Chapitre 12 – Nombres complexes

BTS | Exercices | Groupements B1, B2, C1

Dernière mise à jour : mars 2026

Compétences travaillées :

Calculer avec des nombres complexes en forme algébrique (somme, produit, quotient, conjugué, module)
Passer d'une forme à l'autre (algébrique, trigonométrique, exponentielle)
Résoudre des équations du second degré à discriminant négatif
Déterminer et représenter des ensembles de points (\(|z-a|=k\), \(\arg(z-a)=\alpha\))
Appliquer les transformations du plan complexe
Calculer des impédances complexes et construire un diagramme de Fresnel

Niveau 1

Connaître et appliquer directement

Exercice 1 Calculs algébriques

On donne \(z_1 = 3 - 2j\), \(z_2 = -1 + 5j\) et \(z_3 = 4j\).

1) Calculer \(z_1 + z_2\), \(z_1 - z_2\) et \(z_1 \cdot z_3\).

2) Calculer \(z_1 \cdot z_2\).

3) Calculer \(\dfrac{z_1}{z_2}\) sous forme algébrique.

Mes calculs :

\(z_1 + z_2 = (3-1) + (-2+5)j = 2 + 3j\)

\(z_1 - z_2 = (3+1) + (-2-5)j = 4 - 7j\)

\(z_1 \cdot z_3 = (3-2j)(4j) = 12j - 8j^2 = 8 + 12j\)

2) \(z_1 \cdot z_2 = (3-2j)(-1+5j) = -3 + 15j + 2j - 10j^2 = -3 + 17j + 10 = 7 + 17j\)

3) On multiplie par le conjugué du dénominateur :

\(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{(3-2j)(-1-5j)}{(-1+5j)(-1-5j)} = \dfrac{-3-15j+2j+10j^2}{1+25} = \dfrac{-13-13j}{26} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}j\)

Exercice 2 Module et conjugué

Pour chacun des nombres complexes suivants, calculer le conjugué \(\bar{z}\), le module \(|z|\) et le produit \(z\bar{z}\) :

a) \(z = 5 + 12j\) b) \(z = -3 + 4j\) c) \(z = 7j\) d) \(z = -6\)

Mes calculs :

a) \(\bar{z} = 5 - 12j\), \(|z| = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\), \(z\bar{z} = 169\).

b) \(\bar{z} = -3 - 4j\), \(|z| = \sqrt{9 + 16} = 5\), \(z\bar{z} = 25\).

c) \(\bar{z} = -7j\), \(|z| = 7\), \(z\bar{z} = 49\).

d) \(\bar{z} = -6\) (réel pur), \(|z| = 6\), \(z\bar{z} = 36\).

Exercice 3 Représentation dans le plan complexe

Placer dans le plan complexe les points d'affixes suivantes et calculer leur module :

\(z_1 = 3 + j\), \(z_2 = -2 + 3j\), \(z_3 = -4 - 2j\), \(z_4 = 2 - 4j\), \(z_5 = \bar{z}_2\).

Que remarque-t-on pour \(z_5\) par rapport à \(z_2\) ?

Mes calculs :

\(z_1 = 3 + j\) : point \((3\,;\,1)\), \(|z_1| = \sqrt{10} \approx 3{,}16\).

\(z_2 = -2 + 3j\) : point \((-2\,;\,3)\), \(|z_2| = \sqrt{13} \approx 3{,}61\).

\(z_3 = -4 - 2j\) : point \((-4\,;\,-2)\), \(|z_3| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47\).

\(z_4 = 2 - 4j\) : point \((2\,;\,-4)\), \(|z_4| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47\).

\(z_5 = \bar{z}_2 = -2 - 3j\) : point \((-2\,;\,-3)\), \(|z_5| = |z_2| = \sqrt{13}\).

\(z_5\) est le symétrique de \(z_2\) par rapport à l'axe réel. Les modules de \(z\) et \(\bar{z}\) sont toujours égaux.

Exercice 4 Équations du second degré à discriminant négatif

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations suivantes :

a) \(z^2 + 4z + 13 = 0\)

b) \(z^2 - 6z + 25 = 0\)

c) \(2z^2 + z + 1 = 0\)

Mes calculs :

a) \(\Delta = 16 - 52 = -36 < 0\). \(\sqrt{|\Delta|} = 6\).

