BTS — Groupements B1, B2, C1
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Ces outils sont réinvestis dans les chapitres Fonctions d'une variable réelle et Fonctions pour le traitement du signal.
Manipule les figures et mets les animations en pause pour relier les calculs aux images.
Un objectif pour la fin du chapitre : il n’est pas nécessaire de savoir utiliser les formules électriques ci-dessous pour commencer. Nous allons d’abord apprendre à représenter et à calculer avec les complexes, puis revenir à ce circuit en section 7.
Un technicien en électrotechnique étudie un circuit RLC série, en régime sinusoïdal permanent. La bobine et le condensateur sont supposés idéaux.
| Grandeur | Valeur |
|---|---|
| Résistance \(R\) | \(100\;\Omega\) |
| Inductance \(L\) | \(0{,}2\;\text{H}\) |
| Capacité \(C\) | \(10\;\mu\text{F}\) |
| Fréquence \(f\) | \(50\;\text{Hz}\) |
| Tension efficace \(U_{\mathrm{eff}}\) | \(230\;\text{V}\) |
Problème : Comment déterminer le courant dans le circuit et le déphasage entre tension et courant ? La réponse passe par les nombres complexes et la notation \(Z = R + jL\omega - \dfrac{j}{C\omega}\).
Notation : l'unité imaginaire est habituellement notée \(i\) en mathématiques. Dans cette leçon, on utilise \(j\), comme en électricité, pour éviter la confusion avec l'intensité du courant.
Représentons dans le plan complexe : \(z_1 = 3 + 2j\), \(z_2 = -2 + 4j\), \(z_3 = -3 - j\), \(z_4 = 1 - 3j\).
a) Donner \(\text{Re}(z)\), \(\text{Im}(z)\) et les coordonnées du point image \(M\) pour \(z = -4 + 7j\).
b) Déterminer les réels \(x\) et \(y\) tels que \((x - 1) + j(y + 2) = 3 - 5j\).
a) Dans \(z=-4+7j\), on lit \(a=-4\) et \(b=7\). Ainsi \(\operatorname{Re}(z)=-4\), \(\operatorname{Im}(z)=7\) et \(M(-4;7)\).
b) On identifie séparément les parties réelles et imaginaires :
\[\begin{aligned}x-1&=3\\x&=3+1=4,\\y+2&=-5\\y&=-5-2=-7.\end{aligned}\]Vérification :
\[\begin{aligned}(4-1)+j(-7+2)&=3+j(-5)\\&=3-5j.\end{aligned}\]Réponse : \(\boxed{x=4\text{ et }y=-7}\).
Pour \(z=a+jb\), le conjugué est \(\bar z=a-jb\). On additionne ou on soustrait :
\[\begin{aligned}z+\bar z&=(a+jb)+(a-jb)\\&=a+a+jb-jb=2a,\\z-\bar z&=(a+jb)-(a-jb)\\&=a-a+jb+jb=2jb.\end{aligned}\]On divise la première égalité par 2 et la seconde par \(2j\neq0\) :
\[\operatorname{Re}(z)=\frac{z+\bar z}{2},\qquad \operatorname{Im}(z)=\frac{z-\bar z}{2j}.\]Exemple : pour \(z=3+5j\), \(\bar z=3-5j\).
\[\begin{aligned}\operatorname{Re}(z)&=\frac{(3+5j)+(3-5j)}2\\&=\frac62=3,\\\operatorname{Im}(z)&=\frac{(3+5j)-(3-5j)}{2j}\\&=\frac{10j}{2j}=5.\end{aligned}\]La partie imaginaire est bien le nombre réel 5.
On repère d’abord \(a\) et \(b\), puis on applique \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\). Cette formule vient de Pythagore dans le repère orthonormé : \(OM^2=a^2+b^2\).
1. Pour \(z_1=3+4j\) : \(a=3\), \(b=4\).
\[|z_1|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.\]2. Pour \(z_2=-1+j\) : \(a=-1\), \(b=1\), car \(j=1j\).
\[|z_2|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt2.\]Les parenthèses sont essentielles : \((-1)^2=(-1)\times(-1)=1\).
3. Pour \(z_3=6j=0+6j\) : \(a=0\), \(b=6\).
\[|z_3|=\sqrt{0^2+6^2}=\sqrt{0+36}=\sqrt{36}=6.\]Soit \(z = -5 + 12j\). Calculer \(\bar{z}\), \(|z|\) et \(z \cdot \bar{z}\).
1. Conjugué : on conserve la partie réelle et on change le signe de la partie imaginaire : \(\bar z=-5-12j\).
2. Module : \(a=-5\), \(b=12\).
\[\begin{aligned}|z|&=\sqrt{(-5)^2+12^2}\\&=\sqrt{25+144}\\&=\sqrt{169}=13.\end{aligned}\]3. Produit : la propriété donne \(z\bar z=|z|^2=13^2=169\). On peut vérifier en développant :
\[\begin{gathered}(-5+12j)(-5-12j)\\=25+60j-60j-144j^2\\=25-144\times(-1)\\=25+144=169.\end{gathered}\]Les termes en \(j\) s’annulent : le résultat est réel.
Avec \(z_1=2+3j\) et \(z_2=1-j\), on procède comme avec une expression algébrique, en utilisant \(j^2=-1\).
Somme : on regroupe les réels, puis les termes en \(j\).
\[\begin{aligned}z_1+z_2&=(2+3j)+(1-j)\\&=(2+1)+(3-1)j\\&=\boxed{3+2j}.\end{aligned}\]Différence : le signe « moins » devant la deuxième parenthèse change les deux signes.
\[\begin{aligned}z_1-z_2&=(2+3j)-(1-j)\\&=2+3j-1+j\\&=(2-1)+(3+1)j\\&=\boxed{1+4j}.\end{aligned}\]Produit : on distribue chacun des deux termes de la première parenthèse.
\[\begin{aligned}z_1z_2&=(2+3j)(1-j)\\&=2(1-j)+3j(1-j)\\&=2-2j+3j-3j^2\\&=2+j-3\times(-1)\\&=2+j+3=\boxed{5+j}.\end{aligned}\]Le produit \(3j\times(-j)\) vaut \(-3j^2=3\), et non \(-3j\).
