Exercices par capacités · BTS
Dernière mise à jour : 21 juin 2026
Une droite \(\Delta\) passe par \(A(2, -1, 3)\) et a pour vecteur directeur \(\vec{d} = (1, 4, -2)\). Écrire son équation paramétrique, puis donner le point obtenu pour \(t = 2\).
\(\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + 4t \\ z = 3 - 2t \end{cases}\), \(t \in \mathbb{R}\).
Pour \(t=2\) : \(x = 4\), \(y = -1+8 = 7\), \(z = 3-4 = -1\). Le point est \((4, 7, -1)\).
Un plan \(\Pi\) passe par \(A(2, 0, 1)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n} = (3, -1, 2)\). Donner l'équation cartésienne du plan sous la forme \(ax + by + cz + d = 0\).
\(3(x-2) - 1(y-0) + 2(z-1) = 0\), soit \(3x - 6 - y + 2z - 2 = 0\).
Équation : \(3x - y + 2z - 8 = 0\).
Vérification : \(A(2,0,1)\) : \(6 - 0 + 2 - 8 = 0\) ✓.
On considère la droite \(\Delta\) de vecteur directeur \(\vec{d} = (2, 1, -1)\) et le plan \(\Pi : x + 2y + 4z + 5 = 0\) de normale \(\vec{n} = (1, 2, 4)\). La droite est-elle parallèle au plan, sécante ou contenue dans le plan ? (Le point \(A(0,0,0)\) appartient à \(\Delta\).)
\(\vec{d}\cdot\vec{n} = 2\times 1 + 1\times 2 + (-1)\times 4 = 2 + 2 - 4 = 0\) : la droite n'est pas sécante.
On teste \(A(0,0,0)\) dans \(\Pi\) : \(0 + 0 + 0 + 5 = 5 \neq 0\), donc \(A \notin \Pi\).
Conclusion : la droite est parallèle au plan (et non contenue dans celui-ci).
Deux plans ont pour normales \(\vec{n}_1 = (1, 2, -1)\) et \(\vec{n}_2 = (2, 4, -2)\). Sont-ils parallèles ? Justifier.
On observe que \(\vec{n}_2 = 2\,\vec{n}_1\) (\(2 = 2\times 1\), \(4 = 2\times 2\), \(-2 = 2\times(-1)\)).
Les normales sont colinéaires (proportionnelles), donc les deux plans sont parallèles (parallèles stricts s'ils sont distincts, confondus sinon).
Calculer la distance du point \(P(1, 2, 2)\) au plan \(\Pi : 2x + y - 2z + 5 = 0\).
\(d(P,\Pi) = \dfrac{|2\times 1 + 1\times 2 - 2\times 2 + 5|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \dfrac{|2 + 2 - 4 + 5|}{\sqrt{4+1+4}} = \dfrac{|5|}{\sqrt 9} = \dfrac{5}{3}\).
\(d(P,\Pi) = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67\) unités.
La pointe d'un palpeur est en \(P(3, -1, 4)\). Le plan d'appui est \(\Pi : x - 2y + 2z - 1 = 0\). Calculer la distance de \(P\) à \(\Pi\).
\(d(P,\Pi) = \dfrac{|1\times 3 - 2\times(-1) + 2\times 4 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \dfrac{|3 + 2 + 8 - 1|}{\sqrt{1+4+4}} = \dfrac{12}{3} = 4\).
La distance est de \(4\) unités.
Un foret descend le long de la droite \(\Delta : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 \\ z = 6 - t \end{cases}\). La plaque est le plan \(\Pi : x + z = 5\). Trouver le point de percée.
Substitution dans \(\Pi\) : \((1+t) + (6-t) = 5 \implies 7 = 5\) ?
On obtient \(7 = 5\), impossible : \(\vec{d} = (1, 0, -1)\) et \(\vec{n} = (1,0,1)\) donnent \(\vec{n}\cdot\vec{d} = 1 + 0 - 1 = 0\). La droite est parallèle au plan, il n'y a pas d'intersection (le foret n'atteint jamais la plaque).
Trouver le point d'intersection de la droite \(\Delta : \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}\) avec le plan \(\Pi : x + y + z - 9 = 0\).
