← Retour au sommaire
Je vais apprendre à :
- Maîtriser les différentes formes d'un nombre complexe (algébrique, trigonométrique, exponentielle)
- Représenter un nombre complexe dans le plan et calculer son module et son argument
- Résoudre des équations du second degré à discriminant négatif
- Effectuer des opérations en forme exponentielle (produit, quotient, puissance)
- Déterminer des ensembles de points définis par module ou argument
- Appliquer les nombres complexes à l'électricité : impédance complexe, signaux sinusoïdaux
Situation professionnelle
Analyse d'un circuit électrique RLC
Un technicien en électrotechnique doit calculer l'impédance totale d'un circuit comportant une résistance \(R = 100\;\Omega\), une bobine d'inductance \(L = 0{,}2\;\text{H}\) et un condensateur de capacité \(C = 10\;\mu\text{F}\), alimenté par un signal sinusoïdal de fréquence \(f = 50\;\text{Hz}\).
Problème : Comment déterminer le courant dans le circuit et le déphasage entre tension et courant ? La réponse passe par les nombres complexes et la notation \(Z = R + jL\omega - \dfrac{j}{C\omega}\).
1. Forme algébrique et représentation géométrique
1.1 L'unité imaginaire \(j\)
Définition — Unité imaginaire
On note \(j\) le nombre tel que :
\[\boxed{j^2 = -1}\]
Convention BTS : en sciences de l'ingénieur, on utilise \(j\) (et non \(i\)) pour éviter la confusion avec l'intensité du courant électrique.
Définition — Nombre complexe, forme algébrique
Un
nombre complexe est un nombre de la forme :
\[z = a + jb\]
où \(a\) et \(b\) sont des réels. On note \(\mathbb{C}\) l'ensemble des nombres complexes.
- \(a = \text{Re}(z)\) est la partie réelle de \(z\)
- \(b = \text{Im}(z)\) est la partie imaginaire de \(z\)
Attention
La partie imaginaire de \(z = 3 + 5j\) est \(5\) (un réel), et non \(5j\). On écrit \(\text{Im}(z) = 5\).
Propriété — Égalité de deux complexes
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales :
\[a + jb = c + jd \iff a = c \;\text{ et }\; b = d\]
1.2 Plan complexe et affixe
Définition — Plan complexe, affixe
Le
plan complexe est un repère \((O\,;\,\vec{u}\,,\,\vec{v})\) dans lequel tout nombre complexe \(z = a + jb\) est représenté par le point \(M(a\,;\,b)\).
- L'axe des abscisses est l'axe réel
- L'axe des ordonnées est l'axe imaginaire
- \(z\) est l'affixe du point \(M\), et \(M\) est l'image de \(z\)
Plan complexe — Représentation de nombres complexes
Les points représentent les complexes \(z_1 = 3 + 2j\), \(z_2 = -2 + 4j\), \(z_3 = -3 - j\), \(z_4 = 1 - 3j\) et \(z_5 = 4j\).
Exemple — Placer des nombres complexes
Représentons dans le plan complexe : \(z_1 = 3 + 2j\), \(z_2 = -2 + 4j\), \(z_3 = -3 - j\), \(z_4 = 1 - 3j\).
- \(z_1\) : point \(M_1(3\,;\,2)\) → 3 vers la droite, 2 vers le haut
- \(z_2\) : point \(M_2(-2\,;\,4)\) → 2 vers la gauche, 4 vers le haut
- \(z_3\) : point \(M_3(-3\,;\,-1)\) → 3 vers la gauche, 1 vers le bas
- \(z_4\) : point \(M_4(1\,;\,-3)\) → 1 vers la droite, 3 vers le bas
1.3 Conjugué
Définition — Conjugué
Le conjugué du nombre complexe \(z = a + jb\) est le nombre :
\[\boxed{\bar{z} = a - jb}\]
Géométriquement, \(\bar{z}\) est le symétrique de \(z\) par rapport à l'axe réel.
Propriétés du conjugué
Pour tous \(z, z_1, z_2 \in \mathbb{C}\) :
- \(\overline{z_1 + z_2} = \bar{z}_1 + \bar{z}_2\)
- \(\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2\)
- \(\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2}\) (si \(z_2 \neq 0\))
- \(z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2\) (toujours réel positif)
- \(z + \bar{z} = 2\,\text{Re}(z)\) et \(z - \bar{z} = 2j\,\text{Im}(z)\)
- \(\bar{\bar{z}} = z\)
Méthode — Extraire partie réelle et imaginaire
- \(\text{Re}(z) = \dfrac{z + \bar{z}}{2}\)
- \(\text{Im}(z) = \dfrac{z - \bar{z}}{2j}\)
1.4 Module
Définition — Module
Le module de \(z = a + jb\) est le réel positif :
\[\boxed{|z| = \sqrt{a^2 + b^2}}\]
Géométriquement, \(|z|\) est la distance du point \(M\) à l'origine \(O\).
