}\] \[d(P,\Pi) \approx \frac{12}{3{,}742} \approx 3{,}21 \text{ mm}\]

Exercice 7 — Distance point-droite

Un axe de guidage passe par \(A(1, 0, 2)\), de vecteur directeur \(\vec{d} = (1, 2, -2)\). Un point de mesure est situé en \(P(4, 1, 5)\).

1. Calculer \(\overrightarrow{AP}\), puis le produit vectoriel \(\overrightarrow{AP} \times \vec{d}\).

2. En déduire la distance de \(P\) à la droite, arrondie au centième.

1. \(\overrightarrow{AP} = (4-1,\,1-0,\,5-2) = (3, 1, 3)\).

\[ \overrightarrow{AP}\times\vec{d} = \begin{pmatrix}1\times(-2) - 3\times2\\ 3\times1 - 3\times(-2)\\ 3\times2 - 1\times1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2-6\\3+6\\6-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8\\9\\5\end{pmatrix} \]

2. \(\|\overrightarrow{AP}\times\vec{d}\| = \sqrt{64+81+25} = \sqrt{170} \approx 13{,}04\). \(\|\vec{d}\| = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3\).

\[d(P,\Delta) = \frac{\sqrt{170}}{3} \approx \frac{13{,}04}{3} \approx 4{,}35\]

Exercice 8 — Position relative droite / plan

Une glissière rectiligne passe par \(A(3, 1, -2)\), de vecteur directeur \(\vec{d} = (2, -1, 3)\). Le plan de référence de la machine a pour équation \(\Pi : x + 2y - 1 = 0\).

1. Calculer \(\vec{n}\cdot\vec{d}\), où \(\vec{n} = (1,2,0)\) est un vecteur normal de \(\Pi\). Que peut-on en conclure sur la position relative de la droite et du plan ?

2. Le point \(A\) appartient-il au plan \(\Pi\) ? Conclure précisément sur la configuration.

1. \(\vec{n}\cdot\vec{d} = 1\times2 + 2\times(-1) + 0\times3 = 2-2+0 = 0\). Le vecteur directeur de la glissière est orthogonal au vecteur normal du plan : la droite est donc parallèle au plan \(\Pi\) (ou incluse dedans).

2. Test de \(A(3,1,-2)\) dans \(\Pi\) : \(3 + 2\times1 - 1 = 4 \neq 0\). \(A \notin \Pi\) : la droite est donc strictement parallèle au plan (elle ne le rencontre jamais et n'y est pas contenue).

Exercice 9 — Intersection droite-plan

Un foret de perçage descend le long de la droite \(\Delta\) passant par \(A(1, 3, 2)\), de vecteur directeur \(\vec{d} = (2, -1, 1)\). La surface de la pièce à percer est le plan \(\Pi : x + y + z - 10 = 0\).

Perçage : la droite Δ (rouge) traverse le plan Π au point I

1. Substituer la paramétrisation de \(\Delta\) dans l'équation de \(\Pi\) et déterminer la valeur de \(t^*\) correspondant au point de percée.

2. En déduire les coordonnées du point de percée \(I\).

1. \(\Delta : x=1+2t,\; y=3-t,\; z=2+t\). En substituant dans \(\Pi\) :

\[(1+2t) + (3-t) + (2+t) - 10 = 0 \implies 6 + 2t - 10 = 0 \implies 2t = 4 \implies t^* = 2\]

2. \(I = (1+2\times2,\; 3-2,\; 2+2) = (5, 1, 4)\).

Le foret perce la pièce au point \(I(5, 1, 4)\).

Courbes et surfaces paramétriques

Exercice 10 — Vecteur vitesse et tangente

Une sonde de contrôle suit la trajectoire \(M(t) = (3\cos t,\, 3\sin t,\, 2t)\), \(t \in [0, 2\pi]\), autour d'un arbre cylindrique.

1. Déterminer le vecteur vitesse \(\vec{v}(t) = M'(t)\).

2. Calculer \(\vec{v}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) et montrer que \(\|\vec{v}(t)\|\) est constante.