Pour diviser par \(c+jd\neq0\), on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre, le conjugué \(c-jd\). La valeur du quotient ne change pas.
Pourquoi ce choix ? Les termes imaginaires du dénominateur s’annulent :
\[\begin{aligned}(c+jd)(c-jd)&=c^2-cjd+cjd-j^2d^2\\&=c^2-(-1)d^2=c^2+d^2.\end{aligned}\]Ce nombre est strictement positif car \(c\) et \(d\) ne sont pas tous les deux nuls. D’où :
\[\frac{a+jb}{c+jd}=\frac{(a+jb)(c-jd)}{c^2+d^2}.\]Exemple : \(\dfrac{2+3j}{1-j}\).
1. Choisir le conjugué : celui de \(1-j\) est \(1+j\).
\[\frac{2+3j}{1-j}=\frac{(2+3j)(1+j)}{(1-j)(1+j)}.\]2. Développer le numérateur :
\[\begin{aligned}(2+3j)(1+j)&=2+2j+3j+3j^2\\&=2+5j+3(-1)\\&=2+5j-3=-1+5j.\end{aligned}\]3. Développer le dénominateur :
\[\begin{aligned}(1-j)(1+j)&=1+j-j-j^2\\&=1-(-1)=2.\end{aligned}\]4. Diviser chaque terme par 2 :
\[\frac{-1+5j}{2}=\frac{-1}{2}+\frac{5j}{2}=\boxed{-\frac12+\frac52j}.\]5. Contrôler en multipliant par le dénominateur initial :
\[\begin{gathered}\left(-\frac12+\frac52j\right)(1-j)\\=-\frac12+\frac12j+\frac52j-\frac52j^2\\=-\frac12+3j+\frac52\\=2+3j.\end{gathered}\]Écrire \(\dfrac{3+j}{1+j}\) sous forme algébrique.
1. Le conjugué de \(1+j\) est \(1-j\). On multiplie en haut et en bas par \(1-j\).
\[\frac{3+j}{1+j}=\frac{(3+j)(1-j)}{(1+j)(1-j)}.\]2. Au numérateur :
\[\begin{gathered}(3+j)(1-j)\\=3-3j+j-j^2\\=3-2j+1=4-2j.\end{gathered}\]3. Au dénominateur :
\[\begin{gathered}(1+j)(1-j)\\=1-j+j-j^2\\=1+1=2.\end{gathered}\]4. On sépare les deux termes :
\[\frac{4-2j}{2}=\frac42-\frac22j=\boxed{2-j}.\]Vérification :
\[\begin{gathered}(2-j)(1+j)\\=2+2j-j-j^2\\=2+j+1=3+j.\end{gathered}\]Si le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac < 0\), l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
\[\boxed{\begin{aligned}z_1&=\frac{-b+j\sqrt{|\Delta|}}{2a},\\z_2&=\frac{-b-j\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\bar z_1.\end{aligned}}\]Résoudre \(z^2-4z+13=0\).
1. Identifier les coefficients : en comparant avec \(az^2+bz+c=0\), on lit \(a=1\), \(b=-4\), \(c=13\).
2. Calculer le discriminant :
\[\begin{aligned}\Delta&=b^2-4ac\\&=(-4)^2-4\times1\times13\\&=16-52=-36.\end{aligned}\]3. Comme \(\Delta\lt0\), il y a deux solutions complexes conjuguées. On calcule \(|\Delta|=36\), puis \(\sqrt{|\Delta|}=\sqrt{36}=6\).
4. Remplacer dans les formules : \(-b=-(-4)=4\) et \(2a=2\times1=2\).
\[\begin{aligned}z_1&=\frac{4+6j}{2}=\frac42+\frac62j=\boxed{2+3j},\\z_2&=\frac{4-6j}{2}=\frac42-\frac62j=\boxed{2-3j}.\end{aligned}\]5. Vérifier dans l’équation :
\[\begin{gathered}(2+3j)^2=4+12j+9j^2\\=4+12j-9=-5+12j,\\z_1^2-4z_1+13\\=(-5+12j)-4(2+3j)+13\\=-5+12j-8-12j+13=0.\end{gathered}\] \[\begin{gathered}(2-3j)^2=4-12j+9j^2\\=4-12j-9=-5-12j,\\z_2^2-4z_2+13\\=-5-12j-8+12j+13=0.\end{gathered}\]Autre contrôle, avec la somme et le produit : en développant :
\[\begin{gathered}a(z-z_1)(z-z_2)\\=a(z^2-zz_2-z_1z+z_1z_2)\\=az^2-a(z_1+z_2)z+az_1z_2.\end{gathered}\]En comparant avec \(az^2+bz+c\), on obtient \(-a(z_1+z_2)=b\) et \(az_1z_2=c\). En divisant par \(a\neq0\), on trouve \(z_1+z_2=-b/a\) et \(z_1z_2=c/a\).
Ici, la somme vaut \((2+3j)+(2-3j)=4\), ce qui est bien \(-b/a=-(-4)/1=4\). Pour le produit :
\[\begin{gathered}(2+3j)(2-3j)\\=4-6j+6j-9j^2\\=4+9=13.\end{gathered}\]On retrouve \(c/a=13/1=13\).
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 + 2z + 5 = 0\).
1. Coefficients : \(a=1\), \(b=2\), \(c=5\).
\[\begin{aligned}\Delta&=b^2-4ac\\&=2^2-4\times1\times5\\&=4-20=-16.\end{aligned}\]2. \(\Delta\lt0\), donc on utilise \(j\sqrt{|\Delta|}\). Ici \(|\Delta|=16\) et \(\sqrt{16}=4\).