Propriétés du module
- \(|z| = 0 \iff z = 0\)
- \(|z|^2 = z \cdot \bar{z}\)
- \(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
- \(\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}\)
- \(|\bar{z}| = |z|\)
- Inégalité triangulaire : \(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\)
Exemple — Calculs de modules
\(z_1 = 3 + 4j\) → \(|z_1| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
\(z_2 = -1 + j\) → \(|z_2| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)
\(z_3 = 6j\) → \(|z_3| = \sqrt{0 + 36} = 6\)
1Mini-exercice — Module et conjugué
Soit \(z = -5 + 12j\). Calculer \(\bar{z}\), \(|z|\) et \(z \cdot \bar{z}\).
Voir la correction
\(\bar{z} = -5 - 12j\)
\(|z| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)
\(z \cdot \bar{z} = |z|^2 = 169\)
Vérification : \((-5 + 12j)(-5 - 12j) = 25 - 144j^2 = 25 + 144 = 169\) ✓
2. Équations du second degré à coefficients réels
Propriété — Discriminant négatif
Soit l'équation \(az^2 + bz + c = 0\) avec \(a, b, c \in \mathbb{R}\) et \(a \neq 0\).
Si le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac < 0\), l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
\[\boxed{z_1 = \frac{-b + j\sqrt{|\Delta|}}{2a} \qquad z_2 = \frac{-b - j\sqrt{|\Delta|}}{2a} = \bar{z}_1}\]
Attention
Ne pas oublier que \(\sqrt{-k} = j\sqrt{k}\) pour \(k > 0\). Le \(j\) sort de la racine, on écrit \(j\sqrt{|\Delta|}\).
Méthode — Résoudre dans \(\mathbb{C}\) une équation du 2nd degré
- Calculer \(\Delta = b^2 - 4ac\)
- Si \(\Delta \geq 0\) : solutions réelles classiques
- Si \(\Delta < 0\) : poser \(\Delta' = |\Delta|\) et écrire :
\[z_1 = \frac{-b + j\sqrt{\Delta'}}{2a}, \quad z_2 = \frac{-b - j\sqrt{\Delta'}}{2a}\]
- Vérifier que \(z_1\) et \(z_2\) sont bien conjugués
Exemple résolu — Équation du 2nd degré
Résoudre \(z^2 - 4z + 13 = 0\).
\(\Delta = 16 - 52 = -36 < 0\), donc \(\Delta' = 36\) et \(\sqrt{\Delta'} = 6\).
\(z_1 = \dfrac{4 + 6j}{2} = 2 + 3j \qquad z_2 = \dfrac{4 - 6j}{2} = 2 - 3j\)
Vérification : \(z_1 + z_2 = 4 = -\dfrac{b}{a}\) ✓ et \(z_1 \cdot z_2 = (2+3j)(2-3j) = 4 + 9 = 13 = \dfrac{c}{a}\) ✓
2Mini-exercice — Équation du 2nd degré
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 + 2z + 5 = 0\).
Voir la correction
\(\Delta = 4 - 20 = -16 < 0\), donc \(\Delta' = 16\) et \(\sqrt{\Delta'} = 4\).
\(z_1 = \dfrac{-2 + 4j}{2} = -1 + 2j\)
\(z_2 = \dfrac{-2 - 4j}{2} = -1 - 2j = \bar{z}_1\)
3. Forme trigonométrique et exponentielle
3.1 Argument d'un nombre complexe
Définition — Argument
L'
argument d'un nombre complexe non nul \(z\), noté \(\arg(z)\), est l'angle \(\theta\) (en radians) entre l'axe réel positif et le vecteur \(\overrightarrow{OM}\), mesuré dans le sens trigonométrique.
L'argument est défini modulo \(2\pi\).
Si \(z = a + jb\) avec \(|z| = r\), alors :
\[\cos\theta = \frac{a}{r}, \quad \sin\theta = \frac{b}{r}\]
Méthode — Trouver l'argument
- Calculer \(|z| = r\)
- Calculer \(\cos\theta = \frac{a}{r}\) et \(\sin\theta = \frac{b}{r}\)
- Déterminer \(\theta\) à l'aide du cercle trigonométrique (attention au quadrant !)
