Configurations géométriques | BTS — Groupements B1, C1
| Solide | Volume | Aire latérale |
|---|---|---|
| Cube (arête \(a\)) | \(a^3\) | \(6a^2\) (totale) |
| Pavé droit (\(L \times l \times h\)) | \(Llh\) | \(2(Ll+Lh+lh)\) (totale) |
| Cylindre (\(r, h\)) | \(\pi r^2 h\) | \(2\pi rh\) |
| Cône (\(r, h, \ell\)) | \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\) | \(\pi r\ell\) |
| Sphère (\(R\)) | \(\frac{4}{3}\pi R^3\) | \(4\pi R^2\) |
| Pyramide (base \(\mathcal{B}\), \(h\)) | \(\frac{1}{3}\mathcal{B}h\) | — |
Al-Kashi : \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A})\)
Polaires : \(x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta\) | \(r = \sqrt{x^2+y^2},\; \tan\theta = y/x\)
Agrandissement \(k\) : longueurs \(\times k\), aires \(\times k^2\), volumes \(\times k^3\)
Un réservoir d'eau cylindrique a un diamètre de 2,40 m et une hauteur de 3,00 m.
Rayon : \(r = \frac{2{,}40}{2} = 1{,}20\) m.
\(V = \pi r^2 h = \pi \times 1{,}20^2 \times 3{,}00 = \pi \times 1{,}44 \times 3 = 4{,}32\pi \approx 13{,}57\) m³.
En litres : \(13{,}57 \times 1\,000 \approx 13\,570\) L.
2. Aire latérale :\(\mathcal{A}_{\text{lat}} = 2\pi r h = 2\pi \times 1{,}20 \times 3{,}00 = 7{,}2\pi \approx 22{,}62\) m².
3. Aire totale :\(\mathcal{A}_{\text{tot}} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 7{,}2\pi + 2\pi \times 1{,}44 = 7{,}2\pi + 2{,}88\pi = 10{,}08\pi \approx 31{,}67\) m².
Un élément décoratif de toiture a la forme d'une pyramide à base carrée. La base a un côté de 60 cm et la hauteur de la pyramide est de 40 cm.
Aire de la base : \(\mathcal{B} = 60^2 = 3\,600\) cm².
\(V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h = \frac{1}{3} \times 3\,600 \times 40 = 48\,000\) cm³ = 48 dm³.
2. Apothème :Le pied de l'apothème est au milieu d'un côté de la base, à une distance \(\frac{60}{2} = 30\) cm du centre. Par Pythagore :
\(a = \sqrt{h^2 + 30^2} = \sqrt{1\,600 + 900} = \sqrt{2\,500} = 50\) cm.
3. Aire latérale :Chaque face latérale est un triangle de base 60 cm et de hauteur 50 cm (apothème).
Aire d'une face : \(\frac{1}{2} \times 60 \times 50 = 1\,500\) cm².
Aire latérale (4 faces) : \(4 \times 1\,500 = 6\,000\) cm² = 0,6 m².
Une boule décorative en bois a un diamètre de 18 cm.
Rayon : \(R = 9\) cm.
\(V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \times 729 = 972\pi \approx 3\,053{,}6\) cm³.
2. Aire :\(\mathcal{A} = 4\pi R^2 = 4\pi \times 81 = 324\pi \approx 1\,017{,}9\) cm².
3. Section de la sphère :Si le plan passe à une distance \(d = 3\) cm du centre et que \(R = 9\) cm, le rayon de la section circulaire est :
\(r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{81 - 9} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49\) cm.
Un parallélépipède rectangle \(ABCDEFGH\) a pour dimensions : \(AB = 6\) cm, \(BC = 4\) cm, \(AE = 5\) cm.
Un plan parallèle à la face \(ABCD\) coupe le pavé selon un rectangle de mêmes dimensions : 6 cm × 4 cm.
2. Section par le plan (A, C, M) :\(M\) est le milieu de \([EG]\), qui est aussi le centre de la face supérieure \(EFGH\). Le plan passe par la diagonale \(AC\) de la base et le centre \(M\) de la face supérieure.
