Configurations géométriques | BTS | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Un technicien en usinage doit réaliser un méplat (surface plane) sur un arbre cylindrique en acier, afin d'y positionner une vis de blocage. L'arbre a un rayon \(r = 13\) mm et une longueur \(L = 60\) mm. Le méplat est obtenu en fraisant, sur toute la longueur de l'arbre, un plan parallèle à l'axe, situé à une distance \(d = 5\) mm de cet axe.
Arbre de rayon \(r=13\) mm, méplat à \(d=5\) mm de l'axe, sur toute la longueur \(L=60\) mm
1. Dans le plan de la section perpendiculaire à l'axe (vue de bout), le méplat correspond à une corde du cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\), à une distance \(d\) de \(O\). En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle \(OHM\) formé par \(r\), \(d\) et la demi-largeur \(\ell\) du méplat, calculer \(\ell\), puis la largeur totale \(2\ell\) du méplat. (2 pts)
2. D'après le cours, un plan parallèle à l'axe d'un cylindre le coupe selon un rectangle. Calculer l'aire de ce rectangle (le méplat), de largeur \(2\ell\) et de longueur \(L\). Donner le résultat en mm² puis en cm². (2 pts)
3. Que deviendrait la largeur du méplat si le plan de coupe passait par l'axe de l'arbre (\(d = 0\)) ? Retrouver ce résultat par le calcul et vérifier sa cohérence avec la propriété du cours sur la section d'un cylindre par un plan contenant son axe. (1 pt)
1. Dans le triangle rectangle \(OHM\) (où \(H\) est le pied de la perpendiculaire de \(O\) sur la corde et \(M\) une extrémité de la corde), l'hypoténuse est \(OM = r\), un côté est \(OH = d\) et l'autre est \(HM = \ell\). Le triangle est rectangle en \(H\), donc par le théorème de Pythagore :
\[r^2 = d^2 + \ell^2 \quad \Rightarrow \quad \ell = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ mm}\]
La largeur totale du méplat est \(2\ell = 24\) mm.
2. Aire du méplat \(= 2\ell \times L = 24 \times 60 = 1\,440\) mm² \(= 14{,}4\) cm².
3. Si \(d = 0\), alors \(\ell = \sqrt{r^2 - 0^2} = \sqrt{r^2} = r = 13\) mm, donc la largeur du méplat devient \(2\ell = 2r = 26\) mm : c'est exactement le diamètre de l'arbre. On retrouve bien la propriété du cours : « un plan contenant l'axe coupe le cylindre selon un rectangle de largeur \(2r\) » — dans ce cas limite, le méplat occuperait toute la moitié de l'arbre (coupe diamétrale).
Un technicien en usinage réalise, sur un tour, une douille tronconique (tronc de cône). On modélise la pièce comme la partie d'un cône complet fictif de sommet \(S\), de rayon de base \(R = 6\) cm et de hauteur totale \(H = 12\) cm, tronqué par un plan parallèle à la base à l'endroit où le rayon vaut \(r = 3\) cm.
Cône fictif (pointillés) et douille réelle (tronc de cône, trait plein) — \(R=6\) cm, \(r=3\) cm, \(H=12\) cm
1. La section d'un cône par un plan parallèle à sa base est une réduction du cercle de base, de rapport \(k\). Déterminer \(k = \dfrac{r}{R}\), puis en déduire la hauteur \(h\) du petit cône fictif (entre le sommet \(S\) et le plan de troncature), sachant qu'un agrandissement/réduction de rapport \(k\) multiplie aussi les longueurs mesurées depuis le sommet, donc \(h = k \times H\). (2 pts)
2. Calculer le volume \(V_1\) du cône complet (rayon \(R\), hauteur \(H\)) et le volume \(V_2\) du petit cône fictif (rayon \(r\), hauteur \(h\)). Donner les valeurs exactes (en fonction de \(\pi\)) puis les valeurs approchées en cm³, arrondies au dixième. (2 pts)
3. Le volume de la douille tronconique s'obtient par différence : \(V = V_1 - V_2\). Calculer \(V\), valeur exacte puis arrondie au dixième de cm³. (1 pt)
1. \(k = \dfrac{r}{R} = \dfrac{3}{6} = 0{,}5\). La hauteur du petit cône fictif est \(h = k \times H = 0{,}5 \times 12 = 6\) cm.