\(z = \dfrac{-4 \pm 6j}{2}\), soit \(z_1 = -2 + 3j\) et \(z_2 = -2 - 3j\).

Vérification : \(z_1 + z_2 = -4 = -b/a\) et \(z_1 z_2 = 4 + 9 = 13 = c/a\).

b) \(\Delta = 36 - 100 = -64 < 0\). \(\sqrt{|\Delta|} = 8\).

\(z = \dfrac{6 \pm 8j}{2}\), soit \(z_1 = 3 + 4j\) et \(z_2 = 3 - 4j\).

c) \(\Delta = 1 - 8 = -7 < 0\). \(\sqrt{|\Delta|} = \sqrt{7}\).

\(z = \dfrac{-1 \pm j\sqrt{7}}{4}\), soit \(z_1 = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{7}}{4}j\) et \(z_2 = -\dfrac{1}{4} - \dfrac{\sqrt{7}}{4}j\).

Niveau 2

Appliquer et calculer

Exercice 5 Passage algébrique → trigonométrique → exponentielle

Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme exponentielle \(z = r\,e^{j\theta}\) :

a) \(z = 1 + j\) b) \(z = -3\) c) \(z = -1 + \sqrt{3}\,j\) d) \(z = 2 - 2\sqrt{3}\,j\)

Mes calculs :

a) \(|z| = \sqrt{2}\). \(\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\), \(\sin\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\), donc \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\). \(z = \sqrt{2}\,e^{j\pi/4}\).

b) \(|z| = 3\). Réel négatif, \(\theta = \pi\). \(z = 3\,e^{j\pi}\).

c) \(|z| = \sqrt{1+3} = 2\). \(\cos\theta = -\dfrac{1}{2}\), \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), donc \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\). \(z = 2\,e^{j2\pi/3}\).

d) \(|z| = \sqrt{4+12} = 4\). \(\cos\theta = \dfrac{1}{2}\), \(\sin\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), donc \(\theta = -\dfrac{\pi}{3}\). \(z = 4\,e^{-j\pi/3}\).

Exercice 6 Passage exponentielle → algébrique

Écrire sous forme algébrique :

a) \(z = 6\,e^{j\pi/6}\) b) \(z = 4\,e^{-j\pi/2}\) c) \(z = 5\,e^{j3\pi/4}\)

d) Calculer \(z_1 \cdot z_2\) avec \(z_1 = 3\,e^{j\pi/3}\) et \(z_2 = 2\,e^{j\pi/6}\). Donner le résultat sous forme exponentielle puis algébrique.

Mes calculs :

a) \(z = 6\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + j\sin\dfrac{\pi}{6}\right) = 6\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{j}{2}\right) = 3\sqrt{3} + 3j\).

b) \(z = 4(\cos(-\pi/2) + j\sin(-\pi/2)) = 4(0 - j) = -4j\).

c) \(z = 5\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}j\right) = -\dfrac{5\sqrt{2}}{2} + \dfrac{5\sqrt{2}}{2}j\).

d) \(z_1 z_2 = 6\,e^{j(\pi/3+\pi/6)} = 6\,e^{j\pi/2}\) (forme exponentielle).

Forme algébrique : \(6\,e^{j\pi/2} = 6(\cos\dfrac{\pi}{2} + j\sin\dfrac{\pi}{2}) = 6j\).

Exercice 7 Opérations en forme exponentielle

On donne \(z_1 = 3\,e^{j\pi/4}\) et \(z_2 = 2\,e^{j2\pi/3}\).

1) Calculer \(z_1 \cdot z_2\), \(\dfrac{z_1}{z_2}\) et \(z_1^4\) sous forme exponentielle.

2) Écrire \(z_1^4\) sous forme algébrique.

Mes calculs :

\(z_1 z_2 = 6\,e^{j(\pi/4 + 2\pi/3)} = 6\,e^{j \cdot 11\pi/12}\).

\(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{3}{2}\,e^{j(\pi/4 - 2\pi/3)} = \dfrac{3}{2}\,e^{-j5\pi/12}\).

