Modélisation géométrique | BTS | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Un bureau d'études en conception industrielle repère, en coordonnées cylindriques, le point de départ \(A\) d'un axe de perçage : \(r = 12\) mm, \(\theta = 90°\), \(z = 20\) mm. Le foret descend ensuite selon la droite \(\Delta\) de vecteur directeur \(\vec{d} = (1, -1, 2)\), jusqu'à traverser le plan du bâti \(\Pi : x + y + z - 40 = 0\).
Repérage cylindrique de \(A\) et perçage jusqu'au point \(I\) sur le plan du bâti
1. Déterminer les coordonnées cartésiennes du point \(A\). (2 pts)
2. Écrire la représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par \(A\), de vecteur directeur \(\vec{d}\). (1 pt)
3. Déterminer la valeur du paramètre \(t^*\) au point de percée, puis les coordonnées du point d'intersection \(I\) avec le plan \(\Pi\). (2 pts)
1. \(x = r\cos\theta = 12\cos90° = 0\) ; \(y = r\sin\theta = 12\sin90° = 12\) ; \(z = 20\). Donc \(A(0, 12, 20)\).
2. \(\Delta : \begin{cases}x = 0+t\\y = 12-t\\z = 20+2t\end{cases},\; t \in \mathbb{R}\).
3. En substituant dans \(\Pi\) : \(t + (12-t) + (20+2t) - 40 = 0 \implies 32 + 2t - 40 = 0 \implies 2t = 8 \implies t^* = 4\).
\(I = (0+4,\; 12-4,\; 20+2\times4) = (4, 8, 28)\).
Vérification : \(4+8+28-40 = 0\) ✓.
Un centre d'usinage réalise une rainure hélicoïdale sur un axe cylindrique de rayon \(5\) mm. La trajectoire de l'outil est modélisée par :
\[M(t) = \begin{pmatrix}5\cos t\\5\sin t\\3t\end{pmatrix},\quad t \in [0, 2\pi]\]Rainure hélicoïdale de rayon \(R=5\) mm, un tour complet
1. Déterminer le vecteur vitesse \(\vec{v}(t) = M'(t)\), puis calculer \(\vec{v}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\). (2 pts)
2. Montrer que la norme \(\|\vec{v}(t)\|\) est constante et donner sa valeur exacte. (1{,}5 pt)
3. En déduire la longueur totale de la rainure pour un tour complet (\(t \in [0, 2\pi]\)), sous forme exacte puis arrondie au dixième de mm. (1{,}5 pt)
1. \(\vec{v}(t) = (-5\sin t,\, 5\cos t,\, 3)\).
\[\vec{v}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \left(-5\sin60°,\, 5\cos60°,\, 3\right) = \left(-\frac{5\sqrt3}{2},\, \frac{5}{2},\, 3\right) \approx (-4{,}33,\, 2{,}5,\, 3)\]2. \(\|\vec{v}(t)\|^2 = 25\sin^2t + 25\cos^2t + 9 = 25+9 = 34\), valeur indépendante de \(t\). Donc \(\|\vec{v}(t)\| = \sqrt{34}\) (constante).
3. \(\ell = \displaystyle\int_0^{2\pi}\|\vec{v}(t)\|\,dt = \int_0^{2\pi}\sqrt{34}\,dt = 2\pi\sqrt{34} \approx 36{,}6\) mm.
Un robot de soudage possède deux bras articulés de longueurs \(l_1 = 320\) mm et \(l_2 = 210\) mm. Les angles articulaires sont \(\theta_1 = 25°\) et \(\theta_2 = 50°\).
Robot 2 axes — \(l_1=320\) mm, \(l_2=210\) mm, \(\theta_1=25°\), \(\theta_2=50°\)
1. Écrire la matrice de transformation homogène \({}^0T_1 = R_z(\theta_1)\cdot T(l_1, 0, 0)\), avec les valeurs numériques de \(\cos\theta_1\) et \(\sin\theta_1\) arrondies au millième. (2 pts)
2. En déduire les coordonnées du coude \(P_1\), arrondies au dixième de mm. (1{,}5 pt)
3. Calculer les coordonnées de la torche (effecteur) \(P_E = P_1 + l_2\bigl(\cos(\theta_1+\theta_2),\, \sin(\theta_1+\theta_2)\bigr)\), arrondies au dixième de mm. (1{,}5 pt)
1. \(\cos25° \approx 0{,}906\), \(\sin25° \approx 0{,}423\).
\[{}^0T_1 = \begin{pmatrix}0{,}906&-0{,}423&0&320\times0{,}906\\0{,}423&0{,}906&0&320\times0{,}423\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\]2. \(P_1 = (l_1\cos25°,\, l_1\sin25°) = (320\times0{,}906,\, 320\times0{,}423) \approx (290{,}0,\, 135{,}2)\) mm.
3. \(\theta_1+\theta_2 = 25°+50° = 75°\), \(\cos75°\approx0{,}259\), \(\sin75°\approx0{,}966\).
\[P_E \approx (290{,}0,\, 135{,}2) + 210(0{,}259,\, 0{,}966) \approx (290{,}0+54{,}4,\; 135{,}2+202{,}9) \approx (344{,}4,\, 338{,}1) \text{ mm}\]Un dessinateur-projeteur conçoit le profil d'une moulure décorative par une courbe de Bézier cubique, de points de contrôle \(P_0=(0,0)\), \(P_1=(3,7)\), \(P_2=(9,7)\), \(P_3=(12,0)\) (mm).
Profil de moulure : polygone de contrôle (pointillés) et courbe de Bézier (trait plein)
1. Sans calcul, donner \(B(0)\) et \(B(1)\) en justifiant à l'aide d'une propriété du cours. (1 pt)
2. Calculer le point \(B(0{,}5)\) de la courbe. (2{,}5 pts)
3. Calculer le vecteur tangent \(B'(0)\) et indiquer sa direction par rapport au polygone de contrôle. (1{,}5 pt)
1. D'après la propriété du cours, une courbe de Bézier passe toujours par ses points de contrôle extrêmes : \(B(0) = P_0 = (0,0)\) et \(B(1) = P_3 = (12,0)\).
2. Pour \(t=0{,}5\), les coefficients de Bernstein valent \((1-t)^3=\frac18\), \(3t(1-t)^2=\frac38\), \(3t^2(1-t)=\frac38\), \(t^3=\frac18\) :
\[B(0{,}5) = \frac18(0,0) + \frac38(3,7) + \frac38(9,7) + \frac18(12,0)\] \[= (0,0) + (1{,}125,\,2{,}625) + (3{,}375,\,2{,}625) + (1{,}5,\,0) = (6,\, 5{,}25) \text{ mm}\]3. \(B'(0) = 3(P_1-P_0) = 3(3,7) = (9, 21)\). Ce vecteur est colinéaire à \(\overrightarrow{P_0P_1}\) : la courbe part bien tangente au premier segment du polygone de contrôle.