Substitution : \((2+t) + (1-t) + (3+2t) - 9 = 0 \implies 6 + 2t - 9 = 0 \implies 2t = 3 \implies t = 1{,}5\).
Point d'intersection : \(x = 2 + 1{,}5 = 3{,}5\) ; \(y = 1 - 1{,}5 = -0{,}5\) ; \(z = 3 + 3 = 6\).
\(I(3{,}5\,;\,-0{,}5\,;\,6)\). Vérification : \(3{,}5 - 0{,}5 + 6 - 9 = 0\) ✓.
Une courbe est définie par \(M(t) = (3\cos t,\ 3\sin t,\ 0)\), \(t \in [0, 2\pi]\). Donner le vecteur vitesse \(\vec{v}(t)\) et sa norme, puis identifier la courbe.
\(\vec{v}(t) = M'(t) = (-3\sin t,\ 3\cos t,\ 0)\).
\(\|\vec{v}(t)\| = \sqrt{9\sin^2 t + 9\cos^2 t} = \sqrt{9} = 3\) (constante).
La courbe est un cercle de rayon 3 dans le plan \(xOy\), parcouru à vitesse constante.
Calculer la longueur de la courbe \(M(t) = (3\cos t,\ 3\sin t,\ 0)\) sur \([0, 2\pi]\) à l'aide de l'intégrale de longueur d'arc.
\(\ell = \displaystyle\int_0^{2\pi} \|M'(t)\|\,dt = \int_0^{2\pi} 3\,dt = 3 \times 2\pi = 6\pi \approx 18{,}85\).
On retrouve le périmètre \(2\pi r = 2\pi \times 3 = 6\pi\) du cercle de rayon 3. ✓
Une hélice cylindrique a pour rayon \(R = 4\) mm et pas \(h = 6\) mm (montée par tour). Sa norme de vitesse vaut \(\|\vec{v}\| = \sqrt{R^2 + \left(\dfrac{h}{2\pi}\right)^2}\). Calculer la longueur de l'arête sur un tour (\(t : 0 \to 2\pi\)).
\(\dfrac{h}{2\pi} = \dfrac{6}{2\pi} = \dfrac{3}{\pi} \approx 0{,}955\) mm.
\(\|\vec{v}\| = \sqrt{4^2 + 0{,}955^2} = \sqrt{16 + 0{,}912} = \sqrt{16{,}912} \approx 4{,}112\) mm.
Longueur d'un tour : \(\ell = 2\pi \times \|\vec{v}\| \approx 2\pi \times 4{,}112 \approx 25{,}84\) mm.
Une trajectoire d'outil est \(M(t) = (t,\ t^2,\ 0)\). Calculer le vecteur vitesse \(\vec{v}(t)\), le vecteur accélération \(\vec{\gamma}(t)\), et la norme de la vitesse au point \(t = 1\).
\(\vec{v}(t) = M'(t) = (1,\ 2t,\ 0)\).
\(\vec{\gamma}(t) = M''(t) = (0,\ 2,\ 0)\) (accélération constante).
En \(t=1\) : \(\vec{v}(1) = (1, 2, 0)\), \(\|\vec{v}(1)\| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt 5 \approx 2{,}24\).
Une courbe de Bézier cubique a pour points de contrôle \(P_0=(0,0)\), \(P_1=(1,3)\), \(P_2=(4,3)\), \(P_3=(5,0)\). Donner sans calcul \(B(0)\) et \(B(1)\).
Une courbe de Bézier passe par ses extrémités : \(B(0) = P_0 = (0, 0)\) et \(B(1) = P_3 = (5, 0)\).
Avec les mêmes points (\(P_0=(0,0)\), \(P_1=(1,3)\), \(P_2=(4,3)\), \(P_3=(5,0)\)), calculer le point milieu \(B(0{,}5)\).
Pour \(t = 0{,}5\), les coefficients sont \((1-t)^3 = \tfrac18\), \(3t(1-t)^2 = \tfrac38\), \(3t^2(1-t) = \tfrac38\), \(t^3 = \tfrac18\).
\(B(0{,}5) = \tfrac18(0,0) + \tfrac38(1,3) + \tfrac38(4,3) + \tfrac18(5,0)\).