3. On calcule \(-b=-2\) et \(2a=2\).
\[\begin{aligned}z_1&=\frac{-2+4j}{2}=-1+2j,\\z_2&=\frac{-2-4j}{2}=-1-2j.\end{aligned}\]Dans chaque fraction, on divise la partie réelle et le coefficient de \(j\) par 2. Les solutions sont conjuguées.
Vérification :
\[\begin{gathered}(-1+2j)^2=1-4j+4j^2\\=1-4j-4=-3-4j,\\z_1^2+2z_1+5\\=-3-4j-2+4j+5=0.\end{gathered}\]\[\begin{gathered}(-1-2j)^2=1+4j+4j^2\\=1+4j-4=-3+4j,\\z_2^2+2z_2+5\\=-3+4j-2-4j+5=0.\end{gathered}\]Un tour complet représente \(360°=2\pi\) radians ; un demi-tour représente \(180°=\pi\) radians. Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par \(\pi/180\).
\[\begin{aligned}60°&\longrightarrow60\times\frac\pi{180}=\frac\pi3,\\90°&\longrightarrow90\times\frac\pi{180}=\frac\pi2,\\135°&\longrightarrow135\times\frac\pi{180}=\frac{3\pi}4.\end{aligned}\]Inversement, \(\frac\pi4\) rad correspond à \(\frac\pi4\times\frac{180}\pi=45°\). Un angle positif tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre ; un angle négatif tourne dans l’autre sens.
« Modulo \(2\pi\) » signifie « à un nombre entier de tours près ». Par exemple \(\frac\pi4\), \(\frac\pi4+2\pi=\frac{9\pi}4\) et \(\frac\pi4-2\pi=-\frac{7\pi}4\) donnent la même direction. On écrit \(\theta=\frac\pi4\;[2\pi]\).
| \(\theta\) | Degrés | \(\cos\theta\) | \(\sin\theta\) |
|---|---|---|---|
| \(0\) | 0° | 1 | 0 |
| \(\pi/6\) | 30° | \(\sqrt3/2\) | \(1/2\) |
| \(\pi/4\) | 45° | \(\sqrt2/2\) | \(\sqrt2/2\) |
| \(\pi/3\) | 60° | \(1/2\) | \(\sqrt3/2\) |
| \(\pi/2\) | 90° | 0 | 1 |
Pour les autres quadrants, on utilise la symétrie du cercle : à gauche, le cosinus est négatif ; sous l’axe réel, le sinus est négatif.
L'argument est défini modulo \(2\pi\).
Si \(z = a + jb\) avec \(|z| = r\), alors : \[\cos\theta = \frac{a}{r}, \quad \sin\theta = \frac{b}{r}\]
Déterminer le module et un argument de \(z = -2 + 2j\).
1. Module : \(a=-2\), \(b=2\).
\[\begin{aligned}r&=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{4+4}\\&=\sqrt8=\sqrt{4\times2}=2\sqrt2.\end{aligned}\]2. Cosinus et sinus : on divise chaque coordonnée par \(r\).
\[\begin{aligned}\cos\theta&=\frac{-2}{2\sqrt2}=-\frac1{\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{2},\\\sin\theta&=\frac2{2\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.\end{aligned}\]Pour simplifier, on a utilisé \(\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{\sqrt2\times\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\).
3. Angle : les valeurs absolues correspondent à \(\pi/4\). Comme le point est à gauche et en haut, il est dans le deuxième quadrant :
\[\theta=\pi-\frac\pi4=\frac{4\pi}4-\frac\pi4=\frac{3\pi}4.\]Réponse : \(|z|=2\sqrt2\approx2{,}828\) ; un argument est \(\frac{3\pi}4\approx2{,}356\) rad, soit \(\frac{3\pi}4\times\frac{180}\pi=135°\).
Remplacer l’angle dans la formule :
\[\begin{aligned}e^{j\pi}&=\cos\pi+j\sin\pi=-1+j\times0=-1,\\e^{j\pi/2}&=\cos(\pi/2)+j\sin(\pi/2)\\&=0+j\times1=j.\end{aligned}\]Pour un angle négatif, \(\cos(-\theta)=\cos\theta\) et \(\sin(-\theta)=-\sin\theta\), donc :
\[e^{-j\theta}=\cos\theta-j\sin\theta.\]Retrouver cosinus et sinus : en additionnant les deux écritures, les termes en \(j\) s’annulent ; en les soustrayant, les cosinus s’annulent.
\[\begin{aligned}e^{j\theta}+e^{-j\theta}&=2\cos\theta,\\e^{j\theta}-e^{-j\theta}&=2j\sin\theta.\end{aligned}\]On divise respectivement par 2 et par \(2j\) :
\[\cos\theta=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}2,\qquad\sin\theta=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}.\]Écrire \(z = 4\,e^{-j\pi/3}\) sous forme algébrique.
1. On lit \(r=4\) et \(\theta=-\pi/3\). La formule d’Euler donne :
\[z=4\left(\cos\left(-\frac\pi3\right)+j\sin\left(-\frac\pi3\right)\right).\]2. Le cosinus est inchangé lorsqu’on change le signe de l’angle, et le sinus change de signe :
\[\begin{aligned}\cos(-\pi/3)&=\frac12,\\\sin(-\pi/3)&=-\frac{\sqrt3}2.\end{aligned}\]3. On distribue le facteur 4 :
\[\begin{aligned}z&=4\left(\frac12-j\frac{\sqrt3}2\right)\\&=4\times\frac12-4\times\frac{\sqrt3}2j\\&=\boxed{2-2\sqrt3\,j}\approx2-3{,}46j.\end{aligned}\]4. Contrôle : \((-2\sqrt3)^2=(-2)^2(\sqrt3)^2\), soit \(4\times3=12\).
\[\begin{aligned}|z|&=\sqrt{2^2+(-2\sqrt3)^2}\\&=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4.\end{aligned}\]| Forme | Écriture | Paramètres |
|---|---|---|
| Algébrique | \(z = a + jb\) | \(a = \text{Re}(z)\), \(b = \text{Im}(z)\) |
| Trigonométrique | \(z = r(\cos\theta + j\sin\theta)\) | \(r = |z|\), \(\theta = \arg(z)\) |
| Exponentielle | \(z = r\,e^{j\theta}\) | \(r = |z|\), \(\theta = \arg(z)\) |
Conversions :
a) Écrire \(z=1+j\) sous forme exponentielle.
