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Interrogation — Ch13 : Configurations géométriques

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

On prendra \(\pi \approx 3{,}1416\) et \(\cos 60° = 0{,}5\).

Exercice 1 — Sections d'un solide (3 pts)

Un cylindre de révolution a un rayon \(r = 4\) cm et une hauteur \(h = 10\) cm.

  1. Quelle est la nature de la section obtenue par un plan parallèle à la base ? Donner son aire. (1,5 pt)
  2. Quelle est la nature de la section obtenue par un plan contenant l'axe ? Donner ses dimensions et son aire. (1,5 pt)

Exercice 2 — Volume et aire latérale (4 pts)

Un cône de révolution a un rayon de base \(r = 9\) cm et une hauteur \(h = 12\) cm.

  1. Calculer l'apothème (génératrice) \(\ell\) du cône. (1,5 pt)
  2. En déduire l'aire latérale \(\mathcal{A}_{\text{lat}} = \pi r \ell\). (1,5 pt)
  3. Calculer le volume \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\). (1 pt)

Exercice 3 — Effet d'un agrandissement (4 pts)

Un silo cylindrique a un volume de \(80\) m³ et une aire totale de \(120\) m². On construit un second silo dont toutes les dimensions sont multipliées par \(k = 2\).

  1. Par quel facteur le volume est-il multiplié ? En déduire le volume du second silo. (2 pts)
  2. Par quel facteur l'aire est-elle multipliée ? En déduire l'aire du second silo. (2 pts)

Exercice 4 — Théorème d'Al-Kashi (4 pts)

Dans une ferme de charpente triangulaire \(ABC\), on donne \(AB = 7{,}0\) m, \(AC = 4{,}0\) m et l'angle \(\widehat{A} = 60°\).

  1. Énoncer la formule d'Al-Kashi permettant de calculer \(BC\). (1 pt)
  2. Calculer la longueur de l'entrait \(BC\). (3 pts)

Exercice 5 — Coordonnées polaires (5 pts)

Un point \(M\) a pour coordonnées cartésiennes \((4, 4)\) dans le plan.

  1. Calculer le rayon \(r = OM\). (1,5 pt)
  2. Déterminer l'angle polaire \(\theta\) (en radians). (1,5 pt)
  3. Un point \(N\) a pour coordonnées polaires \((6, \frac{2\pi}{3})\). Déterminer ses coordonnées cartésiennes. (2 pts)

Correction

Exercice 1 (3 pts)

a) Un plan parallèle à la base coupe le cylindre selon un cercle de même rayon \(r = 4\) cm. Aire : \(\pi r^2 = 16\pi \approx 50{,}3\) cm². (1,5 pt)

b) Un plan contenant l'axe coupe le cylindre selon un rectangle de largeur \(2r = 8\) cm et de hauteur \(h = 10\) cm. Aire : \(8 \times 10 = 80\) cm². (1,5 pt)

Exercice 2 (4 pts)

a) Par le théorème de Pythagore : \(\ell = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\) cm. (1,5 pt)

b) \(\mathcal{A}_{\text{lat}} = \pi r \ell = \pi \times 9 \times 15 = 135\pi \approx 424{,}1\) cm². (1,5 pt)

c) \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \times 81 \times 12 = 324\pi \approx 1017{,}9\) cm³. (1 pt)

Exercice 3 (4 pts)

a) Le volume est multiplié par \(k^3 = 2^3 = 8\). Volume du second silo : \(80 \times 8 = 640\) m³. (2 pts)

b) L'aire est multipliée par \(k^2 = 2^2 = 4\). Aire du second silo : \(120 \times 4 = 480\) m². (2 pts)

Exercice 4 (4 pts)

a) Loi des cosinus : \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{A})\). (1 pt)

b) \[BC^2 = 7{,}0^2 + 4{,}0^2 - 2 \times 7{,}0 \times 4{,}0 \times \cos 60°\] \[BC^2 = 49 + 16 - 56 \times 0{,}5 = 65 - 28 = 37\] \[BC = \sqrt{37} \approx 6{,}08 \text{ m}\] L'entrait mesure environ 6,08 m. (3 pts)

Exercice 5 (5 pts)

a) \(r = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\). (1,5 pt)

b) \(\tan\theta = \dfrac{4}{4} = 1\), et \(x \gt 0, y \gt 0\) (premier quadrant), donc \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\). (1,5 pt)

c) \(x = 6\cos\dfrac{2\pi}{3} = 6 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -3\) ; \(y = 6\sin\dfrac{2\pi}{3} = 6 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20\). Coordonnées cartésiennes : \((-3\,;\,3\sqrt{3})\). (2 pts)

Total : 3 + 4 + 4 + 4 + 5 = 20 points.