Ce plan coupe les arêtes \([EF]\) et \([GH]\) (ou \([EH]\) et \([FG]\)) selon une logique de parallélisme. La section est un quadrilatère passant par \(A\), \(C\) et deux points sur les arêtes verticales.
Diagonale de la base : \(AC = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7{,}21\) cm.
3. Volume et diagonale :\(V = 6 \times 4 \times 5 = 120\) cm³.
\(AG = \sqrt{AB^2 + BC^2 + AE^2} = \sqrt{36 + 16 + 25} = \sqrt{77} \approx 8{,}77\) cm.
Un cône de révolution a un rayon de base \(R = 12\) cm et une hauteur \(H = 20\) cm. On le coupe par un plan parallèle à la base situé à une hauteur \(h = 15\) cm de la base.
Le plan de coupe est à \(h = 15\) cm de la base, donc à \(H - h = 20 - 15 = 5\) cm du sommet.
2. Rayon de la section :Par le théorème de Thalès (section parallèle à la base), le rapport de réduction est \(k = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}\).
\(r = k \times R = \frac{1}{4} \times 12 = 3\) cm.
3. Volume du tronc :Volume du grand cône : \(V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \times 144 \times 20 = 960\pi\) cm³.
Volume du petit cône (retiré) : \(v = \frac{1}{3}\pi r^2 \times 5 = \frac{1}{3}\pi \times 9 \times 5 = 15\pi\) cm³.
Volume du tronc : \(V_{\text{tronc}} = 960\pi - 15\pi = 945\pi \approx 2\,968{,}8\) cm³.
On travaille dans le plan muni d'un repère orthonormé.
a) \(A(4, 0)\) : \(r = 4\), \(\theta = 0\). Donc \(A(4, 0)\).
b) \(B(0, -5)\) : \(r = 5\), \(\theta = -\frac{\pi}{2}\) (ou \(\frac{3\pi}{2}\)). Donc \(B\left(5, \frac{3\pi}{2}\right)\).
c) \(C(-3, 3)\) : \(r = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}\), \(\tan\theta = \frac{3}{-3} = -1\) avec \(x < 0, y > 0\) (2e quadrant), donc \(\theta = \frac{3\pi}{4}\). Ainsi \(C\left(3\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4}\right)\).
2. Polaires → cartésiennes :a) \(D\) : \(x = 6\cos\frac{\pi}{4} = 3\sqrt{2}\), \(y = 6\sin\frac{\pi}{4} = 3\sqrt{2}\). Donc \(D(3\sqrt{2}, 3\sqrt{2})\).
b) \(E\) : \(x = 10\cos\frac{2\pi}{3} = -5\), \(y = 10\sin\frac{2\pi}{3} = 5\sqrt{3}\). Donc \(E(-5, 5\sqrt{3})\).
c) \(F\) : \(x = 4\cos\frac{7\pi}{6} = -2\sqrt{3}\), \(y = 4\sin\frac{7\pi}{6} = -2\). Donc \(F(-2\sqrt{3}, -2)\).
3. Courbe \(r = 5\) :C'est l'ensemble des points à distance 5 de l'origine : un cercle centré en \(O\) de rayon 5.
Un point \(P\) à l'intérieur d'un tuyau cylindrique a pour coordonnées cylindriques \(\left(3, \frac{\pi}{3}, 7\right)\).
\(x = r\cos\theta = 3\cos\frac{\pi}{3} = 3 \times \frac{1}{2} = 1{,}5\)
\(y = r\sin\theta = 3\sin\frac{\pi}{3} = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}60\)
\(z = 7\)
Donc \(P\left(\frac{3}{2},\; \frac{3\sqrt{3}}{2},\; 7\right)\).
2. Distance à l'axe :La distance à l'axe \(Oz\) est simplement \(r = 3\).
3. Cartésiennes → cylindriques pour \(Q(-2, 2\sqrt{3}, 5)\) :\(r = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4\)
\(\tan\theta = \frac{2\sqrt{3}}{-2} = -\sqrt{3}\) avec \(x < 0, y > 0\) (2e quadrant), donc \(\theta = \frac{2\pi}{3}\).