1. \(\vec{v}(t) = M'(t) = (-3\sin t,\, 3\cos t,\, 2)\).

2. \(\vec{v}\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = (-3\sin(\pi/2),\, 3\cos(\pi/2),\, 2) = (-3, 0, 2)\).

\[\|\vec{v}(t)\|^2 = (-3\sin t)^2 + (3\cos t)^2 + 2^2 = 9\sin^2t + 9\cos^2t + 4 = 9(\sin^2t+\cos^2t) + 4 = 9+4 = 13\]

\(\|\vec{v}(t)\| = \sqrt{13}\) est bien indépendante de \(t\) : la trajectoire est parcourue à vitesse constante (hélice à pas constant).

Exercice 11 — Longueur d'arc d'une hélice

Une rainure hélicoïdale est fraisée sur un axe cylindrique de rayon \(R = 4\) mm, avec un pas \(h = 6\) mm par tour :

\[M(t) = \begin{pmatrix}4\cos t\\4\sin t\\ \dfrac{6}{2\pi}t\end{pmatrix},\quad t \in [0, 2\pi n]\]

Calculer la longueur de la rainure sur 2 tours complets (\(n=2\)), arrondie au dixième de mm.

Vitesse constante (comme pour toute hélice) : \(\|\vec{v}(t)\| = \sqrt{R^2 + \left(\dfrac{h}{2\pi}\right)^2} = \sqrt{16 + \left(\dfrac{6}{2\pi}\right)^2} = \sqrt{16 + 0{,}912} \approx \sqrt{16{,}912} \approx 4{,}112\) mm/rad.

Longueur d'un tour : \(\ell_{\text{tour}} = 2\pi \times 4{,}112 \approx 25{,}8\) mm.

Longueur sur 2 tours : \(\ell = 2 \times 25{,}8 \approx 51{,}7\) mm.

Exercice 12 — Point d'une courbe de Bézier cubique

Un profil de moulure en CAO est défini par la courbe de Bézier cubique de points de contrôle \(P_0=(0,0)\), \(P_1=(2,5)\), \(P_2=(5,5)\), \(P_3=(7,0)\) (mm).

1. Vérifier que \(B(0) = P_0\) et \(B(1) = P_3\).

2. Calculer le point \(B(0{,}25)\) de la courbe.

1. Par la formule de Bézier, en \(t=0\) tous les termes s'annulent sauf \((1-0)^3P_0 = P_0\), et en \(t=1\) tous s'annulent sauf \(1^3P_3=P_3\). Donc \(B(0)=(0,0)\) et \(B(1)=(7,0)\), conformément à la propriété du cours.

2. Pour \(t=0{,}25\) : \((1-t)^3=0{,}421875\), \(3t(1-t)^2=0{,}421875\), \(3t^2(1-t)=0{,}140625\), \(t^3=0{,}015625\).

\[B(0{,}25) = 0{,}421875(0,0) + 0{,}421875(2,5) + 0{,}140625(5,5) + 0{,}015625(7,0)\] \[= (0{,}84375+0{,}703125+0{,}109375,\; 2{,}109375+0{,}703125) = (1{,}656,\; 2{,}813) \text{ mm (arrondi au millième)}\]

Exercice 13 — Tangentes d'une courbe de Bézier

Reprendre la courbe de l'exercice 12 : \(P_0=(0,0)\), \(P_1=(2,5)\), \(P_2=(5,5)\), \(P_3=(7,0)\).

Calculer les vecteurs tangents \(B'(0)\) et \(B'(1)\) à l'aide des propriétés du cours, et interpréter géométriquement leur direction.

\[B'(0) = 3(P_1-P_0) = 3(2,5) = (6, 15)\] \[B'(1) = 3(P_3-P_2) = 3(2,-5) = (6, -15)\]

La tangente au départ est colinéaire à \(\overrightarrow{P_0P_1}\) (montée) et la tangente à l'arrivée est colinéaire à \(\overrightarrow{P_2P_3}\) (descente) : le profil part et arrive tangent au polygone de contrôle, ce qui permet à un dessinateur-projeteur de raccorder proprement plusieurs arcs.