\(z_1^4 = 3^4\,e^{j \cdot 4\pi/4} = 81\,e^{j\pi}\).

2) \(z_1^4 = 81\,e^{j\pi} = 81(\cos\pi + j\sin\pi) = -81\).

Exercice 8 Puissances et formule de Moivre

1) Calculer \((1 + j)^6\) en passant par la forme exponentielle. Donner le résultat sous forme algébrique.

2) Calculer \(\left(\dfrac{1 + j\sqrt{3}}{2}\right)^{12}\).

3) Simplifier \(\dfrac{(1-j)^4}{(1+j)^4}\).

Mes calculs :

1) \(1 + j = \sqrt{2}\,e^{j\pi/4}\).

\((1+j)^6 = (\sqrt{2})^6\,e^{j \cdot 6\pi/4} = 8\,e^{j3\pi/2} = 8(\cos\dfrac{3\pi}{2} + j\sin\dfrac{3\pi}{2}) = 8(0 - j) = -8j\).

2) \(\dfrac{1 + j\sqrt{3}}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3} + j\sin\dfrac{\pi}{3} = e^{j\pi/3}\). Module = 1.

\(\left(e^{j\pi/3}\right)^{12} = e^{j \cdot 12\pi/3} = e^{j4\pi} = e^{j \cdot 0} = 1\).

3) \(1 - j = \sqrt{2}\,e^{-j\pi/4}\) et \(1 + j = \sqrt{2}\,e^{j\pi/4}\).

\(\dfrac{(1-j)^4}{(1+j)^4} = \dfrac{(\sqrt{2})^4\,e^{-j\pi}}{(\sqrt{2})^4\,e^{j\pi}} = e^{-j2\pi} = 1\).

Niveau 3

Analyser et raisonner

Exercice 9 Ensembles de points

Décrire géométriquement et représenter dans le plan complexe les ensembles de points \(M\) d'affixe \(z\) vérifiant :

a) \(|z - 1 - 2j| = 4\)

b) \(|z + 3| = |z - j|\)

c) \(\arg(z - 2) = \dfrac{\pi}{6}\)

d) \(1 \leq |z - 1 + j| \leq 3\)

Mes calculs :

a) \(|z - (1+2j)| = 4\) : cercle de centre \(A(1\,;\,2)\) et de rayon 4.

b) \(|z + 3| = |z - j|\) signifie que \(M\) est équidistant de \(B(-3\,;\,0)\) et \(C(0\,;\,1)\).

C'est la médiatrice du segment \([BC]\).

En posant \(z = x + yj\) : \((x+3)^2 + y^2 = x^2 + (y-1)^2\), soit \(6x + 2y + 8 = 0\), c'est-à-dire \(3x + y + 4 = 0\).

c) \(\arg(z - 2) = \dfrac{\pi}{6}\) : demi-droite d'origine \(D(2\,;\,0)\), faisant un angle de 30° avec l'axe réel.

d) \(1 \leq |z - (1-j)| \leq 3\) : couronne centrée en \(E(1\,;\,-1)\), de rayon intérieur 1 et de rayon extérieur 3.

Exercice 10 Transformations du plan : \(z \mapsto az + b\)

On considère le triangle \(ABC\) d'affixes \(z_A = 1\), \(z_B = 3\), \(z_C = 1 + 2j\).

1) Déterminer les images de \(A\), \(B\), \(C\) par la translation de vecteur d'affixe \(w = -2 + j\).

2) Déterminer les images de \(A\), \(B\), \(C\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).

3) On considère la transformation \(T : z \mapsto z' = (1+j)z + 2\). Déterminer la nature géométrique de \(T\) et calculer les images de \(A\), \(B\), \(C\).

Mes calculs :

1) Translation \(z' = z + (-2+j)\) :

\(z'_A = -1 + j\), \(z'_B = 1 + j\), \(z'_C = -1 + 3j\).

2) Rotation de \(\pi/2\) : \(z' = jz\).

\(z'_A = j\), \(z'_B = 3j\), \(z'_C = j(1+2j) = -2 + j\).

3) On écrit \(a = 1 + j = \sqrt{2}\,e^{j\pi/4}\). Donc \(|a| = \sqrt{2}\) et \(\arg(a) = \pi/4\).