\(x = \tfrac38\times 1 + \tfrac38\times 4 + \tfrac18\times 5 = 0{,}375 + 1{,}5 + 0{,}625 = 2{,}5\).
\(y = \tfrac38\times 3 + \tfrac38\times 3 = 1{,}125 + 1{,}125 = 2{,}25\).
\(B(0{,}5) = (2{,}5\,;\,2{,}25)\).
Une courbe de Bézier cubique a pour points de contrôle \(P_0=(0,0)\), \(P_1=(2,2)\), \(P_2=(4,2)\), \(P_3=(6,0)\). Calculer la tangente en début \(B'(0) = 3(P_1 - P_0)\).
\(B'(0) = 3(P_1 - P_0) = 3\big((2,2) - (0,0)\big) = 3(2, 2) = (6, 6)\).
La tangente en \(P_0\) est portée par le vecteur \(\overrightarrow{P_0P_1} = (2,2)\) : la courbe « part » dans la direction de \(P_1\).
Avec les points \(P_0=(0,0)\), \(P_1=(0,4)\), \(P_2=(4,4)\), \(P_3=(4,0)\), calculer le point \(B(0{,}25)\). On donne \((0{,}75)^3 = 0{,}421875\), \(3(0{,}25)(0{,}75)^2 = 0{,}421875\), \(3(0{,}25)^2(0{,}75) = 0{,}140625\), \((0{,}25)^3 = 0{,}015625\).
\(x = 0{,}421875\times 0 + 0{,}421875\times 0 + 0{,}140625\times 4 + 0{,}015625\times 4\)
\(= 0 + 0 + 0{,}5625 + 0{,}0625 = 0{,}625\).
\(y = 0{,}421875\times 0 + 0{,}421875\times 4 + 0{,}140625\times 4 + 0{,}015625\times 0\)
\(= 0 + 1{,}6875 + 0{,}5625 + 0 = 2{,}25\).
\(B(0{,}25) = (0{,}625\,;\,2{,}25)\).
On applique au point \(M(3, -2, 5)\) une translation de vecteur \(\vec{t} = (2, 4, -1)\). En utilisant la matrice homogène \(T(2, 4, -1)\), déterminer l'image \(M'\).
La translation ajoute le vecteur aux coordonnées : \(M' = (3+2,\ -2+4,\ 5-1) = (5, 2, 4)\).
On applique au point \(M(2, 0, 3)\) une rotation de 90° autour de l'axe \(Oz\) (avec \(\cos 90° = 0\), \(\sin 90° = 1\)). En utilisant \(R_z(90°)\), déterminer l'image \(M'\).
\(R_z(90°)\) transforme \((x, y, z)\) en \((x\cos\theta - y\sin\theta,\ x\sin\theta + y\cos\theta,\ z)\).
\(x' = 2\times 0 - 0\times 1 = 0\) ; \(y' = 2\times 1 + 0\times 0 = 2\) ; \(z' = 3\).
Image : \(M'(0, 2, 3)\) — la cote \(z\) (axe de rotation) est inchangée.
On applique au point \(M(1, 0, 0)\) une rotation de 90° autour de \(Oz\), puis une translation de \((2, 0, 0)\). Déterminer l'image finale (composition \(T \cdot R_z\)).
Étape 1 — rotation : \(R_z(90°)\) envoie \((1, 0, 0)\) sur \((0, 1, 0)\).
Étape 2 — translation \((2, 0, 0)\) : \((0, 1, 0) \to (2, 1, 0)\).
Image finale : \(M'(2, 1, 0)\).
On reprend le point \(M(1, 0, 0)\), mais on applique d'abord la translation de \((2, 0, 0)\) puis la rotation de 90° autour de \(Oz\). Déterminer l'image et conclure sur la commutativité.
Étape 1 — translation : \((1, 0, 0) \to (3, 0, 0)\).
Étape 2 — rotation \(R_z(90°)\) : \((3, 0, 0) \to (3\times 0 - 0\times 1,\ 3\times 1 + 0\times 0,\ 0) = (0, 3, 0)\).
Image finale : \(M''(0, 3, 0)\).
On obtient \((0, 3, 0)\) contre \((2, 1, 0)\) à l'exercice 19 : la composition de transformations n'est pas commutative.