3.2 Forme trigonométrique
Définition — Forme trigonométrique
Tout nombre complexe non nul \(z\) peut s'écrire sous forme trigonométrique :
\[\boxed{z = r(\cos\theta + j\sin\theta)}\]
où \(r = |z|\) (module) et \(\theta = \arg(z)\) (argument).
3.3 Forme exponentielle et formule d'Euler
À retenir — Formule d'Euler
\[\boxed{e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta}\]
Cette formule fondamentale permet de passer de la forme trigonométrique à la forme exponentielle.
Définition — Forme exponentielle
Tout nombre complexe non nul \(z\) peut s'écrire sous forme exponentielle :
\[\boxed{z = r\,e^{j\theta}}\]
où \(r = |z| > 0\) et \(\theta = \arg(z)\).
Conséquences de la formule d'Euler
- \(e^{j\pi} = -1\) (formule d'Euler remarquable)
- \(e^{j\pi/2} = j\)
- \(e^{-j\theta} = \cos\theta - j\sin\theta\)
- \(\cos\theta = \dfrac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2}\) et \(\sin\theta = \dfrac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j}\)
3.4 Passage entre les trois formes
Exemple résolu — Passage entre formes
a) Écrire \(z = 1 + j\) sous forme exponentielle.
\(|z| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\).
\(\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\) et \(\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\), donc \(\theta = \frac{\pi}{4}\).
\(\boxed{z = \sqrt{2}\,e^{j\pi/4}}\)
b) Écrire \(z = 3\,e^{j\pi/3}\) sous forme algébrique.
\(z = 3\left(\cos\frac{\pi}{3} + j\sin\frac{\pi}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}\,j\)
3Mini-exercice — Formes d'un complexe
Écrire \(z = -\sqrt{3} + j\) sous forme trigonométrique puis exponentielle.
Voir la correction
\(|z| = \sqrt{3 + 1} = 2\).
\(\cos\theta = \frac{-\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\theta = \frac{1}{2}\), donc \(\theta = \frac{5\pi}{6}\).
Forme trigonométrique : \(z = 2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + j\sin\frac{5\pi}{6}\right)\)
Forme exponentielle : \(z = 2\,e^{j5\pi/6}\)
4. Opérations en forme exponentielle
Propriété — Produit
Si \(z_1 = r_1\,e^{j\theta_1}\) et \(z_2 = r_2\,e^{j\theta_2}\), alors :
\[\boxed{z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \, e^{j(\theta_1 + \theta_2)}}\]
- Les modules se multiplient : \(|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
- Les arguments s'additionnent : \(\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)\; [2\pi]\)
Propriété — Quotient
\[\boxed{\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\,e^{j(\theta_1 - \theta_2)}}\]
- Les modules se divisent : \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\)
- Les arguments se soustraient : \(\arg\!\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)\; [2\pi]\)
Propriété — Puissance
\[\boxed{z^n = r^n\,e^{jn\theta}}\]
Le module est élevé à la puissance \(n\), l'argument est multiplié par \(n\).
Exemple résolu — Opérations
Soient \(z_1 = 2\,e^{j\pi/6}\) et \(z_2 = 3\,e^{j\pi/4}\).
\(z_1 \cdot z_2 = 6\,e^{j(\pi/6 + \pi/4)} = 6\,e^{j \cdot 5\pi/12}\)
\(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{2}{3}\,e^{j(\pi/6 - \pi/4)} = \dfrac{2}{3}\,e^{-j\pi/12}\)
\(z_1^3 = 8\,e^{j \cdot 3\pi/6} = 8\,e^{j\pi/2} = 8j\)
4Mini-exercice — Calcul en forme exponentielle
Soient \(z_1 = 4\,e^{j\pi/3}\) et \(z_2 = 2\,e^{-j\pi/6}\). Calculer \(z_1 \cdot z_2\), \(\dfrac{z_1}{z_2}\) et \(z_2^4\).