\(T\) est une similitude directe : rotation de \(\pi/4\) (45°) + homothétie de rapport \(\sqrt{2}\) + translation de 2.

\(z'_A = (1+j) \times 1 + 2 = 3 + j\).

\(z'_B = (1+j) \times 3 + 2 = 3 + 3j + 2 = 5 + 3j\).

\(z'_C = (1+j)(1+2j) + 2 = 1 + 2j + j + 2j^2 + 2 = 1 + 3j - 2 + 2 = 1 + 3j\).

Exercice 11 Rotation et homothétie — Motif décoratif

Un technicien agenceur conçoit un motif décoratif répété par transformation. Le motif de base est un carré de sommets \(A(0)\), \(B(2)\), \(C(2+2j)\), \(D(2j)\).

La transformation appliquée est \(z \mapsto z' = a \cdot z\) avec \(a = \dfrac{1+j}{\sqrt{2}}\).

1) Écrire \(a\) sous forme exponentielle. En déduire la nature de la transformation.

2) Calculer les images \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(D'\).

3) Vérifier que la figure image est un carré de même taille que l'original.

Mes calculs :

1) \(|a| = \dfrac{|1+j|}{|\sqrt{2}|} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1\). \(\arg(a) = \dfrac{\pi}{4}\).

Donc \(a = e^{j\pi/4}\). C'est une rotation de centre \(O\) et d'angle \(\pi/4\) (45°). Comme \(|a| = 1\), les distances sont conservées.

\(z'_A = 0\).

\(z'_B = \dfrac{(1+j)}{\sqrt{2}} \times 2 = \dfrac{2+2j}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{2}\,j\).

\(z'_C = \dfrac{(1+j)(2+2j)}{\sqrt{2}} = \dfrac{2+2j+2j+2j^2}{\sqrt{2}} = \dfrac{4j}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,j\).

\(z'_D = \dfrac{(1+j) \times 2j}{\sqrt{2}} = \dfrac{2j + 2j^2}{\sqrt{2}} = \dfrac{-2+2j}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} + \sqrt{2}\,j\).

3) \(|z'_B - z'_A| = |\sqrt{2}+\sqrt{2}j| = \sqrt{2+2} = 2\) (côté = 2, identique à l'original). Le carré a été tourné de 45° sans déformation.

Niveau 4

Problèmes complets

Exercice 12 Impédance complexe d'un circuit RLC — Contexte FED

Un technicien en Fluides, Énergies, Domotique étudie un circuit RLC série alimenté par un signal sinusoïdal de fréquence \(f = 50\;\text{Hz}\). Les composants ont pour valeurs :

Résistance : \(R = 100\;\Omega\)
Inductance : \(L = 0{,}3\;\text{H}\)
Capacité : \(C = 20\;\mu\text{F}\)

1) Calculer la pulsation \(\omega = 2\pi f\).

2) Calculer la réactance de la bobine \(X_L = L\omega\) et celle du condensateur \(X_C = \dfrac{1}{C\omega}\).

3) Écrire l'impédance complexe \(\underline{Z} = R + j(X_L - X_C)\) sous forme algébrique.

4) Calculer le module \(|\underline{Z}|\) et l'argument \(\varphi\) de l'impédance.

5) Le circuit est-il inductif ou capacitif ? Justifier.

6) Si la tension d'alimentation a une valeur efficace \(U = 230\;\text{V}\), calculer l'intensité efficace du courant \(I = \dfrac{U}{|\underline{Z}|}\) et la puissance active \(P = UI\cos\varphi\).

Mes calculs :

1) \(\omega = 2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314{,}2\;\text{rad/s}\).

\(X_L = 0{,}3 \times 100\pi \approx 94{,}2\;\Omega\).

\(X_C = \dfrac{1}{20 \times 10^{-6} \times 100\pi} = \dfrac{1}{2\pi \times 10^{-3}} \approx 159{,}2\;\Omega\).

3) \(\underline{Z} = 100 + j(94{,}2 - 159{,}2) = 100 - 65j\;\;\Omega\).