On lit \(a=1\), \(b=1\), puis on calcule le module :
\[r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt2.\]On divise les coordonnées par ce module :
\[\cos\theta=\sin\theta=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.\]Les deux coordonnées sont positives : le point est dans le premier quadrant. Le tableau des angles remarquables donne \(\theta=\pi/4\), donc :
\[\boxed{z=\sqrt2\,e^{j\pi/4}}.\]b) Écrire \(z=3e^{j\pi/3}\) sous forme algébrique.
On lit \(r=3\), \(\theta=\pi/3\). Comme \(\cos(\pi/3)=1/2\) et \(\sin(\pi/3)=\sqrt3/2\) :
\[\begin{aligned}z&=3\left(\cos\frac\pi3+j\sin\frac\pi3\right)\\&=3\left(\frac12+j\frac{\sqrt3}2\right)\\&=3\times\frac12+3\times\frac{\sqrt3}2j\\&=\boxed{\frac32+\frac{3\sqrt3}2j}.\end{aligned}\]Écrire \(z = -\sqrt{3} + j\) sous forme trigonométrique puis exponentielle.
1. On lit \(a=-\sqrt3\), \(b=1\). Attention : \((-\sqrt3)^2=(-1)^2(\sqrt3)^2=3\).
\[\begin{aligned}r&=\sqrt{(-\sqrt3)^2+1^2}\\&=\sqrt{3+1}=\sqrt4=2.\end{aligned}\]2. On calcule \(\cos\theta=-\sqrt3/2\) et \(\sin\theta=1/2\). Les valeurs absolues correspondent à l’angle \(\pi/6\).
3. Le cosinus est négatif et le sinus positif : on est dans le deuxième quadrant, donc :
\[\theta=\pi-\frac\pi6=\frac{6\pi}6-\frac\pi6=\frac{5\pi}6.\]4. On remplace \(r\) et \(\theta\) dans les deux écritures :
\[\boxed{z=2\left(\cos\frac{5\pi}6+j\sin\frac{5\pi}6\right)}\] \[\boxed{z=2e^{j5\pi/6}}.\]Contrôle : \(2(-\sqrt3/2)+2(1/2)j=-\sqrt3+j\).
Attention : \(\arctan(b/a)\) seul ne donne pas toujours le bon quadrant ; il est aussi inutilisable si \(a=0\). Zéro n'a pas d'argument.
Dans cette section, les complexes utilisés sont non nuls, avec \(r_1,r_2,r>0\). Les égalités d'arguments se lisent modulo \(2\pi\).
Soient \(z_1=2e^{j\pi/6}\) et \(z_2=3e^{j\pi/4}\). On sépare toujours le calcul du module et celui de l’angle.
1. Produit : le module vaut \(2\times3=6\). On met les angles au même dénominateur :
\[\frac\pi6+\frac\pi4=\frac{2\pi}{12}+\frac{3\pi}{12}=\frac{5\pi}{12}.\]Ainsi \(\boxed{z_1z_2=6e^{j5\pi/12}}\).
2. Quotient : le module vaut \(2/3\). On soustrait l’angle du dénominateur :
\[\frac\pi6-\frac\pi4=\frac{2\pi}{12}-\frac{3\pi}{12}=-\frac\pi{12}.\]Ainsi \(\boxed{z_1/z_2=\frac23e^{-j\pi/12}}\).
3. Puissance : le module vaut \(2^3=2\times2\times2=8\). L’angle vaut \(3\times\frac\pi6=\frac{3\pi}6=\frac\pi2\).
\[\begin{aligned}z_1^3&=8e^{j\pi/2}\\&=8(\cos(\pi/2)+j\sin(\pi/2))\\&=8(0+j)=\boxed{8j}.\end{aligned}\]Soient \(z_1 = 4\,e^{j\pi/3}\) et \(z_2 = 2\,e^{-j\pi/6}\). Calculer \(z_1 \cdot z_2\), \(\dfrac{z_1}{z_2}\) et \(z_2^4\).
1. Produit : module \(4\times2=8\) ; angle :
\[\frac\pi3+\left(-\frac\pi6\right)=\frac{2\pi}6-\frac\pi6=\frac\pi6.\]Donc \(\boxed{z_1z_2=8e^{j\pi/6}}\).
2. Quotient : module \(4/2=2\) ; angle :
\[\frac\pi3-\left(-\frac\pi6\right)=\frac{2\pi}6+\frac\pi6=\frac{3\pi}6=\frac\pi2.\]Soustraire un nombre négatif revient à l’ajouter. Ainsi \(z_1/z_2=2e^{j\pi/2}=2(0+j)=\boxed{2j}\).