Voir la correction
\(z_1 \cdot z_2 = 4 \times 2\,e^{j(\pi/3 - \pi/6)} = 8\,e^{j\pi/6}\)
\(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{4}{2}\,e^{j(\pi/3 + \pi/6)} = 2\,e^{j\pi/2} = 2j\)
\(z_2^4 = 2^4\,e^{j \cdot 4 \cdot (-\pi/6)} = 16\,e^{-j2\pi/3}\)
Forme algébrique de \(z_2^4\) : \(16\left(\cos\frac{-2\pi}{3} + j\sin\frac{-2\pi}{3}\right) = 16\left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}j\right) = -8 - 8\sqrt{3}\,j\)
5. Ensembles de points dans le plan complexe
Propriété — Cercle
L'ensemble des points \(M\) d'affixe \(z\) tels que :
\[\boxed{|z - a| = k \quad (k > 0)}\]
est le
cercle de centre \(A\) (d'affixe \(a\)) et de rayon \(k\).
En effet, \(|z - a|\) représente la distance \(AM\).
Propriété — Demi-droite
L'ensemble des points \(M\) d'affixe \(z\) (\(z \neq a\)) tels que :
\[\boxed{\arg(z - a) = \alpha}\]
est la demi-droite d'origine \(A\) (d'affixe \(a\)), faisant un angle \(\alpha\) avec l'axe réel.
Ensemble \(|z - (2+j)| = 3\) — Cercle de centre \(A(2\,;\,1)\) et de rayon 3
Exemple — Ensembles de points
a) \(|z - 3| = 2\) : cercle de centre \(A(3\,;\,0)\) et de rayon 2.
b) \(|z + 1 - 2j| = 4\) : on écrit \(|z - (-1 + 2j)| = 4\), cercle de centre \(B(-1\,;\,2)\) et de rayon 4.
c) \(\arg(z - 1) = \frac{\pi}{4}\) : demi-droite d'origine \(C(1\,;\,0)\), formant un angle de 45° avec l'axe réel.
5Mini-exercice — Ensembles de points
Décrire géométriquement les ensembles suivants :
a) \(|z - 2 + 3j| = 5\) b) \(|z| = |z - 4|\) c) \(\arg(z + 1) = \frac{\pi}{3}\)
Voir la correction
a) \(|z - (2 - 3j)| = 5\) : cercle de centre \((2\,;\,-3)\) et de rayon 5.
b) \(|z| = |z - 4|\) signifie \(OM = AM\) avec \(A(4\,;\,0)\) : médiatrice du segment \([OA]\), soit la droite \(x = 2\).
c) \(\arg(z - (-1)) = \frac{\pi}{3}\) : demi-droite d'origine \((-1\,;\,0)\), faisant un angle de \(\frac{\pi}{3}\) avec l'axe réel.
6. Transformations du plan complexe
Définition — Translation
La
translation de vecteur \(\vec{w}\) (d'affixe \(b\)) est la transformation \(z \mapsto z' = z + b\).
Chaque point se déplace du même vecteur.
Définition — Rotation-homothétie
La transformation \(z \mapsto z' = a \cdot z\) avec \(a = r\,e^{j\alpha}\) est une :
- Rotation d'angle \(\alpha\) (si \(r = 1\))
- Homothétie de rapport \(r\) (si \(\alpha = 0\))
- Similitude directe (cas général) : rotation d'angle \(\alpha\) combinée à une homothétie de rapport \(r\)
Définition — Symétrie par rapport à l'axe réel
La transformation \(z \mapsto z' = \bar{z}\) est la symétrie par rapport à l'axe réel (axe des abscisses).
Définition — Inversion
La transformation \(z \mapsto z' = \dfrac{1}{z}\) (pour \(z \neq 0\)) est l'
inversion.
En forme exponentielle : si \(z = r\,e^{j\theta}\), alors \(\frac{1}{z} = \frac{1}{r}\,e^{-j\theta}\).
Exemple — Rotation d'un motif
Un agenceur doit faire tourner un motif de 90° autour de l'origine. Si un sommet est au point d'affixe \(z = 3 + 2j\), l'image par la rotation de \(\pi/2\) est :
\(z' = e^{j\pi/2} \cdot z = j \cdot (3 + 2j) = 3j + 2j^2 = -2 + 3j\)
Le point \((3\,;\,2)\) a pour image \((-2\,;\,3)\) : rotation d'un quart de tour dans le sens trigonométrique. ✓
7. Applications professionnelles
7.1 Impédance complexe en électricité
À retenir — Impédance complexe
En régime sinusoïdal permanent de pulsation \(\omega = 2\pi f\), l'impédance complexe d'un circuit est :
- Résistance : \(\underline{Z}_R = R\)
- Bobine : \(\underline{Z}_L = jL\omega\)
- Condensateur : \(\underline{Z}_C = \dfrac{1}{jC\omega} = -\dfrac{j}{C\omega}\)
Circuit RLC série :
\[\boxed{\underline{Z} = R + jL\omega - \frac{j}{C\omega} = R + j\!\left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)}\]
Propriété — Module et argument de l'impédance
- Le module \(|\underline{Z}|\) donne l'impédance en ohms : \(|\underline{Z}| = \sqrt{R^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2}\)
- L'argument \(\varphi = \arg(\underline{Z})\) donne le déphasage tension/courant : \(\tan\varphi = \frac{L\omega - \frac{1}{C\omega}}{R}\)
Exemple résolu — Circuit RLC (situation de départ)
Reprenons la situation professionnelle : \(R = 100\;\Omega\), \(L = 0{,}2\;\text{H}\), \(C = 10\;\mu\text{F}\), \(f = 50\;\text{Hz}\).
