Fiche résumé – Configurations géométriques

Chapitre 13 | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

Six solides usuels : cube, pavé droit, pyramide, cylindre, cône, sphère — connaître volumes et aires.
La section d'un solide par un plan dépend de l'orientation du plan (cercle, rectangle, ellipse…).
Une surface de révolution est engendrée par rotation d'une génératrice autour d'un axe.
Al-Kashi calcule côtés et angles dans un triangle quelconque.
Agrandissement de facteur \(k\) : longueurs \(\times k\), aires \(\times k^2\), volumes \(\times k^3\).
Quatre systèmes de coordonnées : cartésiennes, polaires, cylindriques, sphériques.

Solides usuels

Solides de référence du chapitre

Définitions clés

Définition

Section plane : intersection d'un solide avec un plan ; figure plane dont la forme dépend du solide et de l'orientation de la coupe.

Définition

Surface de révolution : surface engendrée par la rotation d'une courbe plane (génératrice) autour d'un axe fixe.

Définition

Projection orthogonale : d'un point \(M\) sur un plan \(\mathcal{P}\), c'est le pied \(H\) de la perpendiculaire à \(\mathcal{P}\) issue de \(M\) (base du dessin technique : vues de face, dessus, profil).

Formules à connaître

Volumes et aires latérales \[\text{Cube} : V = a^3 \qquad \text{Pavé} : V = L\,l\,h\] \[\text{Cylindre} : V = \pi r^2 h,\quad \mathcal{A}_{\text{lat}} = 2\pi r h\] \[\text{Cône} : V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h,\quad \mathcal{A}_{\text{lat}} = \pi r \ell\] \[\text{Pyramide} : V = \tfrac{1}{3}\mathcal{B}\,h \qquad \text{Sphère} : V = \tfrac{4}{3}\pi R^3,\quad \mathcal{A} = 4\pi R^2\]

Apothème du cône : \(\ell = \sqrt{r^2 + h^2}\).

Théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus) \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A})\]

Généralise Pythagore (\(\widehat{A}=90°\) donne \(a^2=b^2+c^2\)). Sert à trouver un côté (2 côtés + angle compris) ou un angle (3 côtés).

Agrandissement / réduction de facteur \(k\) \[\text{longueurs} \times k \qquad \text{aires} \times k^2 \qquad \text{volumes} \times k^3\]

Coordonnées — conversions \[\text{Polaires} \to \text{cart.} : x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta \qquad (r=\sqrt{x^2+y^2})\] \[\text{Cylindriques} : x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ z = z\] \[\text{Sphériques} : x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\ y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\ z = \rho\cos\varphi\] \[\text{Distance 3D} : AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\]

Sections planes des solides

Solide	// base	// axe	oblique
Cylindre	cercle	rectangle	ellipse
Cône	cercle	—	ellipse, parabole, hyperbole
Sphère	toujours un cercle (grand cercle si passe par le centre)
Pyramide / pavé	figure semblable / rectangle	polygone (triangle, quadrilatère, hexagone…)

Méthode — Décomposer un objet réel

Méthode Volume d'un objet composé

Repérer les différentes parties de l'objet.
Associer chaque partie à un solide usuel.
Relever les dimensions de chaque partie.
Calculer chaque volume séparément, puis additionner (ou soustraire pour un creux).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Confondre aire latérale et aire totale.

✅ L'aire totale inclut les bases : cylindre \(\mathcal{A}_{\text{tot}} = 2\pi r h + 2\pi r^2\).

❌ Multiplier le volume par \(k\) (ou \(k^2\)) lors d'un agrandissement.

✅ Les volumes sont multipliés par \(k^3\), les aires par \(k^2\).

❌ Utiliser Pythagore dans un triangle non rectangle.

✅ Pour un triangle quelconque, utiliser Al-Kashi.

❌ Confondre hauteur \(h\) et apothème \(\ell\) du cône.

✅ Le volume utilise \(h\) ; l'aire latérale utilise \(\ell = \sqrt{r^2+h^2}\).