Exercice 14 — Vecteur normal à une sphère

On modélise un carter sphérique de rayon \(R = 6\) cm par la surface paramétrique \(M(\theta,\varphi) = (R\sin\varphi\cos\theta,\, R\sin\varphi\sin\theta,\, R\cos\varphi)\).

Calculer le vecteur normal \(\vec{n} = \vec{T}_\theta \times \vec{T}_\varphi\) au point où \(\theta = 90°\) et \(\varphi = 60°\), à l'aide de la formule générale établie dans le cours (Exemple 8).

D'après le cours, \(\vec{n}(\theta,\varphi) = -R^2\sin\varphi\begin{pmatrix}\sin\varphi\cos\theta\\\sin\varphi\sin\theta\\\cos\varphi\end{pmatrix} = -R\sin\varphi\cdot M(\theta,\varphi)\).

Position : \(M(90°,60°) = \left(6\times\frac{\sqrt3}{2}\times0,\; 6\times\frac{\sqrt3}{2}\times1,\; 6\times\frac12\right) = (0,\, 3\sqrt3,\, 3)\).

\[\vec{n} = -6\times\frac{\sqrt3}{2}\times(0,\,3\sqrt3,\,3) = -3\sqrt3\,(0,\,3\sqrt3,\,3) = (0,\, -27,\, -9\sqrt3) \approx (0,\, -27,\, -15{,}59)\]

Le vecteur normal est colinéaire à \(\overrightarrow{OM}\) (dirigé vers l'intérieur ici), conformément à la propriété du cours pour la sphère.

Transformations géométriques et robotique

Exercice 15 — Matrice de translation

Le bâti d'une machine subit une translation de vecteur \(\vec{t} = (3, -2, 5)\). Un repère de perçage est initialement au point \(M(1, 4, -1)\).

Écrire la matrice homogène \(T(3,-2,5)\) et calculer les coordonnées du point image \(M'\).

\[T(3,-2,5) = \begin{pmatrix}1&0&0&3\\0&1&0&-2\\0&0&1&5\\0&0&0&1\end{pmatrix}\] \[T(3,-2,5)\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\-1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+3\\4-2\\-1+5\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\2\\4\\1\end{pmatrix}\]

Le point image est \(M'(4, 2, 4)\).

Exercice 16 — Matrice de rotation

Une pièce initialement au point \(M(2, 3, 0)\) subit une rotation de \(60°\) autour de l'axe \(Oz\) sur un plateau tournant.

Calculer les coordonnées de l'image \(M'\) à l'aide de la matrice \(R_z(60°)\), sous forme exacte puis arrondie au centième.

Avec \(\cos 60° = \frac12\) et \(\sin 60° = \frac{\sqrt3}{2}\) :

\[ R_z(60°)\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac12&-\frac{\sqrt3}{2}&0&0\\\frac{\sqrt3}{2}&\frac12&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\3\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1-\frac{3\sqrt3}{2}\\\sqrt3+\frac32\\0\\1\end{pmatrix} \]

Soit \(M'\left(1-\dfrac{3\sqrt3}{2},\; \sqrt3+\dfrac32,\; 0\right) \approx (-1{,}60\,;\,3{,}23\,;\,0)\).

Exercice 17 — Composition et non-commutativité

On considère le point \(M(1, 2, 0)\). On lui applique successivement une rotation de \(90°\) autour de l'axe \(Ox\), puis une translation de vecteur \((0, 3, 0)\).

1. Calculer l'image \(M_1'\) obtenue en appliquant d'abord \(R_x(90°)\), puis \(T(0,3,0)\).

2. Calculer l'image \(M_2'\) obtenue en appliquant les mêmes transformations dans l'ordre inverse (translation puis rotation).

