Exercices par capacités · BTS
Dernière mise à jour : 21 juin 2026
Un cylindre de révolution a un rayon \(r = 4\) cm et une hauteur \(h = 10\) cm. Donner la nature et l'aire de la section obtenue par un plan parallèle à la base.
Une section parallèle à la base est un cercle de même rayon \(r = 4\) cm.
Aire : \(\pi r^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi \approx 50{,}3\) cm².
Reprendre le cylindre de l'exercice 1 (\(r=4\) cm, \(h=10\) cm). Donner la nature et l'aire de la section obtenue par un plan contenant l'axe.
Un plan contenant l'axe coupe le cylindre selon un rectangle de largeur \(2r = 8\) cm et de hauteur \(h = 10\) cm.
Aire : \(8 \times 10 = 80\) cm².
Associer à chaque solide et orientation de plan la nature de la section.
Une pyramide à base carrée a une base de côté \(a = 12\) cm et une hauteur \(H = 9\) cm. On la coupe par un plan parallèle à la base, à mi-hauteur. Déterminer le côté du carré obtenu en section et son aire.
Une section parallèle à la base est une réduction de la base. À mi-hauteur, le coefficient de réduction est \(k = \dfrac{H/2}{H} = \dfrac{1}{2}\) (les longueurs sont proportionnelles à la distance au sommet).
Côté de la section : \(a' = \tfrac{1}{2} \times 12 = 6\) cm. Aire : \(6^2 = 36\) cm² (soit \(\left(\tfrac12\right)^2 = \tfrac14\) de l'aire de base \(144\) cm² ✓).
Un réservoir cylindrique a un rayon \(r = 1{,}5\) m et une hauteur \(h = 4\) m. Calculer son volume (valeur exacte en \(\pi\) puis arrondie au centième de m³).
\(V = \pi r^2 h = \pi \times 1{,}5^2 \times 4 = \pi \times 2{,}25 \times 4 = 9\pi\) m³.
\(9\pi \approx 28{,}27\) m³ (soit environ 28 270 litres).
Un cône de révolution a un rayon de base \(r = 9\) cm et une hauteur \(h = 12\) cm.
1. \(\ell = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\) cm.
2. \(\mathcal{A}_{\text{lat}} = \pi r \ell = \pi \times 9 \times 15 = 135\pi \approx 424{,}1\) cm².
3. \(V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\pi \times 81 \times 12 = 324\pi \approx 1017{,}9\) cm³.
Une sphère a un rayon \(R = 6\) cm. Calculer son aire totale et son volume.
Aire : \(\mathcal{A} = 4\pi R^2 = 4\pi \times 36 = 144\pi \approx 452{,}4\) cm².
Volume : \(V = \tfrac{4}{3}\pi R^3 = \tfrac{4}{3}\pi \times 216 = 288\pi \approx 904{,}8\) cm³.
Un silo est constitué d'un cylindre de rayon \(r = 2\) m et de hauteur \(h_c = 6\) m, surmonté d'un cône de même base et de hauteur \(h_p = 3\) m. Calculer le volume total du silo.
Cylindre : \(V_c = \pi r^2 h_c = \pi \times 4 \times 6 = 24\pi\) m³.
Cône : \(V_p = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h_p = \tfrac{1}{3}\pi \times 4 \times 3 = 4\pi\) m³.
Total : \(V = 24\pi + 4\pi = 28\pi \approx 87{,}96\) m³.
On agrandit un solide en multipliant toutes ses dimensions par \(k = 3\). Par quel facteur sont multipliés ses longueurs, ses aires et son volume ?
Longueurs : \(\times k = \times 3\).
Aires : \(\times k^2 = \times 9\).
Volumes : \(\times k^3 = \times 27\).
Une maquette de pièce a un volume de \(40\) cm³. La pièce réelle est à l'échelle \(\dfrac{1}{5}\) de la maquette… non : la maquette est à l'échelle \(\dfrac{1}{5}\) de la pièce réelle. Calculer le volume de la pièce réelle.
Pour passer de la maquette à la pièce réelle, on multiplie les dimensions par \(k = 5\).
Le volume est multiplié par \(k^3 = 5^3 = 125\).
\(V_{\text{réel}} = 40 \times 125 = 5000\) cm³ = 5 L.
Une cuve sphérique a une aire extérieure de \(\mathcal{A}_1\). On construit une cuve dont toutes les dimensions sont multipliées par \(1{,}5\). Par quel facteur l'aire et le volume augmentent-ils ?
Facteur \(k = 1{,}5\).
Aire : \(\times k^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25\).
Volume : \(\times k^3 = 1{,}5^3 = 3{,}375\).
Deux cylindres semblables ont des volumes respectifs de \(54\) cm³ et \(128\) cm³. Déterminer le rapport \(k\) de leurs dimensions linéaires, puis le rapport de leurs aires.
Le rapport des volumes vaut \(k^3 = \dfrac{128}{54} = \dfrac{64}{27}\).
Donc \(k = \sqrt[3]{\dfrac{64}{27}} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}333\).