3. Puissance : module \(2^4=2\times2\times2\times2=16\) ; angle \(4\times(-\pi/6)=-4\pi/6=-2\pi/3\).
\[\boxed{z_2^4=16e^{-j2\pi/3}}.\]Pour la forme algébrique, l’angle \(2\pi/3=\pi-\pi/3\) a pour cosinus \(-1/2\) et pour sinus \(\sqrt3/2\). En changeant le signe de l’angle, seul le sinus change de signe :
\[\begin{aligned}z_2^4&=16\left(-\frac12-j\frac{\sqrt3}2\right)\\&=-\frac{16}2-\frac{16\sqrt3}2j\\&=\boxed{-8-8\sqrt3\,j}.\end{aligned}\]Pour un point \(M(x;y)\) d'affixe \(z=x+jy\) et un réel \(k\) :
Pour construire la droite, placer ce point puis tracer la parallèle à l'axe correspondant. Par exemple, \(\operatorname{Re}(z)=2\) donne \(x=2\) et \(\operatorname{Im}(z)=-1\) donne \(y=-1\).
Décrire et tracer sur un repère la droite définie par \(\operatorname{Im}(z)=2\). Le point d'affixe \(3+2j\) lui appartient-il ?
C'est la droite horizontale \(y=2\), passant par \((0;2)\). Le point \((3;2)\) lui appartient car sa partie imaginaire vaut 2.
En effet, \(|z - a|\) représente la distance \(AM\).
Si \(k=0\), l'ensemble se réduit au point \(A\). Si \(k<0\), l'ensemble est vide.
a) \(|z-3|=2\). On compare avec \(|z-a|=k\) : \(a=3=3+0j\), \(k=2\). La distance à \(A(3;0)\) vaut 2 : c’est le cercle de centre \(A\) et de rayon 2.
b) \(|z+1-2j|=4\). Il faut faire apparaître « \(z\) moins une affixe » :
\[z+1-2j=z-(-1+2j).\]En effet, le signe moins devant la parenthèse donne \(-(-1+2j)=1-2j\). On lit donc \(a=-1+2j\), \(k=4\) : cercle de centre \(B(-1;2)\) et de rayon 4.
c) \(\arg(z-1)=\pi/4\;[2\pi]\). Ici \(a=1=1+0j\). Le vecteur d’affixe \(z-1\) part de \(C(1;0)\) et a pour direction l’angle \(\pi/4\).
\[\frac\pi4\times\frac{180}\pi=\frac{180}4=45°.\]C’est la demi-droite d’origine \(C\), orientée à 45° par rapport à l’axe réel positif, privée de \(C\) : pour \(z=1\), \(z-1=0\) n’a pas d’argument.
Module fixé : écrire \(|z-a|=k\), placer \(A\), puis tracer le cercle au compas pour \(k>0\).
Argument fixé : placer \(A\), reporter l'angle orienté à partir de la direction réelle positive et tracer la demi-droite. Un petit cercle non rempli à l'origine indique que \(A\) est exclu.
Décrire géométriquement les ensembles suivants :
a) \(|z - 2 + 3j| = 5\) b) \(|z| = |z - 4|\) c) \(\arg(z + 1) = \frac{\pi}{3}\)
a) Mettre sous la forme \(|z-a|=k\).
\[z-2+3j=z-(2-3j),\]car \(-(2-3j)=-2+3j\). On lit \(a=2-3j\) et \(k=5\) : cercle de centre \((2;-3)\) et de rayon 5.
b) Traduire l’égalité des distances. \(|z|=OM\) et \(|z-4|=AM\), avec \(A(4;0)\). Les points équidistants de \(O\) et de \(A\) sont sur la médiatrice de \([OA]\).
On peut retrouver son équation par le calcul. On pose \(z=x+jy\) :
\[\begin{gathered}|z|=|z-4|\\\iff\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x-4)^2+y^2}\\\iff x^2+y^2=(x-4)^2+y^2.\end{gathered}\]On peut élever au carré car les deux membres sont positifs ou nuls. On développe \((x-4)^2=x^2-8x+16\), puis on simplifie :
\[\begin{aligned}x^2+y^2&=x^2-8x+16+y^2\\0&=-8x+16\\8x&=16\\x&=16/8=2.\end{aligned}\]La coordonnée \(y\) est libre : c’est la droite verticale \(\boxed{x=2}\).
c) On écrit \(z+1=z-(-1)\). L’origine de la demi-droite est donc le point d’affixe \(-1=-1+0j\), soit \((-1;0)\).
L’angle vaut \(\frac\pi3\times\frac{180}\pi=60°\). La demi-droite est privée de son origine, car \(z=-1\) donne \(z+1=0\), dont l’argument n’est pas défini.
Chaque point se déplace du même vecteur.
En forme exponentielle : si \(z = r\,e^{j\theta}\), alors \(\frac{1}{z} = \frac{1}{r}\,e^{-j\theta}\).
Le module devient \(1/r\) et l'argument devient \(-\theta\). Géométriquement, on compose l'inversion de centre \(O\) et de puissance 1 avec la symétrie par rapport à l'axe réel. L'inversion géométrique seule s'écrit \(z\mapsto1/\bar z\).
Un agenceur fait tourner un motif de 90° autour de l’origine. Un sommet a pour affixe \(z=3+2j\).
1. Convertir l’angle : \(90\times\pi/180=\pi/2\) rad.
2. Trouver le multiplicateur : \(e^{j\pi/2}=\cos(\pi/2)+j\sin(\pi/2)=0+j=j\).
3. Multiplier et utiliser \(j^2=-1\) :
\[\begin{aligned}z'&=j(3+2j)\\&=3j+2j^2\\&=3j+2(-1)\\&=\boxed{-2+3j}.\end{aligned}\]Le point \((3;2)\) a pour image \((-2;3)\) : un quart de tour dans le sens trigonométrique. La distance à l’origine reste la même :
\[\begin{aligned}|z|&=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13},\\|z'|&=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}.\end{aligned}\]On applique au point d'affixe \(z = 3\,e^{j\pi/6}\) la transformation \(z \mapsto z' = a\,z\) avec \(a = 2\,e^{j\pi/3}\).
Préciser la nature de la transformation, puis calculer \(z'\) sous forme exponentielle et algébrique.
