Exercices par capacités · BTS
Dernière mise à jour : 21 juin 2026
Soit \(z = 7 - 24j\). Donner \(\text{Re}(z)\), \(\text{Im}(z)\), le conjugué \(\bar{z}\) et le module \(|z|\).
\(\text{Re}(z) = 7\), \(\text{Im}(z) = -24\) (un réel, pas \(-24j\)).
\(\bar{z} = 7 + 24j\).
\(|z| = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\).
On donne \(z_1 = 3 + 2j\) et \(z_2 = 1 - 4j\). Calculer \(z_1 + z_2\), \(z_1 - z_2\) et \(z_1 \cdot z_2\).
\(z_1 + z_2 = (3+1) + (2-4)j = 4 - 2j\).
\(z_1 - z_2 = (3-1) + (2-(-4))j = 2 + 6j\).
\(z_1 z_2 = (3+2j)(1-4j) = 3 - 12j + 2j - 8j^2 = 3 - 10j + 8 = 11 - 10j\) (car \(j^2 = -1\)).
Écrire le quotient \(\dfrac{2 + 3j}{1 - j}\) sous forme algébrique \(a + jb\).
On multiplie par le conjugué du dénominateur \((1 + j)\) :
\(\dfrac{(2+3j)(1+j)}{(1-j)(1+j)} = \dfrac{2 + 2j + 3j + 3j^2}{1 - j^2} = \dfrac{2 + 5j - 3}{1 + 1} = \dfrac{-1 + 5j}{2}\).
Soit \(\dfrac{2+3j}{1-j} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2}j = -0{,}5 + 2{,}5j\).
Soit \(z = -8 + 6j\). Calculer \(\bar{z}\), \(|z|\) puis vérifier la relation \(z \cdot \bar{z} = |z|^2\).
\(\bar{z} = -8 - 6j\) ; \(|z| = \sqrt{(-8)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\).
\(z \cdot \bar{z} = (-8 + 6j)(-8 - 6j) = 64 + 48j - 48j - 36j^2 = 64 + 36 = 100\).
On retrouve bien \(z\bar{z} = 100 = 10^2 = |z|^2\) ✓.
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 + 9 = 0\).
\(z^2 = -9\), donc \(z = \pm\sqrt{-9} = \pm\,j\sqrt{9} = \pm 3j\).
Solutions : \(z_1 = 3j\) et \(z_2 = -3j\) (conjuguées).
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 - 6z + 13 = 0\).
\(\Delta = (-6)^2 - 4\times 1 \times 13 = 36 - 52 = -16 \lt 0\), donc \(\Delta' = 16\) et \(\sqrt{\Delta'} = 4\).
\(z_1 = \dfrac{6 + 4j}{2} = 3 + 2j\) ; \(z_2 = \dfrac{6 - 4j}{2} = 3 - 2j = \bar{z}_1\).
Vérification : \(z_1 + z_2 = 6 = -b/a\) ✓ ; \(z_1 z_2 = (3+2j)(3-2j) = 9 + 4 = 13 = c/a\) ✓.
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(2z^2 - 4z + 10 = 0\).
\(\Delta = (-4)^2 - 4\times 2 \times 10 = 16 - 80 = -64 \lt 0\), donc \(\Delta' = 64\) et \(\sqrt{\Delta'} = 8\).
\(z_1 = \dfrac{4 + 8j}{2 \times 2} = \dfrac{4 + 8j}{4} = 1 + 2j\) ; \(z_2 = \dfrac{4 - 8j}{4} = 1 - 2j\).
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 + z + 1 = 0\). Donner les solutions sous forme algébrique exacte.
\(\Delta = 1 - 4 = -3 \lt 0\), donc \(\Delta' = 3\) et \(\sqrt{\Delta'} = \sqrt{3}\).
\(z_1 = \dfrac{-1 + j\sqrt{3}}{2}\) ; \(z_2 = \dfrac{-1 - j\sqrt{3}}{2}\).
Ces deux nombres ont pour module \(\sqrt{\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{\sqrt 3}{2}\right)^2} = \sqrt{\tfrac14+\tfrac34} = 1\).
Écrire \(z = 1 + j\sqrt{3}\) sous forme trigonométrique puis exponentielle.
\(|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt 3)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\).
\(\cos\theta = \dfrac{1}{2}\) et \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt 3}{2}\), donc \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\) (1ᵉʳ quadrant).
Forme trigonométrique : \(z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + j\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\). Forme exponentielle : \(z = 2\,e^{j\pi/3}\).
Écrire \(z = -2 + 2j\) sous forme exponentielle.
\(|z| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt 2\).
\(\cos\theta = \dfrac{-2}{2\sqrt 2} = -\dfrac{1}{\sqrt 2}\) et \(\sin\theta = \dfrac{2}{2\sqrt 2} = \dfrac{1}{\sqrt 2}\) → 2ᵉ quadrant, donc \(\theta = \dfrac{3\pi}{4}\).
\(z = 2\sqrt 2\; e^{j3\pi/4}\).
Écrire \(z = 4\,e^{j\pi/6}\) sous forme algébrique.
\(z = 4\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + j\sin\dfrac{\pi}{6}\right) = 4\left(\dfrac{\sqrt 3}{2} + j\dfrac{1}{2}\right)\).
\(z = 2\sqrt 3 + 2j\).
