BTS — Groupements B1, C1 | Géométrie
Dernière mise à jour : 26 juin 2026
Un solide est un objet géométrique à trois dimensions. On distingue :
Arête \(a\)
Dimensions \(L \times l \times h\)
Rayon \(r\), hauteur \(h\)
Sommet \(S\), rayon \(r\), hauteur \(h\)
Sommet \(S\), base polygonale, hauteur \(h\)
Centre \(O\), rayon \(R\)
Décomposer un objet réel en solides élémentaires :
Un charpentier doit estimer le volume de bois d'une pièce de faîtage. La pièce est constituée d'un parallélépipède rectangle surmonté d'une portion de cylindre. Il la décompose en deux solides élémentaires pour calculer le volume total.
La section d'un solide par un plan est l'intersection du solide avec ce plan. C'est une figure plane dont la forme dépend du solide et de l'orientation du plan de coupe.
Sections des solides usuels :
Un ingénieur en structures étudie la section transversale d'une poutre métallique en I (ou IPE). Cette section, obtenue en coupant la poutre perpendiculairement à son axe, est composée de trois rectangles : deux semelles horizontales et une âme verticale. La connaissance de cette section permet de calculer le moment d'inertie et la résistance à la flexion.
Un cylindre de révolution a un rayon \(r = 5\) cm et une hauteur \(h = 12\) cm.
1. Un plan parallèle à la base coupe le cylindre selon un cercle de même rayon \(r = 5\) cm. Aire : \(\pi r^2 = 25\pi \approx 78{,}5\) cm².
2. Un plan contenant l'axe coupe le cylindre selon un rectangle de largeur \(2r = 10\) cm et de hauteur \(h = 12\) cm. Aire : \(10 \times 12 = 120\) cm².
La projection orthogonale d'un point \(M\) sur un plan \(\mathcal{P}\) est le pied \(H\) de la perpendiculaire menée de \(M\) sur \(\mathcal{P}\). On a alors \(\overrightarrow{MH} \perp \mathcal{P}\).
La projection orthogonale d'une figure sur un plan donne une représentation en vue de dessus, de face ou de profil (dessin technique).
Parallélisme :
Intersection de plans :
Orthogonalité :
Un charpentier doit déterminer la ligne d'intersection entre deux pans de toiture. Chaque pan est modélisé par un plan. L'intersection de ces deux plans donne l'arêtier (ou la noue) du toit. Le calcul de cet angle permet de découper correctement les chevrons.
Un toit à deux pans est modélisé par les plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) se coupant selon la ligne de faîtage. Le pan \(\mathcal{P}_1\) fait un angle de \(30°\) avec l'horizontale et le pan \(\mathcal{P}_2\) fait un angle de \(40°\).
Au niveau du faîtage, l'angle entre les deux pans vu en coupe transversale vaut :
\[\alpha = 180° - 30° - 40° = 110°\]
L'angle au faîtage est de 110°.
Une surface de révolution est engendrée par la rotation d'une courbe plane (la génératrice) autour d'un axe fixe (l'axe de révolution).
Génération des surfaces de révolution usuelles :
| Génératrice | Surface obtenue |
|---|---|
| Droite parallèle à l'axe (distance \(r\)) | Cylindre de révolution (rayon \(r\)) |
| Segment incliné passant par l'axe | Cône de révolution |
| Demi-cercle de rayon \(R\) | Sphère de rayon \(R\) |
| Courbe quelconque | Surface de révolution quelconque (vase, balustrade, etc.) |
Un tourneur sur bois réalise un pied de table en faisant tourner un profil (la génératrice) autour de l'axe du tour. Le profil définit complètement la forme de la pièce : une combinaison de portions de cylindre, de cône et de courbes (moulures). Chaque section perpendiculaire à l'axe est un cercle.
Un cône de révolution a un rayon de base \(r = 6\) cm et une hauteur \(h = 8\) cm.
1. Par le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par \(r\), \(h\) et \(\ell\) :
\[\ell = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}\]
2. Aire latérale : \(\mathcal{A}_{\text{lat}} = \pi r \ell = \pi \times 6 \times 10 = 60\pi \approx 188{,}5\) cm².
| Solide | Volume | Aire latérale |
|---|---|---|
| Cube (arête \(a\)) | \(a^3\) | \(4a^2\) (sans bases : \(6a^2\) total) |
| Pavé droit (\(L \times l \times h\)) | \(L \times l \times h\) | \(2(Ll + Lh + lh)\) (totale) |
| Prisme droit (base \(\mathcal{B}\), hauteur \(h\)) | \(\mathcal{B} \times h\) | Périmètre base \(\times h\) |
| Pyramide (base \(\mathcal{B}\), hauteur \(h\)) | \(\dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times h\) | Somme des faces latérales |
| Cylindre (rayon \(r\), hauteur \(h\)) | \(\pi r^2 h\) | \(2\pi r h\) |
| Cône (rayon \(r\), hauteur \(h\), apothème \(\ell\)) | \(\dfrac{1}{3}\pi r^2 h\) | \(\pi r \ell\) |
| Sphère (rayon \(R\)) | \(\dfrac{4}{3}\pi R^3\) | \(4\pi R^2\) (aire totale) |
Ne pas confondre aire latérale (sans les bases) et aire totale (latérale + bases). Pour le cylindre : \(\mathcal{A}_{\text{totale}} = 2\pi r h + 2\pi r^2\).