\(z = 5\)
Donc \(Q\left(4, \frac{2\pi}{3}, 5\right)\).
Un architecte réalise une maquette d'un bâtiment à l'échelle \(\frac{1}{100}\).
Facteur d'échelle : \(k = \frac{1}{100}\). Hauteur maquette : \(25 \times \frac{1}{100} = 0{,}25\) m = 25 cm.
2. Aire de la façade :Les aires sont multipliées par \(k^2 = \frac{1}{10\,000}\).
Aire maquette : \(450 \times \frac{1}{10\,000} = 0{,}045\) m² = 450 cm².
3. Volume :Les volumes sont multipliés par \(k^3 = \frac{1}{1\,000\,000}\).
Volume maquette : \(8\,000 \times \frac{1}{1\,000\,000} = 0{,}008\) m³ = 8 000 cm³.
4. Doublement des dimensions :Si on double (\(k' = 2\)) : l'aire est multipliée par \(2^2 = \mathbf{4}\), le volume par \(2^3 = \mathbf{8}\).
Une ferme de charpente triangulaire \(ABC\) (le triangle porteur d'un toit) a les dimensions suivantes :
Al-Kashi : \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{A})\)
\(64 = 30{,}25 + 30{,}25 - 2 \times 5{,}5 \times 5{,}5 \times \cos(\widehat{A})\)
\(64 = 60{,}5 - 60{,}5\cos(\widehat{A})\)
\(\cos(\widehat{A}) = \frac{60{,}5 - 64}{60{,}5} = \frac{-3{,}5}{60{,}5} \approx -0{,}0579\)
\(\widehat{A} = \arccos(-0{,}0579) \approx 93{,}3°\)
2. Hauteur \(h\) :Le triangle est isocèle (\(AB = AC\)), donc la hauteur issue de \(A\) tombe au milieu \(M\) de \([BC]\). \(BM = 4\) m.
Par Pythagore dans \(ABM\) : \(h = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{30{,}25 - 16} = \sqrt{14{,}25} \approx 3{,}78\) m.
3. Pente (angle \(\widehat{B}\)) :\(\cos(\widehat{B}) = \frac{BM}{AB} = \frac{4}{5{,}5} \approx 0{,}7273\), donc \(\widehat{B} \approx 43{,}3°\).
La pente du toit est d'environ 43,3° (soit environ 94 %).
Un tourneur sur bois réalise un vase en faisant tourner un profil autour de l'axe vertical. Le profil est constitué de :
Volume du cylindre : \(V_1 = \pi r_1^2 h_1 = \pi \times 25 \times 12 = 300\pi\) cm³.
Volume du tronc de cône : \(V_2 = \frac{\pi h_2}{3}(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) = \frac{4\pi}{3}(25 + 15 + 9) = \frac{4\pi \times 49}{3} = \frac{196\pi}{3}\) cm³.
Volume total : \(V = 300\pi + \frac{196\pi}{3} = \frac{900\pi + 196\pi}{3} = \frac{1096\pi}{3} \approx 1\,147{,}1\) cm³ \(\approx 1{,}15\) L.
2. Aire latérale extérieure :Cylindre : \(\mathcal{A}_1 = 2\pi r_1 h_1 = 2\pi \times 5 \times 12 = 120\pi\) cm².
Tronc de cône : l'apothème est \(\ell = \sqrt{h_2^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) cm.
\(\mathcal{A}_2 = \pi(r_1 + r_2)\ell = \pi(5 + 3) \times 2\sqrt{5} = 16\sqrt{5}\,\pi \approx 112{,}3\) cm².
Aire latérale totale : \(\mathcal{A} = 120\pi + 16\sqrt{5}\pi \approx 377{,}0 + 112{,}3 \approx 489{,}3\) cm².