Écrire \(z = 3\,e^{-j\pi/2}\) sous forme algébrique, puis donner son conjugué sous forme exponentielle.
\(z = 3\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) + j\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right) = 3(0 - j) = -3j\).
Conjugué : \(\bar{z} = 3j\), de module 3 et d'argument \(\dfrac{\pi}{2}\), donc \(\bar{z} = 3\,e^{j\pi/2}\) (l'argument change de signe).
Soient \(z_1 = 3\,e^{j\pi/4}\) et \(z_2 = 2\,e^{j\pi/3}\). Calculer \(z_1 \cdot z_2\) et \(\dfrac{z_1}{z_2}\) en forme exponentielle.
Produit : les modules se multiplient, les arguments s'additionnent.
\(z_1 z_2 = 3\times 2\; e^{j(\pi/4 + \pi/3)} = 6\,e^{j\,7\pi/12}\) (car \(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{3\pi+4\pi}{12} = \tfrac{7\pi}{12}\)).
Quotient : \(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{3}{2}\,e^{j(\pi/4 - \pi/3)} = \dfrac{3}{2}\,e^{-j\pi/12}\) (car \(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\pi}{3} = -\tfrac{\pi}{12}\)).
Soit \(z = 2\,e^{j\pi/6}\). Calculer \(z^3\) en forme exponentielle puis en forme algébrique.
\(z^3 = 2^3\, e^{j\times 3\times \pi/6} = 8\,e^{j\pi/2}\).
Forme algébrique : \(8\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + j\sin\dfrac{\pi}{2}\right) = 8(0 + j) = 8j\).
Soit \(z = \sqrt 2\, e^{j\pi/4}\) (c'est-à-dire \(z = 1 + j\)). Calculer \(z^4\) et vérifier le résultat en développant \((1+j)^4\).
En exponentielle : \(z^4 = (\sqrt 2)^4\, e^{j\times 4\times \pi/4} = 4\,e^{j\pi} = 4\times(-1) = -4\).
Vérification : \((1+j)^2 = 1 + 2j + j^2 = 2j\), donc \((1+j)^4 = (2j)^2 = 4j^2 = -4\) ✓.
Soient \(z_1 = 6\,e^{j\,2\pi/3}\) et \(z_2 = 3\,e^{j\pi/6}\). Calculer \(\dfrac{z_1}{z_2}\) en forme exponentielle, puis en forme algébrique.
\(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{6}{3}\,e^{j(2\pi/3 - \pi/6)} = 2\,e^{j\pi/2}\) (car \(\tfrac{2\pi}{3}-\tfrac{\pi}{6} = \tfrac{4\pi - \pi}{6} = \tfrac{3\pi}{6} = \tfrac{\pi}{2}\)).
Forme algébrique : \(2(\cos\tfrac{\pi}{2} + j\sin\tfrac{\pi}{2}) = 2j\).
Décrire géométriquement l'ensemble des points \(M\) d'affixe \(z\) tels que \(|z - 3 + 2j| = 4\).
On écrit \(|z - (3 - 2j)| = 4\).
\(|z - a|\) est la distance entre \(M\) et le point d'affixe \(a\). C'est donc le cercle de centre \(A(3\,;\,-2)\) et de rayon 4.
Décrire géométriquement l'ensemble des points \(M\) d'affixe \(z\) tels que \(|z| = |z - 6|\).
\(|z|\) est la distance \(OM\) (avec \(O\) origine) et \(|z - 6|\) est la distance \(AM\) avec \(A(6\,;\,0)\).
\(OM = AM\) caractérise la médiatrice du segment \([OA]\), soit la droite verticale d'équation \(x = 3\).
Un circuit série RL comporte \(R = 30\;\Omega\) et une réactance inductive \(L\omega = 40\;\Omega\). L'impédance complexe est \(\underline{Z} = R + jL\omega\). Calculer \(|\underline{Z}|\) et l'argument \(\varphi = \arg(\underline{Z})\).
\(\underline{Z} = 30 + 40j\;\Omega\).
\(|\underline{Z}| = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\;\Omega\).
\(\tan\varphi = \dfrac{40}{30} = \dfrac{4}{3}\), donc \(\varphi = \arctan\!\left(\tfrac{4}{3}\right) \approx 53{,}1°\).
L'argument est positif : le circuit est inductif (la tension est en avance sur le courant).
Un circuit série RC a une impédance \(\underline{Z} = R - \dfrac{j}{C\omega}\) avec \(R = 100\;\Omega\) et \(\dfrac{1}{C\omega} = 100\;\Omega\). Donner \(\underline{Z}\) sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle (module et argument).
\(\underline{Z} = 100 - 100j\;\Omega\).
\(|\underline{Z}| = \sqrt{100^2 + (-100)^2} = \sqrt{20\,000} = 100\sqrt 2 \approx 141{,}4\;\Omega\).
\(\cos\varphi = \dfrac{100}{100\sqrt 2} = \dfrac{1}{\sqrt 2}\), \(\sin\varphi = \dfrac{-100}{100\sqrt 2} = -\dfrac{1}{\sqrt 2}\) → \(\varphi = -\dfrac{\pi}{4}\) (\(\approx -45°\)).
Forme exponentielle : \(\underline{Z} = 100\sqrt 2\; e^{-j\pi/4}\;\Omega\). L'argument négatif indique un comportement capacitif.