3. Comparer \(M_1'\) et \(M_2'\) et conclure.

1. \(R_x(90°)\) transforme \((x,y,z)\) en \((x,-z,y)\) car \(\cos90°=0\), \(\sin90°=1\). Donc \(R_x(90°)\cdot M = (1, -0, 2) = (1, 0, 2)\). Puis translation : \(M_1' = (1+0,\,0+3,\,2+0) = (1, 3, 2)\).

2. Translation d'abord : \(T(0,3,0)\cdot M = (1, 5, 0)\). Puis rotation : \(R_x(90°)\cdot(1,5,0) = (1, -0, 5) = (1, 0, 5)\). Donc \(M_2' = (1, 0, 5)\).

3. \(M_1'(1,3,2) \neq M_2'(1,0,5)\) : la composition des transformations géométriques n'est pas commutative. L'ordre d'application (rotation puis translation, ou l'inverse) change le résultat final, ce qui est essentiel à respecter lors de la programmation d'un robot ou d'une machine-outil.

Exercice 18 — Chaîne cinématique d'un robot plan à 2 axes

Un robot plan à deux articulations rotoïdes possède des bras de longueurs \(l_1 = 250\) mm et \(l_2 = 180\) mm. Les angles articulaires mesurés sont \(\theta_1 = 40°\) et \(\theta_2 = -20°\) (le second bras se replie légèrement vers l'arrière).

Robot plan 2 axes — \(l_1=250\) mm, \(l_2=180\) mm, \(\theta_1=40°\), \(\theta_2=-20°\)

1. Calculer les coordonnées du coude \(P_1 = (l_1\cos\theta_1,\, l_1\sin\theta_1)\), arrondies au dixième de mm.

2. Calculer les coordonnées de l'effecteur \(P_E = P_1 + l_2(\cos(\theta_1+\theta_2),\, \sin(\theta_1+\theta_2))\), arrondies au dixième de mm.

1. \(P_1 = (250\cos40°,\, 250\sin40°) = (250\times0{,}766,\, 250\times0{,}643) \approx (191{,}5,\, 160{,}7)\) mm.

2. \(\theta_1+\theta_2 = 40° + (-20°) = 20°\).

\[P_E \approx (191{,}5,\, 160{,}7) + 180(\cos20°,\, \sin20°) \approx (191{,}5,\, 160{,}7) + 180(0{,}940,\, 0{,}342)\] \[P_E \approx (191{,}5+169{,}2,\; 160{,}7+61{,}6) \approx (360{,}7,\, 222{,}3) \text{ mm}\]

Exercice 19 — Synthèse : raccord d'une spline cubique

Un logiciel de CAO génère un profil par spline cubique en deux morceaux, raccordés en \(x=1\). Sur \([0,1]\), le premier morceau est \(S_1(x) = 1 + 2x + x^2 - x^3\). Sur \([1,2]\), le second morceau s'écrit \(S_2(x) = a + b(x-1) + c(x-1)^2 + d(x-1)^3\).

Pour que le raccord soit de classe \(C^2\) en \(x=1\) (continuité de la valeur, de la dérivée première et de la dérivée seconde, conformément au cours), déterminer les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\).

Le raccord \(C^2\) impose \(S_2(1)=S_1(1)\), \(S_2'(1)=S_1'(1)\) et \(S_2''(1)=S_1''(1)\). Comme \(S_2(1)=a\), \(S_2'(1)=b\) et \(S_2''(1)=2c\), il suffit de calculer \(S_1\) et ses dérivées en \(x=1\) :

\[S_1(x) = 1+2x+x^2-x^3 \implies S_1(1) = 1+2+1-1 = 3\] \[S_1'(x) = 2+2x-3x^2 \implies S_1'(1) = 2+2-3 = 1\] \[S_1''(x) = 2-6x \implies S_1''(1) = 2-6 = -4\]

D'où \(a = S_1(1) = 3\), \(b = S_1'(1) = 1\), et \(2c = S_1''(1) = -4\) soit \(c = -2\).

Le coefficient \(d\) reste libre (il caractérise la forme propre du second morceau, fixée par ailleurs par une condition supplémentaire, par exemple un point de passage imposé).