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Interrogation — Ch12 : Nombres complexes

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

On note \(j\) l'unité imaginaire telle que \(j^2 = -1\) (convention BTS).

Exercice 1 — Forme algébrique, module, conjugué (4 pts)

Soit \(z = 5 - 12j\).

  1. Donner la partie réelle et la partie imaginaire de \(z\). (1 pt)
  2. Déterminer le conjugué \(\bar{z}\). (1 pt)
  3. Calculer le module \(|z|\). (1 pt)
  4. Calculer \(z \cdot \bar{z}\) et vérifier que le résultat vaut \(|z|^2\). (1 pt)

Exercice 2 — Équation du second degré dans ℂ (4 pts)

On considère l'équation \(z^2 - 6z + 13 = 0\), à coefficients réels.

  1. Calculer le discriminant \(\Delta\). (1,5 pt)
  2. En déduire les deux solutions complexes conjuguées. (2 pts)
  3. Vérifier le produit des racines \(z_1 \cdot z_2\). (0,5 pt)

Exercice 3 — Forme exponentielle (4 pts)

Soit \(z = -1 + j\sqrt{3}\).

  1. Calculer le module \(|z|\). (1 pt)
  2. Déterminer un argument \(\theta = \arg(z)\) (attention au quadrant). (2 pts)
  3. Écrire \(z\) sous forme exponentielle. (1 pt)

Exercice 4 — Opérations en forme exponentielle (4 pts)

Soient \(z_1 = 6\,e^{j\pi/3}\) et \(z_2 = 2\,e^{j\pi/4}\).

  1. Calculer \(z_1 \cdot z_2\) sous forme exponentielle. (1,5 pt)
  2. Calculer \(\dfrac{z_1}{z_2}\) sous forme exponentielle. (1,5 pt)
  3. Calculer \(z_2^4\) sous forme exponentielle. (1 pt)

Exercice 5 — Impédance complexe d'un circuit RL (4 pts)

Un circuit série comporte une résistance \(R = 30\;\Omega\) et une bobine de réactance \(L\omega = 40\;\Omega\). L'impédance complexe est \(\underline{Z} = R + jL\omega\).

  1. Écrire \(\underline{Z}\) sous forme algébrique. (0,5 pt)
  2. Calculer le module \(|\underline{Z}|\) (impédance en ohms). (1,5 pt)
  3. Calculer l'argument \(\varphi = \arg(\underline{Z})\) (déphasage tension/courant), en degrés. (1,5 pt)
  4. Le circuit est-il inductif ou capacitif ? Justifier. (0,5 pt)

Correction

Exercice 1 (4 pts)

a) \(\text{Re}(z) = 5\) et \(\text{Im}(z) = -12\) (un réel). (1 pt)

b) \(\bar{z} = 5 + 12j\). (1 pt)

c) \(|z| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\). (1 pt)

d) \(z \cdot \bar{z} = (5 - 12j)(5 + 12j) = 25 - 144j^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 = |z|^2\) ✓. (1 pt)

Exercice 2 (4 pts)

a) \(\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 13 = 36 - 52 = -16 \lt 0\). (1,5 pt)

b) \(\Delta' = |\Delta| = 16\), donc \(\sqrt{\Delta'} = 4\) : \[z_1 = \frac{6 + 4j}{2} = 3 + 2j \qquad z_2 = \frac{6 - 4j}{2} = 3 - 2j = \bar{z}_1\] (2 pts)

c) \(z_1 \cdot z_2 = (3+2j)(3-2j) = 9 + 4 = 13 = \dfrac{c}{a}\) ✓. (0,5 pt)

Exercice 3 (4 pts)

a) \(|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\). (1 pt)

b) \(\cos\theta = \dfrac{-1}{2}\) et \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Le point est dans le 2ᵉ quadrant (\(\text{Re}\lt 0\), \(\text{Im}\gt 0\)), donc \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\). (2 pts)

c) \(z = 2\,e^{j\,2\pi/3}\). (1 pt)

Exercice 4 (4 pts)

a) \(z_1 \cdot z_2 = 6 \times 2 \, e^{j(\pi/3 + \pi/4)} = 12\,e^{j\,7\pi/12}\) (car \(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4} = \frac{4\pi+3\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}\)). (1,5 pt)

b) \(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{6}{2}\,e^{j(\pi/3 - \pi/4)} = 3\,e^{j\,\pi/12}\) (car \(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}\)). (1,5 pt)

c) \(z_2^4 = 2^4\,e^{j\,4\times\pi/4} = 16\,e^{j\pi} = -16\). (1 pt)

Exercice 5 (4 pts)

a) \(\underline{Z} = 30 + 40j\;\;\Omega\). (0,5 pt)

b) \(|\underline{Z}| = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\;\Omega\). (1,5 pt)

c) \(\tan\varphi = \dfrac{40}{30} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}333\), donc \(\varphi = \arctan(1{,}333) \approx 53{,}1°\). (1,5 pt)

d) La partie imaginaire est positive (\(\varphi \gt 0\)) : le circuit est inductif, la tension est en avance sur le courant. (0,5 pt)

Total : 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 points.