1. Nature : \(a=2e^{j\pi/3}\) a pour module 2 et pour argument \(\pi/3\), soit \(\frac\pi3\times\frac{180}\pi=60°\). On effectue une rotation de centre \(O\) de 60° et une homothétie de centre \(O\) de rapport 2 : c’est une similitude directe.
2. Module du produit : \(|z'|=|a|\,|z|=2\times3=6\).
3. Argument du produit :
\[\frac\pi3+\frac\pi6=\frac{2\pi}6+\frac\pi6=\frac{3\pi}6=\frac\pi2.\]4. Formes exponentielle et algébrique :
\[\begin{aligned}z'&=6e^{j\pi/2}\\&=6(\cos(\pi/2)+j\sin(\pi/2))\\&=6(0+j\times1)=\boxed{6j}.\end{aligned}\]Le point image a pour coordonnées \((0;6)\). Son module vaut \(\sqrt{0^2+6^2}=6\), ce qui confirme le résultat.
Dans un logiciel de géométrie dynamique, choisir un repère orthonormé et tracer la droite \(d\) d'équation \(x=1\). Créer un point \(M\) contraint à cette droite, de coordonnées \((1;t)\).
Ces formules définissent des points dépendant de \(M\) : saisir ses coordonnées variables dans le logiciel, et non les valeurs d'une seule position.
Pour \(z=x+jy\), on distribue le facteur 2 :
\[2z+1=2(x+jy)+1=(2x+1)+j(2y).\]La partie réelle est \(2x+1\) et la partie imaginaire \(2y\). Sur la droite \(x=1\), on a \(2x+1=2\times1+1=3\) et \(y=t\), donc \(P(3;2t)\). Comme \(t\) parcourt tous les réels, \(2t\) aussi : l’image est toute la droite \(x=3\).
Pour l’inverse, avec \(z\neq0\), on utilise le conjugué :
\[\begin{aligned}\frac1{x+jy}&=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}\\&=\frac{x-jy}{x^2+y^2}\\&=\frac{x}{x^2+y^2}+j\frac{-y}{x^2+y^2}.\end{aligned}\]On lit séparément les deux coordonnées de \(N\). Sur \(x=1\), le dénominateur \(1+t^2\) est toujours strictement positif.
1. Calculer l’inverse. Pour \(z=1+jt\), on multiplie par le conjugué \(1-jt\) :
\[\begin{aligned}w=\frac1{1+jt}&=\frac{1-jt}{(1+jt)(1-jt)},\\(1+jt)(1-jt)&=1-jt+jt-j^2t^2\\&=1+t^2.\end{aligned}\]On sépare les parties réelle et imaginaire :
\[w=\frac1{1+t^2}+j\frac{-t}{1+t^2}.\]Donc \(u=1/(1+t^2)\) et \(v=-t/(1+t^2)\).
2. Tester des positions.
3. Vérifier l’équation du cercle. On calcule d’abord :
\[\begin{aligned}u^2+v^2&=\frac1{(1+t^2)^2}+\frac{t^2}{(1+t^2)^2}\\&=\frac{1+t^2}{(1+t^2)^2}\\&=\frac1{1+t^2}=u.\end{aligned}\]On développe ensuite le carré :
\[\begin{aligned}\left(u-\frac12\right)^2+v^2&=u^2-u+\frac14+v^2\\&=(u^2+v^2)-u+\frac14\\&=u-u+\frac14=\frac14.\end{aligned}\]L’équation \((u-h)^2+(v-k)^2=R^2\) décrit un cercle de centre \((h;k)\) et de rayon \(R\). Ici \(h=1/2\), \(k=0\) et \(R^2=1/4\), donc \(R=1/2\).
4. Exclure l’origine. Pour tout réel \(t\), \(u=1/(1+t^2)\gt0\). On ne peut donc jamais obtenir \(w=0\). Quand \(|t|\) grandit, \(u\) et \(v\) se rapprochent de 0, sans que \(N\) atteigne \(O\).
5. Vérifier que tout autre point du cercle est obtenu. Prenons un point \(w=u+jv\neq0\) du cercle. En développant son équation :
\[\begin{aligned}\left(u-\frac12\right)^2+v^2&=\frac14\\u^2-u+\frac14+v^2&=\frac14\\u^2+v^2&=u.\end{aligned}\]Comme \(w\neq0\), \(u^2+v^2\gt0\), donc \(u\gt0\). Son inverse est :
\[\begin{aligned}\frac1w&=\frac{u-jv}{u^2+v^2}\\&=\frac{u-jv}{u}\\&=1+j\left(-\frac vu\right).\end{aligned}\]En posant \(t=-v/u\), on retrouve un point \(z=1+jt\) de la droite initiale, dont l’inverse est \(w\). L’image de la droite entière est donc le cercle de centre \((1/2;0)\) et de rayon \(1/2\), privé de \(O\).
La trace dans l’animation permet d’observer ce résultat ; le calcul précise l’ensemble exact.
Pour manipuler également la somme, le produit et la conjugaison, utiliser la simulation du plan complexe : fixer le deuxième nombre à \(j\) et observer la rotation d'un quart de tour donnée par le produit.
Circuit RLC série :
\[\boxed{\underline{Z} = R + jL\omega - \frac{j}{C\omega} = R + j\!\left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)}\]Pour supprimer \(j\) au dénominateur, on multiplie par \(-j\) en haut et en bas :
\[\frac1j=\frac{-j}{j(-j)}=\frac{-j}{-j^2}=\frac{-j}{1}=-j.\]Donc \(\underline Z_C=\frac1{C\omega}\times\frac1j=-\frac{j}{C\omega}\). En série, on additionne les trois impédances :
\[\begin{aligned}\underline Z&=\underline Z_R+\underline Z_L+\underline Z_C\\&=R+jL\omega-j\frac1{C\omega}\\&=R+j\left(L\omega-\frac1{C\omega}\right).\end{aligned}\]On note \(X=L\omega-1/(C\omega)\) la réactance, en ohms. Ainsi \(\underline Z=R+jX\) a la même forme que \(z=a+jb\), avec \(a=R\) et \(b=X\).