On se place dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\). Deux pans de toiture sont modélisés par les plans :
\(\mathcal{P}_1\) : \(-\frac{1}{2} \times 4 + 6 = -2 + 6 = 4 = z_A\). Oui, \(A \in \mathcal{P}_1\). ✓
\(\mathcal{P}_2\) : \(\frac{1}{2} \times 2 + 3 = 1 + 3 = 4 = z_A\). Oui, \(A \in \mathcal{P}_2\) aussi. ✓
Donc \(A\) est sur l'arêtier.
2. Droite d'intersection :À l'intersection, \(z\) satisfait les deux équations :
\(-\frac{1}{2}x + 6 = \frac{1}{2}y + 3\), soit \(-\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y = -3\), d'où \(x + y = 6\).
La droite d'intersection est définie par : \(\begin{cases} x + y = 6 \\ z = -\frac{1}{2}x + 6 \end{cases}\)
3. Deux points et vecteur directeur :Pour \(x = 0\) : \(y = 6\), \(z = 6\) → \(B(0, 6, 6)\).
Pour \(x = 4\) : \(y = 2\), \(z = 4\) → \(A(4, 2, 4)\).
Vecteur directeur : \(\overrightarrow{BA} = (4, -4, -2)\), soit \(\vec{u} = (2, -2, -1)\) après simplification.
Un charpentier doit réaliser un toit à quatre pans (toit en croupe) sur un bâtiment rectangulaire de 12 m × 8 m. La hauteur du faîtage est de 4 m au-dessus du plan des murs. Le faîtage mesure 4 m et est centré sur la longueur.
La base est un rectangle \(ABCD\) de 12 m × 8 m. Le faîtage \(EF\) est à 4 m de hauteur, centré, de longueur 4 m. Les projections au sol de \(E\) et \(F\) se trouvent sur l'axe de symétrie longitudinal, à 4 m des petits côtés.
2. Arbalétrier :Distance horizontale (demi-largeur) = 4 m, hauteur = 4 m.
\(\ell_{\text{arb}} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\) m.
3. Arêtier :Du bout du faîtage \(E\) (projeté au sol en \(E'\)) à l'angle \(A\) du bâtiment. Distance horizontale : \(E'A = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}\) m.
Longueur de l'arêtier : \(\ell_{\text{arr}} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{32 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\) m.
4. Angle avec l'horizontale :\(\tan\alpha = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\), donc \(\alpha = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx 35{,}3°\).
5. Aire de la toiture :Deux pans longs (trapèzes) : bases 4 m (faîtage) et 12 m (mur), hauteur inclinée = \(4\sqrt{2}\) m.
Aire d'un pan long = \(\frac{(4 + 12)}{2} \times 4\sqrt{2} = 32\sqrt{2}\) m².
Deux pans courts (triangles) : base = 8 m, hauteur inclinée = \(4\sqrt{2}\) m.
Aire d'un pan court = \(\frac{1}{2} \times 8 \times 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\) m².
Aire totale : \(2 \times 32\sqrt{2} + 2 \times 16\sqrt{2} = 96\sqrt{2} \approx 135{,}8\) m².
Sur un chantier, un silo à granulats est constitué de trois parties :
Cylindre : \(V_c = \pi R^2 h_c = \pi \times 6{,}25 \times 6 = 37{,}5\pi \approx 117{,}81\) m³.
Cône supérieur : \(V_s = \frac{1}{3}\pi R^2 h_s = \frac{1}{3}\pi \times 6{,}25 \times 1{,}5 = 3{,}125\pi \approx 9{,}82\) m³.
Trémie (tronc de cône) :
\(V_t = \frac{\pi h_t}{3}(R^2 + Rr + r^2) = \frac{2\pi}{3}(6{,}25 + 1{,}25 + 0{,}25) = \frac{2\pi \times 7{,}75}{3} = \frac{15{,}5\pi}{3} \approx 16{,}23\) m³.
Volume total : \(V = 37{,}5\pi + 3{,}125\pi + \frac{15{,}5\pi}{3} = \frac{112{,}5\pi + 9{,}375\pi + 15{,}5\pi}{3} = \frac{137{,}375\pi}{3} \approx 143{,}8\) m³.
