Fiche résumé – Nombres complexes

Chapitre 12 | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

L'unité imaginaire vérifie \(j^2 = -1\). Convention BTS : \(j\) (et non \(i\), réservé à l'intensité).
Trois formes équivalentes : algébrique \(z=a+jb\), trigonométrique \(z=r(\cos\theta+j\sin\theta)\), exponentielle \(z=r\,e^{j\theta}\).
Module \(r=|z|\) = distance à l'origine ; argument \(\theta=\arg(z)\) = angle (modulo \(2\pi\)).
Pour multiplier / diviser / élever à une puissance : passer en forme exponentielle (modules ×/÷, arguments +/−).
Application phare : impédance complexe en régime sinusoïdal.

Définitions clés

Définition

Nombre complexe : \(z = a + jb\) avec \(a=\text{Re}(z)\) (partie réelle) et \(b=\text{Im}(z)\) (partie imaginaire, un réel).

Définition

Conjugué : \(\bar{z} = a - jb\), symétrique de \(z\) par rapport à l'axe réel.

Définition

Module : \(|z| = \sqrt{a^2+b^2}\), distance de l'image \(M\) à l'origine.

Définition

Argument : \(\arg(z) = \theta\), angle entre l'axe réel positif et \(\overrightarrow{OM}\), défini modulo \(2\pi\), avec \(\cos\theta = a/r\) et \(\sin\theta = b/r\).

Formules à connaître

Formule d'Euler \[e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta\]

Cas remarquables : \(e^{j\pi} = -1\), \(e^{j\pi/2} = j\), \(e^{-j\theta} = \cos\theta - j\sin\theta\).

Conjugué et module \[z\cdot\bar{z} = a^2+b^2 = |z|^2 \qquad |z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2| \qquad \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\]

Opérations en forme exponentielle \[z_1 z_2 = r_1 r_2\,e^{j(\theta_1+\theta_2)} \qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\,e^{j(\theta_1-\theta_2)} \qquad z^n = r^n\,e^{jn\theta}\]

Équation \(az^2+bz+c=0\) (coefficients réels), si \(\Delta = b^2-4ac \lt 0\) \[z_1 = \frac{-b + j\sqrt{|\Delta|}}{2a} \qquad z_2 = \frac{-b - j\sqrt{|\Delta|}}{2a} = \bar{z}_1\]

Deux solutions complexes conjuguées (rappel : \(\sqrt{-k} = j\sqrt{k}\) pour \(k\gt 0\)).

Ensembles de points \[|z - a| = k \ \Rightarrow\ \text{cercle de centre } A\,(a),\ \text{rayon } k\] \[\arg(z - a) = \alpha \ \Rightarrow\ \text{demi-droite d'origine } A,\ \text{angle } \alpha\]

Impédance complexe (régime sinusoïdal, \(\omega = 2\pi f\)) \[\underline{Z}_R = R \quad \underline{Z}_L = jL\omega \quad \underline{Z}_C = -\frac{j}{C\omega}\] \[\text{RLC série : } \underline{Z} = R + j\!\left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)\]

\(|\underline{Z}|\) = impédance (Ω) ; \(\varphi = \arg(\underline{Z})\) = déphasage tension/courant, \(\tan\varphi = \dfrac{L\omega - 1/(C\omega)}{R}\).

Les trois formes — récapitulatif

Forme	Écriture	Idéale pour
Algébrique	\(z = a + jb\)	addition, soustraction
Trigonométrique	\(z = r(\cos\theta + j\sin\theta)\)	lecture module/argument
Exponentielle	\(z = r\,e^{j\theta}\)	produit, quotient, puissance

Conversions : \(r=\sqrt{a^2+b^2}\), \(\cos\theta=a/r\), \(\sin\theta=b/r\) ; et \(a=r\cos\theta\), \(b=r\sin\theta\).

Méthode — Passer en forme exponentielle

Méthode De l'algébrique à l'exponentielle

Calculer le module \(r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}\).
Calculer \(\cos\theta = a/r\) et \(\sin\theta = b/r\).
Déterminer \(\theta\) à l'aide du cercle trigonométrique (vérifier le quadrant !).
Écrire \(z = r\,e^{j\theta}\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Dire que \(\text{Im}(3+5j) = 5j\).

✅ La partie imaginaire est le réel \(5\) : \(\text{Im}(z) = 5\).

❌ Oublier le \(j\) hors de la racine : \(\sqrt{-36} = \sqrt{36}\).

✅ \(\sqrt{-36} = j\sqrt{36} = 6j\).

❌ Choisir \(\theta\) à partir du seul \(\tan\theta\) sans regarder le quadrant.

✅ Vérifier les signes de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) pour situer l'angle.

❌ Additionner deux complexes en forme exponentielle.

✅ Pour additionner, repasser en forme algébrique ; l'exponentielle sert au produit / quotient / puissance.