Rapport des aires : \(k^2 = \left(\dfrac{4}{3}\right)^2 = \dfrac{16}{9} \approx 1{,}778\).
Dans un triangle \(ABC\), on donne \(AB = 7\) m, \(AC = 5\) m et l'angle \(\widehat{A} = 60°\). Calculer la longueur \(BC\).
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB\,AC\cos\widehat{A} = 49 + 25 - 2\times 7\times 5\times\cos 60°\).
\(= 74 - 70 \times 0{,}5 = 74 - 35 = 39\).
\(BC = \sqrt{39} \approx 6{,}24\) m.
Dans une ferme de charpente \(ABC\), \(AB = 6{,}0\) m, \(AC = 4{,}5\) m et \(\widehat{A} = 40°\). Calculer la longueur de l'entrait \(BC\).
\(BC^2 = 6{,}0^2 + 4{,}5^2 - 2\times 6{,}0\times 4{,}5\times\cos 40°\).
\(= 36 + 20{,}25 - 54 \times 0{,}766 = 56{,}25 - 41{,}36 = 14{,}89\).
\(BC = \sqrt{14{,}89} \approx 3{,}86\) m.
Un triangle a pour côtés \(a = 8\) cm, \(b = 6\) cm, \(c = 5\) cm (\(a\) est opposé à l'angle \(\widehat{A}\)). Calculer l'angle \(\widehat{A}\).
D'Al-Kashi : \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}\), d'où \(\cos\widehat{A} = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\).
\(\cos\widehat{A} = \dfrac{36 + 25 - 64}{2\times 6\times 5} = \dfrac{-3}{60} = -0{,}05\).
\(\widehat{A} = \arccos(-0{,}05) \approx 92{,}9°\) (angle obtus, cohérent avec \(\cos\widehat{A} \lt 0\)).
Deux câbles partent d'un même point \(O\). Le premier mesure \(12\) m, le second \(9\) m, et l'angle entre eux est de \(75°\). Quelle est la distance entre leurs extrémités ?
On note \(d\) la distance entre les extrémités. D'Al-Kashi :
\(d^2 = 12^2 + 9^2 - 2\times 12\times 9\times\cos 75° = 144 + 81 - 216 \times 0{,}2588\).
\(= 225 - 55{,}91 = 169{,}09\), donc \(d = \sqrt{169{,}09} \approx 13{,}00\) m.
Un point \(M\) du plan a pour coordonnées cartésiennes \((4\,;\,4)\). Déterminer ses coordonnées polaires \((r, \theta)\).
\(r = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt 2 \approx 5{,}66\).
\(\tan\theta = \dfrac{4}{4} = 1\), avec \(x \gt 0\) et \(y \gt 0\) (1ᵉʳ quadrant), donc \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) (45°).
Coordonnées polaires : \(\left(4\sqrt 2\,;\,\dfrac{\pi}{4}\right)\).
Un point \(N\) a pour coordonnées polaires \(\left(6\,;\,\dfrac{2\pi}{3}\right)\). Déterminer ses coordonnées cartésiennes.
\(x = r\cos\theta = 6\cos\dfrac{2\pi}{3} = 6 \times\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -3\).
\(y = r\sin\theta = 6\sin\dfrac{2\pi}{3} = 6 \times \dfrac{\sqrt 3}{2} = 3\sqrt 3 \approx 5{,}20\).
Coordonnées cartésiennes : \((-3\,;\,3\sqrt 3)\).
Un point d'un silo a pour coordonnées cylindriques \(r = 5\), \(\theta = 30°\), \(z = 8\). Calculer ses coordonnées cartésiennes \((x, y, z)\).
\(x = r\cos\theta = 5\cos 30° = 5 \times \dfrac{\sqrt 3}{2} = \dfrac{5\sqrt 3}{2} \approx 4{,}33\).
\(y = r\sin\theta = 5\sin 30° = 5 \times 0{,}5 = 2{,}5\).
\(z = 8\) (inchangé).
Coordonnées cartésiennes : \((4{,}33\,;\,2{,}5\,;\,8)\).
Un topographe relève un point en coordonnées sphériques : \(\rho = 10\) m, \(\theta = 0°\) (azimut), \(\varphi = 60°\) (depuis l'axe \(Oz\)). Calculer ses coordonnées cartésiennes \((x, y, z)\).
\(x = \rho\sin\varphi\cos\theta = 10\sin 60°\cos 0° = 10 \times \dfrac{\sqrt 3}{2}\times 1 = 5\sqrt 3 \approx 8{,}66\) m.
\(y = \rho\sin\varphi\sin\theta = 10\sin 60°\sin 0° = 10 \times \dfrac{\sqrt 3}{2}\times 0 = 0\) m.
\(z = \rho\cos\varphi = 10\cos 60° = 10 \times 0{,}5 = 5\) m.
Coordonnées cartésiennes : \((5\sqrt 3\,;\,0\,;\,5) \approx (8{,}66\,;\,0\,;\,5)\) m.