Reprenons \(R=100\;\Omega\), \(L=0{,}2\;\mathrm H\), \(C=10\;\mu\mathrm F\), \(f=50\;\mathrm{Hz}\) et \(U_{\mathrm{eff}}=230\;\mathrm V\).
1. Convertir la capacité en farads. Le préfixe micro signifie \(10^{-6}\) :
\[C=10\times10^{-6}\;\mathrm F=10^{-5}\;\mathrm F=0{,}00001\;\mathrm F.\]2. Calculer la pulsation.
\[\begin{aligned}\omega&=2\pi f=2\pi\times50\\&=100\pi\;\mathrm{rad/s}\\&\approx314{,}159\;\mathrm{rad/s}.\end{aligned}\]3. Calculer séparément les deux réactances. Pour la bobine :
\[L\omega=0{,}2\times100\pi=20\pi\;\Omega\approx62{,}832\;\Omega.\]Pour le condensateur, on calcule d’abord le produit au dénominateur :
\[\begin{aligned}C\omega&=10^{-5}\times100\pi\\&=10^{-5}\times10^2\pi=10^{-3}\pi,\\\frac1{C\omega}&=\frac1{10^{-3}\pi}=\frac{1000}\pi\;\Omega\\&\approx318{,}310\;\Omega.\end{aligned}\]4. Former l’impédance.
\[\begin{aligned}X&=L\omega-\frac1{C\omega}\\&=20\pi-\frac{1000}\pi\;\Omega\\&\approx62{,}832-318{,}310\;\Omega\\&\approx-255{,}478\;\Omega.\end{aligned}\] \[\begin{aligned}\underline Z&=100+j\left(20\pi-\frac{1000}\pi\right)\;\Omega\\&\approx(100-255{,}5j)\;\Omega.\end{aligned}\]5. Calculer le module. Comme pour tout complexe, on utilise la racine de la somme des carrés :
\[\begin{aligned}|\underline Z|&=\sqrt{R^2+X^2}\\&=\sqrt{100^2+\left(20\pi-\frac{1000}\pi\right)^2}\\&\approx\sqrt{10\,000+65\,269{,}025}\\&\approx\sqrt{75\,269{,}025}\\&\approx\boxed{274{,}4\;\Omega}.\end{aligned}\]Les décimales affichées sont arrondies pour la lecture ; dans la calculatrice, on conserve \(X=20\pi-1000/\pi\) jusqu’au résultat final.
6. Trouver l’argument. \(R\gt0\) et \(X\lt0\) placent le vecteur dans le quatrième quadrant. On choisit \(\varphi\) entre \(-\pi/2\) et 0 ; l’arctangente donne alors directement l’angle voulu :
\[\begin{aligned}\tan\varphi&=\frac XR=\frac{20\pi-1000/\pi}{100}\\&\approx-2{,}554780,\\\varphi&=\arctan\left(\frac{20\pi-1000/\pi}{100}\right)\\&\approx-1{,}197706\;\mathrm{rad}.\end{aligned}\]Pour convertir en degrés :
\[\varphi\times\frac{180}\pi\approx-68{,}6235°\approx\boxed{-68{,}6°}.\]Interprétation : \(X\lt0\), donc le circuit est capacitif : l’effet du condensateur domine. L’argument de \(\underline Z\) est la phase de la tension moins celle du courant ; il est négatif, donc le courant est en avance sur la tension.
7. Calculer le courant efficace. On utilise les valeurs efficaces pour la tension et le courant. La loi d’Ohm donne :
\[\underline U_{\mathrm{eff}}=\underline Z\,\underline I_{\mathrm{eff}},\qquad\underline I_{\mathrm{eff}}=\frac{\underline U_{\mathrm{eff}}}{\underline Z}.\]On prend la tension comme référence de phase : \(\underline U_{\mathrm{eff}}=230e^{j0}\;\mathrm V\), et \(\underline Z=|\underline Z|e^{j\varphi}\). Pour un quotient, on divise les modules et on soustrait les arguments :
\[\underline I_{\mathrm{eff}}=\frac{230}{|\underline Z|}e^{j(0-\varphi)}\;\mathrm A.\] \[\begin{aligned}I_{\mathrm{eff}}&=\frac{230}{\sqrt{100^2+(20\pi-1000/\pi)^2}}\\&\approx0{,}838339\;\mathrm A\approx\boxed{0{,}838\;\mathrm A}.\end{aligned}\]La phase du courant vaut \(0-\varphi\approx0-(-1{,}197706)=+1{,}197706\) rad, soit \(+68{,}6°\). Ainsi :
\[\boxed{\underline I_{\mathrm{eff}}\approx0{,}838e^{j1{,}198}\;\mathrm A}.\]Convention de cette section : le module est l'amplitude \(U_m\), avec \(U_m=\sqrt2\,U_{\mathrm{eff}}\). Dans la section précédente, les complexes \(\underline U_{\mathrm{eff}}\) et \(\underline I_{\mathrm{eff}}\) utilisent les valeurs efficaces. Les deux conventions donnent la même impédance si tension et courant suivent la même convention.
Cette représentation simplifie considérablement les calculs de circuits en régime sinusoïdal (diagrammes de Nyquist, Bode).
On multiplie le complexe fixe \(\underline U=U_me^{j\varphi}\) par le facteur de rotation \(e^{j\omega t}\) :
\[\begin{aligned}\underline Ue^{j\omega t}&=U_me^{j\varphi}e^{j\omega t}\\&=U_me^{j(\omega t+\varphi)}.\end{aligned}\]La formule d’Euler donne :
\[\underline Ue^{j\omega t}=U_m\cos(\omega t+\varphi)+jU_m\sin(\omega t+\varphi).\]La partie réelle est le terme sans \(j\), donc \(u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi)\). C’est ce que montre l’animation du vecteur tournant.