2. Masse maximale :\(m = \rho \times V \approx 1\,500 \times 143{,}8 \approx 215\,700\) kg \(\approx 215{,}7\) tonnes.
3. Gain de volume :Facteur \(k = 1{,}2\). Le volume est multiplié par \(k^3 = 1{,}728\).
Gain : \((1{,}728 - 1) \times 100 = \mathbf{72{,}8\,\%}\).
4. Aire latérale de la trémie :Apothème : \(\ell = \sqrt{h_t^2 + (R - r)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\) m.
\(\mathcal{A}_{\text{lat}} = \pi(R + r)\ell = \pi(2{,}5 + 0{,}5) \times 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\,\pi \approx 26{,}7\) m².
Un menuisier-agenceur réalise un pied de table au tour à bois. La pièce est de révolution autour de l'axe \((Oz)\). Le profil est décrit par le rayon \(r\) en fonction de la hauteur \(z\) :
Patin (cylindre, \(r = 4\), \(h = 5\)) : \(V_1 = \pi \times 16 \times 5 = 80\pi\) cm³.
Fût conique (tronc de cône, \(R = 4\), \(r = 2{,}5\), \(h = 10\)) :
\(V_2 = \frac{10\pi}{3}(16 + 10 + 6{,}25) = \frac{10\pi \times 32{,}25}{3} = 107{,}5\pi\) cm³.
Fût principal (cylindre, \(r = 2{,}5\), \(h = 40\)) : \(V_3 = \pi \times 6{,}25 \times 40 = 250\pi\) cm³.
Col (tronc de cône, \(R = 2{,}5\), \(r' = 3{,}5\), \(h = 5\)) :
\(V_4 = \frac{5\pi}{3}(6{,}25 + 8{,}75 + 12{,}25) = \frac{5\pi \times 27{,}25}{3} = \frac{136{,}25\pi}{3} \approx 45{,}42\pi\) cm³.
Tête (cylindre, \(r = 3{,}5\), \(h = 5\)) : \(V_5 = \pi \times 12{,}25 \times 5 = 61{,}25\pi\) cm³.
Total :
\(V = 80\pi + 107{,}5\pi + 250\pi + 45{,}42\pi + 61{,}25\pi = 544{,}17\pi \approx 1\,709\) cm³.
2. Masse :\(m = 0{,}72 \times 1\,709 \approx 1\,231\) g \(\approx 1{,}23\) kg.
3. Aire latérale totale :Patin : \(\mathcal{A}_1 = 2\pi \times 4 \times 5 = 40\pi\) cm².
Fût conique : apothème \(\ell_2 = \sqrt{10^2 + 1{,}5^2} = \sqrt{102{,}25} \approx 10{,}11\) cm.
\(\mathcal{A}_2 = \pi(4 + 2{,}5) \times 10{,}11 = 65{,}72\pi\) cm².
Fût principal : \(\mathcal{A}_3 = 2\pi \times 2{,}5 \times 40 = 200\pi\) cm².
Col : apothème \(\ell_4 = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{26} \approx 5{,}10\) cm.
\(\mathcal{A}_4 = \pi(2{,}5 + 3{,}5) \times 5{,}10 = 30{,}6\pi\) cm².
Tête : \(\mathcal{A}_5 = 2\pi \times 3{,}5 \times 5 = 35\pi\) cm².
\(\mathcal{A}_{\text{totale}} = (40 + 65{,}72 + 200 + 30{,}6 + 35)\pi = 371{,}3\pi \approx 1\,167\) cm².
4. Coordonnées cartésiennes de \(P\) :\(x = 4\cos\frac{\pi}{4} = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\) cm
\(y = 4\sin\frac{\pi}{4} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\) cm
\(z = 3\) cm
Donc \(P(2\sqrt{2},\; 2\sqrt{2},\; 3)\).
5. Échelle \(\frac{3}{4}\) :Le volume est multiplié par \(k^3 = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64} \approx 0{,}422\).
\(V' = 1\,709 \times 0{,}422 \approx \mathbf{721}\) cm³.