Dans un triangle \(ABC\) quelconque, avec \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\) :
Ce théorème généralise le théorème de Pythagore (cas \(\widehat{A} = 90°\)).
Utilisation : calculer un côté connaissant deux côtés et l'angle compris, ou calculer un angle connaissant les trois côtés.
Dans une ferme de charpente triangulaire \(ABC\), on donne : \(AB = 6{,}0\) m, \(AC = 5{,}2\) m et \(\widehat{A} = 50°\).
On applique la loi des cosinus :
\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{A})\]
\[BC^2 = 6{,}0^2 + 5{,}2^2 - 2 \times 6{,}0 \times 5{,}2 \times \cos(50°)\]
\[BC^2 = 36 + 27{,}04 - 62{,}4 \times 0{,}6428 \approx 63{,}04 - 40{,}11 = 22{,}93\]
\[BC = \sqrt{22{,}93} \approx 4{,}79 \text{ m}\]
L'entrait mesure environ 4,79 m.
Lorsqu'on multiplie toutes les dimensions d'un solide par un facteur \(k > 0\) :
Un modèle réduit de silo cylindrique est à l'échelle \(\frac{1}{50}\) (donc \(k = 50\) pour passer du modèle au réel).
Un silo à grains est modélisé par un cylindre surmonté d'un cône. Le cylindre a un rayon \(r = 3\) m et une hauteur \(h_c = 8\) m. Le cône a la même base et une hauteur \(h_p = 2\) m.
1. Volume du cylindre : \(V_c = \pi r^2 h_c = \pi \times 9 \times 8 = 72\pi\) m³.
Volume du cône : \(V_p = \frac{1}{3}\pi r^2 h_p = \frac{1}{3}\pi \times 9 \times 2 = 6\pi\) m³.
Volume total : \(V = 72\pi + 6\pi = 78\pi \approx 245{,}0\) m³.
2. Facteur \(k = 1{,}5\). Le volume est multiplié par \(k^3 = 1{,}5^3 = 3{,}375\).
\(V' = 78\pi \times 3{,}375 = 263{,}25\pi \approx 827{,}0\) m³.
Dans le plan : un point \(M\) est repéré par ses coordonnées \((x, y)\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
Dans l'espace : un point \(M\) est repéré par ses coordonnées \((x, y, z)\) dans un repère \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).
Distance entre deux points dans l'espace : \(A(x_A, y_A, z_A)\) et \(B(x_B, y_B, z_B)\)
\[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\]Un point \(M\) du plan est repéré par \((r, \theta)\) où :
Passage cartésiennes → polaires :
\[r = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \tan(\theta) = \frac{y}{x} \; (x \neq 0)\]Passage polaires → cartésiennes :
\[x = r\cos(\theta) \qquad y = r\sin(\theta)\]Dans l'espace, un point \(M\) est repéré en coordonnées cylindriques par \((r, \theta, z)\) où :
Passage cylindriques → cartésiennes :
\[x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z\]Un point \(M\) de l'espace est repéré en coordonnées sphériques par \((\rho, \theta, \varphi)\) où :
Passage sphériques → cartésiennes :
| Système | Coordonnées | Espace | Usage typique |
|---|---|---|---|
| Cartésiennes | \((x, y)\) ou \((x, y, z)\) | Plan / Espace | Général |
| Polaires | \((r, \theta)\) | Plan | Cercles, spirales |
| Cylindriques | \((r, \theta, z)\) | Espace | Cylindres, tuyaux, silos |
| Sphériques | \((\rho, \theta, \varphi)\) | Espace | Sphères, antennes, GPS |
Un géomètre-topographe utilise un théodolite pour repérer des points sur un chantier. L'appareil mesure un angle horizontal \(\theta\) et un angle vertical \(\varphi\), ainsi qu'une distance \(\rho\). Ce sont exactement des coordonnées sphériques ! Le passage en coordonnées cartésiennes permet de placer les points sur un plan.
Un point \(M\) a pour coordonnées cartésiennes \((3, 3\sqrt{3})\) dans le plan.
1. \(r = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6\)
\(\tan\theta = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\), et \(x > 0, y > 0\) (premier quadrant), donc \(\theta = \frac{\pi}{3}\).
Coordonnées polaires : \(\boxed{(6, \frac{\pi}{3})}\)
2. \(x = 8\cos\frac{5\pi}{6} = 8 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -4\sqrt{3}\)
\(y = 8\sin\frac{5\pi}{6} = 8 \times \frac{1}{2} = 4\)
Coordonnées cartésiennes : \(\boxed{(-4\sqrt{3},\; 4)}\)