\(|\underline{Z}| = \sqrt{100^2 + 65^2} = \sqrt{10\,000 + 4\,225} = \sqrt{14\,225} \approx 119{,}3\;\Omega\).

\(\varphi = \arctan\!\left(\dfrac{-65}{100}\right) \approx -33{,}0°\;\; (\approx -0{,}576\;\text{rad})\).

5) \(\varphi < 0\), donc le circuit est capacitif : \(X_C > X_L\), le condensateur domine. Le courant est en avance sur la tension.

6) \(I = \dfrac{230}{119{,}3} \approx 1{,}93\;\text{A}\).

\(P = 230 \times 1{,}93 \times \cos(-33{,}0°) = 230 \times 1{,}93 \times 0{,}838 \approx 372\;\text{W}\).

Exercice 13 Diagramme de Fresnel — Contexte FED

Un technicien en génie électrique étudie un circuit RL série alimenté sous une tension sinusoïdale \(u(t) = 325\cos(100\pi t)\) (en V). Les composants sont \(R = 80\;\Omega\) et \(L = 0{,}2\;\text{H}\).

1) Écrire l'impédance complexe \(\underline{Z}\) sous forme algébrique puis exponentielle.

2) Calculer le courant complexe \(\underline{I} = \dfrac{\underline{U}}{\underline{Z}}\) où \(\underline{U} = 325\,e^{j \cdot 0}\) (on prend la tension comme référence de phase). Donner \(\underline{I}\) sous forme exponentielle.

3) En déduire l'expression instantanée du courant \(i(t)\).

4) Construire le diagramme de Fresnel :

Représenter le vecteur \(\underline{I}\) (courant, pris comme référence horizontale)
Représenter \(\underline{U}_R = R\,\underline{I}\) (tension aux bornes de \(R\), en phase avec \(\underline{I}\))
Représenter \(\underline{U}_L = jL\omega\,\underline{I}\) (tension aux bornes de \(L\), en avance de \(\pi/2\) sur \(\underline{I}\))
Vérifier graphiquement que \(\underline{U} = \underline{U}_R + \underline{U}_L\)

5) Calculer les valeurs efficaces \(U_R\), \(U_L\) et vérifier que \(U^2 \neq U_R^2 + U_L^2\) mais que \(U^2 = U_R^2 + U_L^2\) (relation de Pythagore dans le diagramme de Fresnel).

Mes calculs :

1) \(\omega = 100\pi\). \(\underline{Z} = R + jL\omega = 80 + j \times 0{,}2 \times 100\pi = 80 + 62{,}8j\;\;\Omega\).

\(|\underline{Z}| = \sqrt{80^2 + 62{,}8^2} = \sqrt{6\,400 + 3\,944} = \sqrt{10\,344} \approx 101{,}7\;\Omega\).

\(\varphi = \arctan\!\left(\dfrac{62{,}8}{80}\right) \approx 38{,}1° \approx 0{,}665\;\text{rad}\).

\(\underline{Z} = 101{,}7\,e^{j \times 0{,}665}\).

2) \(\underline{I} = \dfrac{\underline{U}}{\underline{Z}} = \dfrac{325\,e^{j \cdot 0}}{101{,}7\,e^{j \times 0{,}665}} = \dfrac{325}{101{,}7}\,e^{-j \times 0{,}665} \approx 3{,}20\,e^{-j \times 0{,}665}\).

Le courant est en retard de 0,665 rad (38,1°) sur la tension (circuit inductif).

3) \(i(t) = 3{,}20\cos(100\pi t - 0{,}665)\) A.

4) Diagramme de Fresnel :

En prenant \(\underline{I}\) comme axe de référence horizontal :

\(\underline{U}_R = R \times I_m = 80 \times 3{,}20 = 256\) V, vecteur horizontal (en phase avec \(\underline{I}\)).
\(\underline{U}_L = L\omega \times I_m = 62{,}8 \times 3{,}20 = 201\) V, vecteur vertical vers le haut (en avance de \(\pi/2\) sur \(\underline{I}\)).
\(\underline{U} = \underline{U}_R + \underline{U}_L\) : vecteur résultant, formant un angle \(\varphi = 38{,}1°\) avec l'horizontale.