Une tension s'écrit \(u(t) = 12\cos\!\left(\omega t + \dfrac{\pi}{3}\right)\) (en volts).
Donner le complexe associé \(\underline{U}\) sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
1. Identifier les données : on compare \(u(t)=12\cos(\omega t+\pi/3)\) avec \(u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi)\). Ainsi \(U_m=12\;\mathrm V\), \(\varphi=\pi/3\), donc \(\underline U=12e^{j\pi/3}\;\mathrm V\).
2. Utiliser Euler et les valeurs remarquables :
\[\begin{aligned}\underline U&=12\left(\cos\frac\pi3+j\sin\frac\pi3\right)\\&=12\left(\frac12+j\frac{\sqrt3}2\right)\\&=12\times\frac12+j\,12\times\frac{\sqrt3}2\\&=\boxed{6+6\sqrt3\,j}\;\mathrm V\\&\approx(6+10{,}39j)\;\mathrm V.\end{aligned}\]3. Vérifier le module : \((6\sqrt3)^2=6^2(\sqrt3)^2=36\times3=108\).
\[\begin{aligned}|\underline U|&=\sqrt{6^2+(6\sqrt3)^2}\\&=\sqrt{36+108}\\&=\sqrt{144}=12\;\mathrm V.\end{aligned}\]Attention à la convention : ces 12 V sont l’amplitude. La valeur efficace vaut \(U_{\mathrm{eff}}=U_m/\sqrt2\), donc \(U_{\mathrm{eff}}=12/\sqrt2\). En multipliant en haut et en bas par \(\sqrt2\), on obtient \(12\sqrt2/2=6\sqrt2\approx8{,}49\;\mathrm V\).
Un panneau rectangulaire a pour sommets les affixes \(z_1=0\), \(z_2=4\), \(z_3=4+2j\), \(z_4=2j\). Il tourne de 30° autour de l’origine.
1. Écrire le multiplicateur. \(30\times\pi/180=\pi/6\) rad, donc :
\[\begin{aligned}q&=e^{j\pi/6}\\&=\cos(\pi/6)+j\sin(\pi/6)\\&=\frac{\sqrt3}2+\frac j2.\end{aligned}\]2. Multiplier chaque affixe par \(q\). Le sommet à l’origine reste fixe : \(z'_1=q\times0=0\).
\[\begin{aligned}z'_2&=4\left(\frac{\sqrt3}2+\frac j2\right)\\&=\frac{4\sqrt3}2+\frac42j\\&=2\sqrt3+2j\approx3{,}46+2j.\end{aligned}\] \[\begin{aligned}z'_3&=(4+2j)\left(\frac{\sqrt3}2+\frac j2\right)\\&=2\sqrt3+2j+\sqrt3j+j^2\\&=(2\sqrt3-1)+(2+\sqrt3)j\\&\approx2{,}46+3{,}73j.\end{aligned}\] \[\begin{aligned}z'_4&=2j\left(\frac{\sqrt3}2+\frac j2\right)\\&=\sqrt3j+j^2\\&=-1+\sqrt3j\approx-1+1{,}73j.\end{aligned}\]3. Vérifier les longueurs. Le multiplicateur a pour module :
\[\begin{aligned}|q|&=\sqrt{(\sqrt3/2)^2+(1/2)^2}\\&=\sqrt{3/4+1/4}=\sqrt1=1.\end{aligned}\]Pour deux sommets \(z_k\) et \(z_\ell\), la distance après rotation vaut :
\[\begin{aligned}|z'_k-z'_\ell|&=|qz_k-qz_\ell|\\&=|q(z_k-z_\ell)|\\&=|q|\,|z_k-z_\ell|\\&=1\times|z_k-z_\ell|.\end{aligned}\]Toutes les distances sont conservées : le panneau tourne sans se déformer.
Un circuit série RL comporte \(R = 47\;\Omega\) et \(L = 0{,}15\;\text{H}\). La fréquence est \(f = 50\;\text{Hz}\).
a) Écrire l'impédance complexe \(\underline{Z}\).
b) Calculer \(|\underline{Z}|\) et \(\varphi = \arg(\underline{Z})\).
a) Calculer l’impédance. Pour un circuit RL série, il n’y a pas de condensateur : \(\underline Z=R+jL\omega\).
\[\begin{aligned}\omega&=2\pi f=2\pi\times50=100\pi\;\mathrm{rad/s},\\L\omega&=0{,}15\times100\pi=15\pi\;\Omega\\&\approx47{,}1239\;\Omega.\end{aligned}\]Ainsi \(\boxed{\underline Z=(47+15\pi j)\;\Omega}\), soit environ \((47+47{,}1j)\;\Omega\).
b) Module : partie réelle \(47\), partie imaginaire \(15\pi\).
\[\begin{aligned}|\underline Z|&=\sqrt{47^2+(15\pi)^2}\\&=\sqrt{2209+225\pi^2}\\&\approx\sqrt{2209+2220{,}661}\\&\approx\sqrt{4429{,}661}\\&\approx\boxed{66{,}6\;\Omega}.\end{aligned}\]Argument : les deux parties sont positives, donc le vecteur est dans le premier quadrant. On choisit \(0\lt\varphi\lt\pi/2\).
\[\begin{aligned}\tan\varphi&=\frac{15\pi}{47}\approx1{,}002636,\\\varphi&=\arctan\left(\frac{15\pi}{47}\right)\\&\approx0{,}786714\;\mathrm{rad},\\\varphi\times\frac{180}\pi&\approx45{,}0754°\approx\boxed{45{,}1°}.\end{aligned}\]On garde \(15\pi\) dans la calculatrice jusqu’à l’arrondi final. Comme \(\varphi\gt0\), la tension est en avance sur le courant : le circuit est inductif.