2. \(V_1 = \dfrac{1}{3}\pi R^2 H = \dfrac{1}{3}\pi \times 6^2 \times 12 = \dfrac{1}{3}\pi \times 36 \times 12 = 144\pi \approx 452{,}4\) cm³.
\(V_2 = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \times 3^2 \times 6 = \dfrac{1}{3}\pi \times 9 \times 6 = 18\pi \approx 56{,}5\) cm³.
3. \(V = V_1 - V_2 = 144\pi - 18\pi = 126\pi \approx 395{,}8\) cm³.
Un bureau d'études en construction métallique conçoit une ferme triangulée \(ABC\) destinée à supporter la toiture d'un hangar industriel. On donne \(AB = 8\) m, \(AC = 6\) m et \(\widehat{BAC} = 70°\).
Ferme triangulée \(ABC\) — \(AB=8\) m, \(AC=6\) m, \(\widehat{BAC}=70°\), \(H\) = projection orthogonale de \(C\) sur \((AB)\)
1. Calculer la longueur \(BC\) à l'aide du théorème d'Al-Kashi. Arrondir au centimètre près. (2 pts)
2. Calculer l'aire du triangle \(ABC\) à l'aide de la formule \(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\widehat{BAC})\). Arrondir au centième de m² près. (2 pts)
3. On note \(H\) le pied de la projection orthogonale de \(C\) sur la droite \((AB)\). En utilisant l'aire calculée à la question précédente et la relation \(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times AB \times CH\), calculer la longueur \(CH\). Arrondir au centimètre près. (1 pt)
1. D'après le théorème d'Al-Kashi appliqué au triangle \(ABC\) :
\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})\]
\[BC^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \times 8 \times 6 \times \cos(70°) = 64 + 36 - 96 \times 0{,}3420 \approx 100 - 32{,}83 = 67{,}17\]
\[BC = \sqrt{67{,}17} \approx 8{,}20 \text{ m}\]
2. \(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 6 \times \sin(70°) = 24 \times 0{,}9397 \approx 22{,}55\) m².
3. De \(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times AB \times CH\), on tire \(CH = \dfrac{2\mathcal{A}}{AB} = \dfrac{2 \times 22{,}55}{8} \approx 5{,}64\) m.
Un dessinateur-projeteur modélise une pièce mécanique dans un logiciel de CAO, muni d'un repère \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\). La position d'un point \(M\), centre d'un perçage sur la pièce, est donnée en coordonnées cylindriques : \(r = 10\) mm, \(\theta = 120°\), \(z = 15\) mm.
Point \(M\) en coordonnées cylindriques \((r=10\text{ mm},\ \theta=120°,\ z=15\text{ mm})\) — \(H\) : projection orthogonale de \(M\) sur le plan de base
1. Déterminer les coordonnées cartésiennes \((x, y, z)\) du point \(M\). On donnera les valeurs exactes. (2 pts)
2. Calculer la distance \(OM\) à l'aide de la formule de la distance dans l'espace, en utilisant les coordonnées cartésiennes trouvées à la question précédente. Arrondir au centième de mm. (2 pts)
3. Un second point \(N\), situé dans le plan \((xOy)\) (cote \(z = 0\)), a pour coordonnées cartésiennes \((8\,;\,6\,;\,0)\) mm. Déterminer les coordonnées polaires \((r, \theta)\) de sa projection dans le plan \((xOy)\). (1 pt)
1. En coordonnées cylindriques, \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), \(z = z\) :
\(x = 10\cos(120°) = 10 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -5\) mm.
\(y = 10\sin(120°) = 10 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66\) mm.
\(z = 15\) mm. Donc \(M(-5\,;\,5\sqrt{3}\,;\,15)\).
2. \(OM = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{(-5)^2 + (5\sqrt3)^2 + 15^2} = \sqrt{25 + 75 + 225} = \sqrt{325} \approx 18{,}03\) mm.
Remarque : en coordonnées cylindriques, on retrouve directement \(OM = \sqrt{r^2+z^2} = \sqrt{10^2+15^2} = \sqrt{325} \approx 18{,}03\) mm — même résultat, ce qui valide le calcul.
3. \(r = \sqrt{8^2+6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10\) mm. \(\tan\theta = \dfrac{6}{8} = 0{,}75\), avec \(x>0\) et \(y>0\) (premier quadrant), donc \(\theta = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}87°\).
Coordonnées polaires de la projection : \((10\,;\,36{,}87°)\).