Le triangle formé par \(\underline{U}_R\), \(\underline{U}_L\) et \(\underline{U}\) est rectangle en \(\underline{U}_R\).

5) Valeurs efficaces (diviser les amplitudes par \(\sqrt{2}\)) :

\(U = 325/\sqrt{2} \approx 230\) V, \(U_R = 256/\sqrt{2} \approx 181\) V, \(U_L = 201/\sqrt{2} \approx 142\) V.

Somme directe : \(U_R + U_L = 181 + 142 = 323 \neq 230\). Les tensions ne s'additionnent pas algébriquement (elles sont déphasées).

Pythagore : \(\sqrt{U_R^2 + U_L^2} = \sqrt{181^2 + 142^2} = \sqrt{32\,761 + 20\,164} = \sqrt{52\,925} \approx 230\) V = \(U\).

La relation de Pythagore est vérifiée car \(\underline{U}_R\) et \(\underline{U}_L\) sont en quadrature (déphasées de \(\pi/2\)).

Exercice 14 Géométrie complexe — Conception d'un motif hexagonal

Un concepteur en agencement d'intérieur souhaite créer un motif hexagonal régulier pour un panneau décoratif en bois. L'hexagone est inscrit dans un cercle de centre \(O\) et de rayon \(r = 5\;\text{cm}\).

Les sommets de l'hexagone sont les images de \(z_0 = 5\) par les rotations successives de \(\dfrac{\pi}{3}\) autour de \(O\).

1) Écrire sous forme exponentielle les affixes des 6 sommets \(z_0, z_1, \ldots, z_5\).

2) Écrire chaque affixe sous forme algébrique (valeurs exactes).

3) Calculer \(|z_1 - z_0|\) (longueur d'un côté). Que constate-t-on ?

4) Le concepteur veut réduire le motif d'un facteur \(\dfrac{1}{2}\) et le déplacer en \((3 + 4j)\;\text{cm}\). Quelle transformation complexe \(z \mapsto z'\) doit-il appliquer ? Calculer \(z'_0\).

5) Montrer que tous les nouveaux sommets sont sur un cercle de rayon 2,5 cm centré en \((3\,;\,4)\).

Mes calculs :

1) \(z_k = 5\,e^{jk\pi/3}\) pour \(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5\).

\(z_0 = 5\), \(z_1 = 5\,e^{j\pi/3}\), \(z_2 = 5\,e^{j2\pi/3}\), \(z_3 = 5\,e^{j\pi} = -5\), \(z_4 = 5\,e^{j4\pi/3}\), \(z_5 = 5\,e^{j5\pi/3}\).

\(z_0 = 5\)
\(z_1 = 5\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}j\right) = \dfrac{5}{2} + \dfrac{5\sqrt{3}}{2}j\)
\(z_2 = 5\left(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}j\right) = -\dfrac{5}{2} + \dfrac{5\sqrt{3}}{2}j\)
\(z_3 = -5\)
\(z_4 = -\dfrac{5}{2} - \dfrac{5\sqrt{3}}{2}j\)
\(z_5 = \dfrac{5}{2} - \dfrac{5\sqrt{3}}{2}j\)

3) \(z_1 - z_0 = \dfrac{5}{2} + \dfrac{5\sqrt{3}}{2}j - 5 = -\dfrac{5}{2} + \dfrac{5\sqrt{3}}{2}j\).

\(|z_1 - z_0| = \sqrt{\dfrac{25}{4} + \dfrac{75}{4}} = \sqrt{\dfrac{100}{4}} = 5\).

Constat : le côté de l'hexagone régulier est égal au rayon du cercle circonscrit. C'est une propriété classique.

4) Homothétie de rapport \(1/2\) + translation de \(3 + 4j\) : \(z' = \dfrac{1}{2}z + (3 + 4j)\).

\(z'_0 = \dfrac{1}{2} \times 5 + 3 + 4j = 5{,}5 + 4j\).

5) Pour tout sommet : \(|z'_k - (3+4j)| = \left|\dfrac{1}{2}z_k\right| = \dfrac{1}{2}|z_k| = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\;\text{cm}\).

Tous les points transformés sont à distance 2,5 cm du centre \((3\,;\,4)\).