\(\omega = 2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314{,}2\;\text{rad/s}\)
\(L\omega = 0{,}2 \times 100\pi \approx 62{,}8\;\Omega\)
\(\frac{1}{C\omega} = \frac{1}{10 \times 10^{-6} \times 100\pi} \approx 318{,}3\;\Omega\)
\(\underline{Z} = 100 + j(62{,}8 - 318{,}3) = 100 - 255{,}5j\;\;\Omega\)
\(|\underline{Z}| = \sqrt{100^2 + 255{,}5^2} = \sqrt{10\,000 + 65\,280} \approx 274{,}4\;\Omega\)
\(\varphi = \arctan\!\left(\frac{-255{,}5}{100}\right) \approx -1{,}20\;\text{rad} \approx -68{,}6°\)
Interprétation : le déphasage est négatif (\(\varphi < 0\)), donc le circuit est capacitif : le courant est en avance sur la tension. L'effet du condensateur domine celui de la bobine.
Représentation de l'impédance \(\underline{Z} = 100 - 255{,}5j\) dans le plan complexe
L'impédance est représentée comme un vecteur. La partie réelle (R) est sur l'axe horizontal, la partie imaginaire (réactance X) sur l'axe vertical.
7.2 Représentation de signaux sinusoïdaux
Propriété — Signal sinusoïdal et notation complexe
Un signal sinusoïdal \(u(t) = U_m \cos(\omega t + \varphi)\) est représenté par le nombre complexe :
\[\underline{U} = U_m\,e^{j\varphi}\]
La valeur instantanée se retrouve par : \(u(t) = \text{Re}\!\left(\underline{U}\,e^{j\omega t}\right)\).
Cette représentation simplifie considérablement les calculs de circuits en régime sinusoïdal (diagrammes de Nyquist, Bode).
7.3 Géométrie et transformations
Exemple — Rotation d'un panneau en agencement
Un technicien agenceur dessine un panneau rectangulaire dont les quatre sommets ont pour affixes : \(z_1 = 0\), \(z_2 = 4\), \(z_3 = 4 + 2j\), \(z_4 = 2j\).
Il doit faire pivoter le panneau de 30° autour de l'origine. La rotation correspond à la multiplication par \(e^{j\pi/6}\).
\(z'_2 = 4\,e^{j\pi/6} = 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{j}{2}\right) = 2\sqrt{3} + 2j \approx 3{,}46 + 2j\)
Les dimensions du panneau sont conservées (la rotation ne déforme pas la figure).
6Mini-exercice — Impédance complexe
Un circuit série RL comporte \(R = 47\;\Omega\) et \(L = 0{,}15\;\text{H}\). La fréquence est \(f = 50\;\text{Hz}\).
a) Écrire l'impédance complexe \(\underline{Z}\).
b) Calculer \(|\underline{Z}|\) et \(\varphi = \arg(\underline{Z})\).
Voir la correction
a) \(\omega = 2\pi \times 50 = 100\pi\). \(\underline{Z} = R + jL\omega = 47 + j \times 0{,}15 \times 100\pi = 47 + 47{,}1j\;\Omega\)
b) \(|\underline{Z}| = \sqrt{47^2 + 47{,}1^2} = \sqrt{2\,209 + 2\,218} = \sqrt{4\,427} \approx 66{,}5\;\Omega\)
\(\varphi = \arctan\!\left(\frac{47{,}1}{47}\right) = \arctan(1{,}002) \approx 0{,}786\;\text{rad} \approx 45{,}1°\)
Le circuit est inductif (\(\varphi > 0\)) : la tension est en avance sur le courant.